Quadratische Funktionen

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Parabeln.png


Definition
Grün rufezeichen.png
 Die Funktionsgleichung einer quadratischen Funktion (auch Polynomfunktion 2. Grades genannt) lautet $$y=a\cdot x^2+b\cdot x+c$$
mit $a,b,c\in$ $\mathbb{R} $ .




Hinweis:
* !Wichtig! Der Graph einer quadratischen Funktion ist IMMER eine Parabel und damit $\cup$- oder $\cap$-förmig (siehe Abbildungen rechts).

  • Quadratische Funktionen haben immer genau einen Hoch- oder Tiefpunkt. Diesen nennt man Scheitelpunkt (oder Scheitel)
  • Die Gleichung $ y=a\cdot x^2+b\cdot x+c$ wird als Normalform bezeichnet (sozusagen: im Normalfall ist die Funktion in dieser Form gegeben).
    : Neben der Normalform gibt es auch noch die Scheitelpunktform $y=a\cdot (x-w)^2+s$


Graph, Parameter und Eigenschaften

$Aha!$ $\ $ Schau dir dieses Arbeitsblatt an und beantworte die darin angeführten Fragen.


Gegeben sei eine quadratische Funktion der Form
$$f(x)= a\cdot x^2+b\cdot x+c$$

Dann haben die Parameter $a,\ b$ und $c$ folgende Auswirkungen auf den Graphen der quadratischen Funktion:
----
Graph mit a.gif



$a$ gibt an, wie stark der Graph steigt oder fällt


* Ist $a>0$, so ist die Parabel nach oben offen.
* Ist $a<0$, so ist die Parabel nach unten offen.
* Je größer [[Betrag einer Zahl (1.6.)| $]] ist, desto steiler ist der Graph.
* $a$ kann abgelesen werden, indem man vom Scheitelpunkt aus '''eins''' nach rechts und dann senkrecht zum Graphen geht. {| style="background-color:#D3D3D3"
|'''Achtung:''' Im Gegensatz zu den [[lineare Funktionen | linearen Funktionen]] darf man hier immer nur 1 nach rechts, niemals mehr. Der Grund: Die Steigung der Parabel ändert sich (sie wird immer steiler). Dagegen ist die Steigung der quadratischen Funktion immer konstant.

Allgemein gilt: Ist eine Steigung konstant, so ist es egal, ob man z.B. 1 nach rechts und 3 hinauf, oder 2 nach rechts und 6 hinauf geht.
|} ----
[[Datei:Graph mit b1.gif | right]] '''$b$ verschiebt den Scheitelpunkt entlang einer Kurve nach rechts oder links:'''
* Ist $b<0$, so liegt der Scheitelpunkt '''rechts''' (!) der y-Achse.
* Ist $b>0$, so liegt der Scheitelpunkt '''links''' (!) der y-Achse. '''!Achtung! Merke dir:'''
* $b<0\rightarrow$ rechts
* $b>0\rightarrow$ links

'''Zusatz für Interessierte'''
Die Kurve, entlang derer die Parabel verschoben wird, ist die Spiegelung der Parabel parallel zur x-Achse. Wer selbständig beweisen kann, warum dies so ist, dem ist der 1er so gut wie sicher.
----
[[Datei:Graph mit c1.gif|right]]
$c$ gibt den Schnittpunkt mit der y-Achse an (vgl. das [[Lineare Funktionen#d = Abstand auf der y-Achse ("Ordinatenabschnitt") |d bei den linearen Funktionen]]).
* Ist $c>0$, so liegt der Schnittpunkt oberhalb der x-Achse.
* Ist $c=0$, so geht die Parabel durch den Koodrinatenursprung.
* Ist $c<0$, so schneidet die Parabel die y-Achse unterhalb der x-Achse.






== Nullstellen quadratischer Funktionen == [[Datei:Nullstellen.png|thumb|right|400px| Parabeln mit 0, 1 oder 2 Nullstellen]] Die [[Nullstelle | Nullstellen]] einer quadratischen Funktion sind die Schnittpunkte der Parabel mit der x-Achse. Je nachdem, wie die Parabel im Koordinatensystem liegt gibt es:
* 2 Nullstellen
* 1 Nullstelle (=Scheitelpunkt liegt auf der x-Achse)
* 0 Nullstellen.
Die Nullstellen einer quadratischen Funktion werden berechnet, indem man $f(x)=0$ setzt und dann die [[qudratische Gleichungen | quadratische Gleichung]] UNIQaf0b470a842c5c12-MathJax-5-QINU löst.
Siehe auch [[qudratische Gleichungen]]
'''Musterbeispiel:''' Bestimme die Nullstelle der quadratischen Funktion $f(x)=-x^2+6x-5$
'''Lösung:'''
Zuerst setzen wir die Funktion 0:
UNIQaf0b470a842c5c12-MathJax-6-QINU
Nun verwenden wir die [[quadratische Gleichungen#die große Lösungsformel | große Lösungsformel]] mit a=-1, b=6 und c=-5
UNIQaf0b470a842c5c12-MathJax-7-QINU
[[Datei:Quadfkt-nullstelle.png|thumb|right|200px]]
UNIQaf0b470a842c5c12-MathJax-8-QINU
UNIQaf0b470a842c5c12-MathJax-9-QINU
UNIQaf0b470a842c5c12-MathJax-10-QINU
UNIQaf0b470a842c5c12-MathJax-11-QINU
'''Antwort:''' Der Graph der Funktion schneidet bei $N_1(1|0)$ und $N_2(5|0)$ die x-Achse.






