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Aus Matura Wiki
Version vom 7. September 2016, 14:06 Uhr von Raimund Porod (Diskussion | Beiträge) (→‎Mathematische Funktionen und ihre Darstellungen)

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Diese Seite handelt von der Definition und den grundlegenden Eigenschaften von Funktionen. Auf anderen Seiten werden wichtige Funktionstypen genauer behandelt:

Überblick

mind-map kommt bald

Definition: Was ist eine Funktion und was ist keine Funktion

Definition
Grün rufezeichen.png
 Eine Funktion ist eine eindeutige Zuordnung, die jedem Wert aus einer Definitionsmenge genau einen Wert aus einer Wertemenge (Zielmenge) zuordnet.
  • Die Elemente aus der Definitionmenge D werden meist mit x bezeichnet.
  • Die Werte aus der Wertemenge W bezeichnet man mit y oder f(x) ("f von x").


Musterbeispiel einer Funktion: Der Lehrer verteilt die Mathematiknoten

Beispiel einer Funktion: Die Lehrperson (= Funktion) weist jeder Schülerin geanu eine Note zu

Im obigen Beispiel darf jede Schülerin nur eine Note erhalten ABER die mehrere Schülerinnen können dieselbe Note erhalten. Dies ist eine wichtige Eigenschaft von allen Funktionen! Verallgemeinert heißt dies:


Merke
Rotes rufezeichen.png
 Jedem Element der Definitionsmenge (x) darf NUR EIN Element der Wertemenge (y) zugeordnet werden.

ABER Ein Element der Wertemenge (y) kann mehreren Elementen der Definitionsmenge (x) zugeordnet werden. (vgl. das Musterbeispiel der Schülerinnen (x, Definitionsmenge) und der Noten (y, Wertemenge). 




Füllgraph: https://www.geogebra.org/m/wfvfF7E5

Mathematische Funktionen und ihre Darstellungen

In der Mathematik bestehen die Definitions- und Wertemenge in der Regel aus Zahlen (meist aus den reellen Zahlen.


Somit weist die Funktion f jeder Zahl x einer Definitionsmenge eine andere Zahl y einer Wertemenge zu.

Ein Beispiel für eine soche Zuweisung von Zahlen auf Zahlen siehst du im folgenden Applet. Beachte hierbei auch die verschiedenen Darstellungen der Funktion:


a) Mengendiagramm: Die Elemente der Definitionsmenge werden durch die Funktion mit Elementen der Wertemenge verbunden.

b) Wertetabelle: In einer Tabelle wird die Zuordnungen von x- und y-Werten angegeben.

c) Graph: Die x- und y-Werte aus der Wertetabelle können in einem Koordinatensystem als Punkte mit den Koordinaten (x,y) angegeben werden. Der Punkt (1,4) würde dann bedeuten, dass der Zahl 1 aus der Definitionsmenge die Zahl 4 in der Wertemenge zugeordnet wurde. Das entstehende Gebilde nennt man dann Graph der Funktion



Darstellung: Funktion - Wertetabelle - Graph
Falls dieses Applet nicht funktioniert, klicke hier


Zuletzt gibt es noch eine weite wichtige Darstellung einer Funktion, die


d) Funktionsgleichung Hat man eine Funktion, die jedem Wert aus der Definitionsmenge seinen Doppelten Wert zuordnet, so kann man dies auch folgendermaßen schreiben: $$f: D\rightarrow W \textrm{ mit } y=2x$$ wobei x im Definitionsbereich und y im Wertebereich liegt. Eine oft gebräuchlichere Schreibweise ist aber: $$f: D\rightarrow W \textrm{ mit } f(x)=2x \textrm{ (gesprochen: f von x ist 2 mal x)}$$

Im Bild sind drei Darstellungsformen der Funktion f mit $f(x)=2x$ dargestellt: Funktionsgleichung - Wertetabelle - Graph


Beispiele:

Funktionsgleichung gesprochen Bedeutung
$f(x)=x+1$ f von x ist x plus 1 Die Funktion f ordnet jedem x seine um 1 höhere Zahl x+1 zu.
$f(x)=2x$ f von x ist 2 mal x Die Funktion f ordnet jedem x ihren doppelten Wert zu.
$f(x)=3x+1$ f von x ist 3 mal x plus 1 Die Funktion f ordnet jedem x jene Zahl zu, die man erhält, wenn man vom Dreifachen von x eins abzieht.


Nun lernen wir, mithilfe einer Funktionsgleichung eine Wertetabelle und anschließend einen Graphen zu erstellen:



Bsp.png

Gegeben ist die Funktion f mit der Funktionsgleichung $f(x)=x+2$. a) Erstelle mithilfe der Funktionsgleichung eine Wertetabelle im Definitionsbereich [0;3] b) Skizziere den Graphen der Funktion

a) Erstelle mithilfe der Funktionsgleichung eine Wertetabelle im Definitionsbereich [0;3]

Gegeben ist die Funktionsgleichung $f(\color{red}{x})=\color{red}{x}+2$ (wir könnten auch y=x+2 schreiben, da f(x)=y ist).


