Funktionen: Unterschied zwischen den Versionen
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(→Definition: Was ist eine Funktion und was ist keine Funktion) |
(→Mathematische Funktionen und ihre Darstellungen) |
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=Darstellung einer Funktion= | =Darstellung einer Funktion= | ||
==Mathematische Funktionen und ihre Darstellungen== | ==Mathematische Funktionen und ihre Darstellungen== | ||
− | [[Datei:Graph mit Definitions- und Wertebereich.png|thumb|right|300px|Eine Möglichkeit | + | [[Datei:Graph mit Definitions- und Wertebereich.png|thumb|right|300px|Eine Möglichkeit eine Funktion darzustellen, ist, den Graphen der Funktion zu zeichnen.]] |
In der Mathematik bestehen die Definitions- und Wertemenge in der Regel aus Zahlen (meist aus den [[Zahlenmengen#die_reellen_Zahlen_.24.5Cmathbb.7BR.7D.24| reellen Zahlen]].) | In der Mathematik bestehen die Definitions- und Wertemenge in der Regel aus Zahlen (meist aus den [[Zahlenmengen#die_reellen_Zahlen_.24.5Cmathbb.7BR.7D.24| reellen Zahlen]].) | ||
− | Somit weist die Funktion f jeder Zahl x einer Definitionsmenge eine andere Zahl y einer Wertemenge zu. | + | Somit weist die Funktion $f$ jeder Zahl $x$ einer Definitionsmenge eine andere Zahl $y$ einer Wertemenge zu. |
− | Ein Beispiel für eine | + | Ein Beispiel für eine solche Zuweisung von Zahlen auf Zahlen siehst du im unteren Applet. Beachte hierbei auch die verschiedenen Darstellungen der Funktion: |
a) '''Mengendiagramm''': Die Elemente der Definitionsmenge werden durch die Funktion mit Elementen der Wertemenge verbunden. | a) '''Mengendiagramm''': Die Elemente der Definitionsmenge werden durch die Funktion mit Elementen der Wertemenge verbunden. | ||
− | b) '''Wertetabelle''': In einer Tabelle wird die Zuordnungen von x- und y-Werten angegeben. | + | b) '''Wertetabelle''': In einer Tabelle wird die Zuordnungen von $x$- und $y$-Werten angegeben. |
− | c) '''Graph''': Die x- und y-Werte aus der Wertetabelle können in einem [[Koordinatensystem]] als Punkte mit den Koordinaten (x,y) angegeben werden. Der Punkt (1,4) würde dann bedeuten, dass der Zahl 1 aus der Definitionsmenge die Zahl 4 in der Wertemenge zugeordnet wurde. Das entstehende Gebilde nennt man dann '''Graph der Funktion''' | + | c) '''Graph''': Die $x$- und $y$-Werte aus der Wertetabelle können in einem [[Koordinatensystem]] als Punkte mit den Koordinaten $(x,y)$ angegeben werden. Der Punkt $(1,4)$ würde dann bedeuten, dass der Zahl $1$ aus der Definitionsmenge die Zahl $4$ in der Wertemenge zugeordnet wurde. Das entstehende Gebilde nennt man dann '''Graph der Funktion''' |
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d) '''Funktionsgleichung''' | d) '''Funktionsgleichung''' | ||
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− | Hat man eine Funktion, die jedem Wert aus der Definitionsmenge seinen | + | Hat man eine Funktion, die jedem Wert aus der Definitionsmenge seinen doppelten Wert zuordnet, so kann man dies auch folgendermaßen schreiben: |
$$f: D\rightarrow W \textrm{ mit } y=2x$$ | $$f: D\rightarrow W \textrm{ mit } y=2x$$ | ||
− | wobei x im Definitionsbereich und y im Wertebereich liegt. | + | wobei $x$ im Definitionsbereich und $y$ im Wertebereich liegt. |
Eine oft gebräuchlichere Schreibweise für eine Funktionsgleichung ist: | Eine oft gebräuchlichere Schreibweise für eine Funktionsgleichung ist: | ||
$$f: D\rightarrow W \textrm{ mit } f(x)=2x$$ | $$f: D\rightarrow W \textrm{ mit } f(x)=2x$$ | ||
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||$f(x)=x+1$ | ||$f(x)=x+1$ | ||
− | ||f von x ist x plus 1 | + | ||$f$ von $x$ ist $x$ plus $1$ |
