Lineare Funktionen
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Die Funktionsgleichung einer linearen Funktion lautet $$ y=k\cdot x+d$$
mit $k,d\in$ $\mathbb{R} $ |
!Wichtig! Der Graph einer linearen Funktion ist IMMER eine Gerade!
Inhaltsverzeichnis
Steigung k
Der Parameter k gibt die (prozentuelle) Steigung der Geraden an. Die Steigung k kann graphisch aus einer Zeichnung oder rechnerisch bestimmt werden.
Steigungsdreieck
Wenn man von einem beliebigen Punkt auf der Geraden 1 nach rechts und anschließend hinauf bzw. hinab zeichnet, um wieder auf der Geraden zu landen, erhält man ein rechtwinkliges Dreieck. Man nennt es Steigungsdreieck. Die senkrechte Kathete des Dreiecks entspricht dann der Steigung k.
Oft wäre diese Vorgehensweise zu ungenau. Man kann deshalb auch größere Steigungsdreiecke einzeichnen. Dann muss man jedoch die Länge der senkrechten Kathete durch die Länge der waagrechten Kathete dividieren und es gilt: $$k=\frac{Höhenunterschied}{Längenunterschied}=\frac{\Delta y}{\Delta x}$$ $\Delta y$ ... Länge der senkrechten Kathete $\Delta x$ ... Länge der waagrechten Kathete
Steigung aus Zahlenpaaren
$k=\frac{Höhenunterschied}{Längenunterschied}=\frac{\Delta y}{\Delta x} $ (siehe Differenzenquotient)
Steigungswinkel
$ k=\tan{\alpha} $, wobei $\alpha$ der
Steigungswinkel ist (siehe Trigonometrie)
d = Abstand auf der y-Achse ("Ordinatenabschnitt")
d ist der Abstand zwischen Schnittpunkt der Geraden mit der y-Achse und dem Koordinatenursprung.
Eigenschaften:
- ist d=0, so geht die Gerade durch den Ursprung. Solche Funktionen nennt man homogene lineare Funktionen. Ist d$\neq$0, so nennt man die Funktion inhomogen
- bei Kostenfunktionen gibt d die Fixkosten an.
Verschiebung von k und d
Sollte die folgende Animation nicht funktionieren, klicke auf diesen Link
Gerade zeichnen
Um eine Gerade mit der Geradengleichung $y=kx+d$ zu zeichnen, musst du
- d hinauf/hinab
- eins nach rechts
- k hinauf/hinab
Ist k ein Bruch, d.h. $k=\frac{Zähler}{Nenner}$, dann kannst du
- d hinauf/hinab
- Nenner nach rechts
- Zähler hinauf/hinab
Anwendungen
- Lineare Kosten (siehe Beispiele)
- Wachstums- und Zerfallsprozesse
- Kurvendiskussionen
Online-Materialien
Theorie
- $Schau!\ $ : Hier findest du eine Prezi-Überblickpräsentation (erstellt von Raimund Porod)
- $Step\ by\ Step!$ : Hier findest du einen Online-Lehrpfad zu den linearen Funktionen
Online-Übungen
- ? : Selbstest zum Thema Geradengleichung bestimmen (Wichtig!!)
- ? : Übung zur Bestimmung der Funktionsgleichung
- ? : weitere Aufgaben zum Bestimmen der Funktionsgleichung
Offizielle Bifie-Aufgaben
- $Bifie$ Kleintransporter
- Siehe auch: Gleichungssysteme
- $Bifie$ Planetenbahnen (leicht-mittel-leicht)
- Siehe auch: Gleitkommazahlen
- $Bifie$ Kleidungs- und Schuhproduktion (Bifie-Aufgabe: mittel-mittel-leicht-mittel)
- Welche Inhalte werden hier noch gefragt: Für c) und d) Prozentrechnung (1.5.)
- $Bifie$ Hochbeet (Bifie-Aufgabe: leicht-mittel-mittel)
- Welche Inhalte werden hier noch gefragt: Formeln
- $Bifie$ Impfstoff
- Welche Inhalte werden hier noch gefragt: Gleichungssystme
Schularbeiten- und Testaufgaben
1. Gib zwei Geradengleichungen in y=kx+d-Form an, bei denen die entsprechenden Geraden parallel zueinander sind. Wie erkennt man bei den Gleichungen auf einen Blick, dass die Geraden parallel sind?
Lösung
2. Aufgabe
Lösung
3. Aufgabe
Lösung
4. Aufgabe: Die Gerade der Form y=kx+d geht durch die Punkte (1,1) und (4,3). Ermittle k und d !
Lösung
5 Aufgabe. Lineare Kosten
Die Kommunikationsfirma P-Mobile plant einen Handytarif mit € 5 Grundgebühren. Aus wirtschaftlichen Gründen will sie, dass ein Kunde bei 500 verbrauchten Gesprächsminuten eine Rechnung von insgesamt € 20 zahlen muss. Ermittle die Kosten für eine Gesprächsminute. Bestimme die lineare Kostenfunktion des Tarifs.
Lösung
6. Die Grundgebühr eines Handytarifs beträgt € 5. Für jede Gesprächsminute werden zusätzlich 20 Cent verrechnet. Stelle die Gesamtkosten in Abhängigkeit der Gesprächsminuten in einem passenden Koordinatensystem graphisch dar.
Lösung