Wertetabelle der Funktion $f(x)=x+2$

Um die Wertetabelle zu erstellen, setzen wir nun Zahlen aus dem Definitionsbereich [0;3] für x ein und berechnen damit y (oder f(x)).

  • Wenn x=0 dann ist: $f(\color{red}{0})=\color{red}{0}+2=2$ d.h. für x=0 ist y=2 (oder $f(\color{red}{0})=2$)
  • Wenn x=1 dann ist: $f(\color{red}{1})=\color{red}{1}+2=3$ d.h. für x=1 ist y=2 (oder f(1)=3)
  • Wenn x=2 dann ist: $f(\color{red}{2})=\color{red}{2}+2=4$ d.h. für x=2 ist y=4 (oder f(2)=4)
  • Wenn x=3 dann ist: $f(\color{red}{3})=\color{red}{3}+2=5$ d.h. für x=3 ist y=5 (oder f(3)=5)

Natürlich können wir auch Dezimalzahlen einsetzen:

  • Wenn x=0.5 dann ist: f(0.5)=0.5+2=2.5 d.h. für x=2.5 ist y=2.5 (oder f(1.5)=2.5)

Fassen wir x-Werte und y-Werte in einer Tabelle zusammen, so erhalten wir die richts abgebiltete Wertetabelle.


b) Skizziere den Graphen der Funktion f Um den Graphen zu zeichnen, verwenden wir die Werte aus der Wertetabelle. Jede Spalte entspricht dabei einem Punkt mit x-Koordinate und y-Koordinate. z.B.: Nehmen wir den Punkt aus der untersten Zeile: (0.5,2.5) so müssen wir 0.5 entlang der x-Achse nach rechts und 2.5 entlang der y-Achse hinauf (Bei Schwierigkeiten mit dem Einzeichnen der Punkte, siehe Koordinatensystem).

Zeichnest du alle Punkte ein, so erhälst du:

Einzeichnen der Punkte aus der Wertetabelle

Was wir zum jetzigen Zeitpunkt noch nicht wissen ist, dass f(x)=x+2 eine lineare Funktion ist, dessen Graph immer eine Gerade ist. Somit können wir die Punkte verbinden und erhaltne den Graph der Funktion im Definitionsbereich [0;3]:

Graph der Funktion $f(x)=x+2$ im Definitionsbereich [0;3]



Merke
Rotes rufezeichen.png
 $$\ $$
  1. Eine Wertetabelle erstellt man, indem man für x einen Wert aus dem Definitionsbereich einsetzt und den y-Wert ausrechnet.
  2. Einen Graphen erstellt man, indem man zuerst die Punkte (x,y) aus der Wertetabelle einzeichnet und anschließend passend verbindet. Den x-Wert nach rechts/links und den y-Wert hinauf/hinunter.

(Beachte: Was es heißt, die Punkte "passend zu verbinden" kommt immer auf die Art der Funktion an - dies lernst du in den weiteren Kapiteln)



Übung zur Darstellung von Funtkionen: Funktionsgleichung - Wertetabelle - Graph
Löse die Aufgaben, indem du
  1. die passende Funktionsgleichung eintippst
  2. die Wertetabelle richtig stellst (rote Werte)
  3. die Punkte im Graphen an die richtige Stelle schiebst.

Klicke am Ende jeder Aufgabe auf "Überprüfung" und zu sehen, ob du die Aufgabe richtig gelöst hast.

Falls dieses Applet nicht funktioniert, klicke hier



Hinweis!

$$\ $$
  1. Anstelle von f können auch andere Buchstaben für eine Funktion verwendet werden. Z.B.: $g(x)=x+1$
  2. Auch muss nicht immer x als Variable verwendet werden. So wird für die Zeit als Definitionsbereich meist der Buchstabe t verwendet. z.B.: $g(t)=t+1$.



Merke
Rotes rufezeichen.png
 Folgende Darstellungsformen sind in der Mathematik von großer Bedeutung:
  1. Funktionsgleichung
  2. Wertetabelle
  3. Graph einer Funktion

Viele Aufgaben werden darin bestehen, zwischen diesen Darstellungsformen zu wechseln.


Zusammenfassungsvideo

Aufstellen einer Funktionsgleichung - Abhängige und unabhngige Variable

Oft besteht die Aufgabe darin, aus einem Text eine passende Funktionsgleichung aufzustellen. Dabei muss zuerst überlegt werden, was die x- und was die y-Variable (oder f(x) ) sein soll. Dabei gilt folgende Grundregel: Vorlage:VorlageMerke 

Beispiele


Anwendungen

Temperatur usw

$\begin{align} f:&\mathbb{R}_{\geq 0} \longrightarrow \mathbb{R}_{\geq 0} \\ &\ \ x \ \ \ \longmapsto y \end{align}$



Weiteres Applet zu Definitions- und Bildbereich: https://www.geogebra.org/m/UWEnxpFJ


Eigenschaften von Funktionen

Übungen

Hierfür musst du Gleichungssysteme lösen.

Matura-Aufgaben

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