− | ||Die Funktion f ordnet jedem x seine um 1 höhere Zahl x+1 zu. | + | ||Die Funktion $f$ ordnet jedem $x$ seine um $1$ höhere Zahl $x+1$ zu. |
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||$f(x)=2x$ | ||$f(x)=2x$ | ||
− | ||f von x ist 2 mal x | + | ||$f$ von $x$ ist $2$ mal $x$ |
− | ||Die Funktion f ordnet jedem x ihren doppelten Wert zu. | + | ||Die Funktion $f$ ordnet jedem $x$ ihren doppelten Wert zu. |
|- | |- | ||
||$f(x)=3x+1$ | ||$f(x)=3x+1$ | ||
− | ||f von x ist 3 mal x plus 1 | + | ||$f$ von $x$ ist $3$ mal $x$ plus $1$ |
− | ||Die Funktion f ordnet jedem x jene Zahl zu, die man erhält, wenn man | + | ||Die Funktion $f$ ordnet jedem $x$ jene Zahl zu, die man erhält, wenn man zum Dreifachen von $x$ eins addiert. |
|} | |} | ||
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{{Vorlage:Beispiel|1= | {{Vorlage:Beispiel|1= | ||
− | Gegeben ist die Funktion f mit der Funktionsgleichung $f(x)=x+2$. | + | Gegeben ist die Funktion $f$ mit der Funktionsgleichung $f(x)=x+2$. |
<br /> | <br /> | ||
− | a) Erstelle mithilfe der Funktionsgleichung eine Wertetabelle im Definitionsbereich [0;3] | + | a) Erstelle mithilfe der Funktionsgleichung eine Wertetabelle im Definitionsbereich $[0;3]$. |
<br /> | <br /> | ||
− | b) Skizziere den Graphen der Funktion | + | b) Skizziere den Graphen der Funktion. |
|2= | |2= | ||
− | a) Erstelle mithilfe der Funktionsgleichung eine Wertetabelle im Definitionsbereich [0;3] | + | a) Erstelle mithilfe der Funktionsgleichung eine Wertetabelle im Definitionsbereich $[0;3]$. |
− | Gegeben ist die Funktionsgleichung $f(\color{red}{x})=\color{red}{x}+2$ | + | Gegeben ist die Funktionsgleichung $f(\color{red}{x})=\color{red}{x}+2$ (wir könnten auch $y=x+2$ schreiben, da $f(x)=y$ ist). |
[[Datei:bsp1-wertetabelle.png|thumb|150px|right|Wertetabelle der Funktion $f(x)=x+2$]] | [[Datei:bsp1-wertetabelle.png|thumb|150px|right|Wertetabelle der Funktion $f(x)=x+2$]] | ||
− | Um die Wertetabelle zu erstellen, setzen wir nun Zahlen aus dem Definitionsbereich [0;3] für x ein und berechnen damit y (oder f(x)). | + | Um die Wertetabelle zu erstellen, setzen wir nun Zahlen aus dem Definitionsbereich $[0;3]$ für $x$ ein und berechnen damit $y$ (oder $f(x)$). |
− | * Wenn x=0 dann ist: $f(\color{red}{0})=\color{red}{0}+2=2$ d.h. für | + | * Wenn $x=0$ dann ist: $f(\color{red}{0})=\color{red}{0}+2=2$ d. h. für $x=0$ ist $y=2$ (oder $f(\color{red}{0})=2$) |
− | * Wenn x=1 dann ist: $f(\color{red}{1})=\color{red}{1}+2=3$ d.h. für | + | * Wenn $x=1$ dann ist: $f(\color{red}{1})=\color{red}{1}+2=3$ d. h. für $x=1$ ist $y=2$ (oder $f(1)=3$) |
− | * Wenn x=2 dann ist: $f(\color{red}{2})=\color{red}{2}+2=4$ d.h. für | + | * Wenn $x=2$ dann ist: $f(\color{red}{2})=\color{red}{2}+2=4$ d. h. für $x=2$ ist $y=4$ (oder $f(2)=4$) |
− | * Wenn x=3 dann ist: $f(\color{red}{3})=\color{red}{3}+2=5$ d.h. für | + | * Wenn $x=3$ dann ist: $f(\color{red}{3})=\color{red}{3}+2=5$ d. h. für $x=3$ ist $y=5$ (oder $f(3)=5$) |
Natürlich können wir auch Dezimalzahlen einsetzen: | Natürlich können wir auch Dezimalzahlen einsetzen: | ||
− | * Wenn x=0.5 dann ist: f(0.5)=0.5+2=2.5 | + | * Wenn $x=0.5$ dann ist: $f(0.5)=0.5+2=2.5$ d. h. für $x=2.5$ ist $y=2.5$ (oder $f(1.5)=2.5$) |
− | Fassen wir x-Werte und y-Werte in einer Tabelle zusammen, so erhalten wir die | + | Fassen wir $x$-Werte und $y$-Werte in einer Tabelle zusammen, so erhalten wir die rechts abgebildete Wertetabelle. |
− | b) Skizziere den Graphen der Funktion f | + | b) Skizziere den Graphen der Funktion $f$. |
− | Um den Graphen zu zeichnen, verwenden wir die Werte aus der Wertetabelle. Jede Spalte entspricht dabei einem Punkt mit x-Koordinate und y-Koordinate. | + | Um den Graphen zu zeichnen, verwenden wir die Werte aus der Wertetabelle. Jede Spalte entspricht dabei einem Punkt mit $x$-Koordinate und $y$-Koordinate. |
− | + | Z. B.: Nehmen wir den Punkt aus der untersten Zeile: $(0.5,2.5)$, so müssen wir $0.5$ entlang der $x$-Achse nach rechts und $2.5$ entlang der $y$-Achse hinauf (bei Schwierigkeiten mit dem Einzeichnen der Punkte, siehe [[Koordinatensystem]]). | |
− | Zeichnest du alle Punkte ein, so | + | Zeichnest du alle Punkte ein, so erhältst du: |
[[Datei:bsp1-graph-nur pkte.png|thumb|200px|center|Einzeichnen der Punkte aus der Wertetabelle]] | [[Datei:bsp1-graph-nur pkte.png|thumb|200px|center|Einzeichnen der Punkte aus der Wertetabelle]] | ||
− | Was wir zum jetzigen Zeitpunkt noch nicht wissen ist, dass f(x)=x+2 eine [[Lineare Funktionen|lineare Funktion]] ist, dessen Graph immer eine Gerade ist. Somit können wir die Punkte verbinden und | + | Was wir zum jetzigen Zeitpunkt noch nicht wissen ist, dass $f(x)=x+2$ eine [[Lineare Funktionen|lineare Funktion]] ist, dessen Graph immer eine Gerade ist. Somit können wir die Punkte verbinden und erhalten den Graphen der Funktion im Definitionsbereich $[0;3]$: |
− | [[Datei:bsp1-graph.png|thumb|center|200px|Graph der Funktion $f(x)=x+2$ im Definitionsbereich [0;3]]] | + | [[Datei:bsp1-graph.png|thumb|center|200px|Graph der Funktion $f(x)=x+2$ im Definitionsbereich $[0;3]$]] |
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{{Vorlage:Merke|1= $\ $ | {{Vorlage:Merke|1= $\ $ | ||
− | # Eine Wertetabelle erstellt man, indem man für x einen Wert aus dem Definitionsbereich einsetzt und den y-Wert ausrechnet. | + | # Eine Wertetabelle erstellt man, indem man für $x$ einen Wert aus dem Definitionsbereich einsetzt und den $y$-Wert ausrechnet. |
− | # Einen Graphen erstellt man, indem man zuerst die Punkte (x,y) aus der Wertetabelle einzeichnet und anschließend ''passend verbindet''. Den x-Wert nach rechts/links und den y-Wert hinauf/hinunter. | + | # Einen Graphen erstellt man, indem man zuerst die Punkte $(x,y)$ aus der Wertetabelle einzeichnet und anschließend ''passend verbindet''. Den $x$-Wert nach rechts/links und den $y$-Wert hinauf/hinunter. |
(Beachte: Was es heißt, die Punkte "''passend zu verbinden''" kommt immer auf die Art der Funktion an - dies lernst du in den weiteren Kapiteln) | (Beachte: Was es heißt, die Punkte "''passend zu verbinden''" kommt immer auf die Art der Funktion an - dies lernst du in den weiteren Kapiteln) | ||
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− | !|Übung zur Darstellung von | + | !|Übung zur Darstellung von Funktionen: Funktionsgleichung - Wertetabelle - Graph |
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||Löse die Aufgaben, indem du | ||Löse die Aufgaben, indem du | ||
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# die Punkte im Graphen an die richtige Stelle schiebst. | # die Punkte im Graphen an die richtige Stelle schiebst. | ||
− | Klicke am Ende jeder Aufgabe auf | + | Klicke am Ende jeder Aufgabe auf „Überprüfung“ um zu sehen, ob du die Aufgabe richtig gelöst hast. |
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{{Vorlage:Hinweis|1= | {{Vorlage:Hinweis|1= | ||
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− | # Anstelle von f können auch andere Buchstaben für eine Funktion verwendet werden | + | # Anstelle von $f$ können auch andere Buchstaben für eine Funktion verwendet werden, z. B. $g(x)=x+1$. |
− | # Auch muss nicht immer x als Variable verwendet werden. So wird für die Zeit als Definitionsbereich meist der Buchstabe t verwendet | + | # Auch muss nicht immer $x$ als Variable verwendet werden. So wird für die Zeit als Definitionsbereich meist der Buchstabe $t$ verwendet, z. B. $g(t)=t+1$. |
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