== Typische Rechenbeispiele bei gegebener Funktionsgleichung ==
[[Datei:Bsp.png|left]]

Ein Ball wird in die Höhe geworfen. Die Funktion $h(t)=-0.1x^2+0.3x+3$ gibt die Höhe des Balles in Metern (m) nach t Sekunden (s) an.






a) Bestimmen Sie die Abwurfhöhe des Balles.


b) Ermitteln Sie die Höhe des Balles nach 6 Sekunden.


c) Berechnen Sie, zu welchem Zeitpunkt der Ball auf dem Boden aufkommt.


d) Ermitteln Sie, zu welchem Zeitpunkt der Ball eine Höhe von 2 m hat.


e) Skizzieren Sie den Graphen von h(t) im Intervall $[-2;8]$


f) Erklären Sie, wie mithilfe der Nullstellen der Funktion h(t) jener Zeitpunkt bestimmt werden kann, bei dem der Ball seine maximale Höhe erreicht.



a) Es gilt UNIQaf0b470a842c5c12-MathJax-12-QINU. Bereits am $c=3$ erkennt man, dass die Anfangshöhe 3m ist. Alternativ kann man auch für $t=0$ einsetzen (da hier der Beginn ist):
UNIQaf0b470a842c5c12-MathJax-13-QINU
UNIQaf0b470a842c5c12-MathJax-14-QINU b) Laut Angabe ist $t=6$. Setzen wir dies in die Funktionsgleichung ein, so erhalten wir:
UNIQaf0b470a842c5c12-MathJax-15-QINU
UNIQaf0b470a842c5c12-MathJax-16-QINU
c) Gesucht ist die Nullstelle der Funktion. D.h. für welches t gilt, dass $h(t)=0$ ist:
UNIQaf0b470a842c5c12-MathJax-17-QINU
UNIQaf0b470a842c5c12-MathJax-18-QINU
Nun löst man die Gleichung z.B. mit der [[großen Lösungsformel]] oder mit dem [[GeoGebra|Löse-Befehl]] und erhält:
UNIQaf0b470a842c5c12-MathJax-19-QINU
Der Ball landet nach 7.18 s auf dem Boden. d) Für welches t ist $h(t)=2$?
UNIQaf0b470a842c5c12-MathJax-20-QINU
UNIQaf0b470a842c5c12-MathJax-21-QINU
UNIQaf0b470a842c5c12-MathJax-22-QINU
Nun löst man die Gleichung z.B. mit der [[großen Lösungsformel]] oder mit dem [[GeoGebra|Löse-Befehl]] und erhält:
UNIQaf0b470a842c5c12-MathJax-23-QINU
Somit hat der Ball nach 5 Sekunden eine Höhe von 5 m. e)
[[Datei:Quadratische-fkten-Bsp.png|thumb|center|700px|Graph der Funktion $h(t)$]] d) Nach c) lauten die Nullstellen $t_1=-4.18$ und $t_2=7.18$. Da die Parabel symmetrisch zum Scheitelpunkt ist und die Parabel nach unten offen ist ($a=-0.1<0$), liegt der Scheitelpunkt/Hochpunkt genau zwischen den beiden Nullstellen:
$t_{max}=\frac{-4.18+7.18}{2}=1.5$
Nach 1.5 s erreicht der Ball seine maximale Höhe.
== Scheitelpunktform ==
=== Allgemein ===
[[Datei:Scheitelpunktform1.gif|right]]
Neben der Normalform ($f(x)=ax^2+bx+c$) gibt es auch noch die sogenannte Scheitelpunktform der Parabel:
UNIQaf0b470a842c5c12-MathJax-24-QINU




$a$... gibt die Steigung (genauso wie bei der Normalform) an. $w$... waagrechte Verschiebung des Scheitelpunktes vom Ursprung $s$... senkrechte Verschiebung des Scheitelpunktes vom Ursprung
[[Grün: Arbeitsblätter | $Aha!$ ]] $\ $ In diesem [http://www.geogebratube.org/student/m137542 diesem Arbeitsblatt] kannst du die Bedeutung der Scheitelpunktform genauer lernen. [[Violett: Quizzes und dynamische Aufgabenblätter| ? ]] $\ $ Und hier findest du eine [http://www.geogebratube.org/student/m79503 Aufgabe zur Scheitelpunktform]


'''Musteraufgabe:'''
Zeichnen Sie den Graphen der Funktion $f(x)=0.5\cdot (x-2)^2+1$ in ein Koordinatensystem. Wählen Sie dabei einen passenden Maßstab.

[[Datei:Scheitelpunktformbsp.png|right]]
'''Lösung:'''
* $w=-2$... somit wird die Parabel wird 2 nach rechts verschoben
* $s=1$... somit wird die Parabel um 1 hinauf verschoben
* Der Scheitelpunkt S hat folglich die Koordinaten S(2|1).
* $a=0.5$... damit erhält man die Steigung, wenn man 1 nach rechts und 0.5 hinauf geht.

=== Vor- und Nachteil der Scheitelpunktform ===
Die Scheitelpunktform hat den Vorteil, dass
a) bei gegebener Funktionsgleichung direkt die Koordinaten des Scheitelpunktes bestimmt werden können bzw. b) bei gegebenem Graphen direkt mithilfe des Scheitelpunktes w uns s bestimmt werden können.
=== Umwandlung von der Scheitelpunktform $y=a\cdot (x+w)^2+s$ in die Normalform $y=ax^2+bx+c$ ===
'''Methode''':
Quadriere die Klammer aus und vereinfache den Term!
[[Datei:Bsp.png|left]]

Gegeben ist die quadratische Funktion $f(x)=0.5\cdot (x-2)^2+1$ in Scheitelpunktform. a) Bestimmen Sie die Koordinaten des Scheitelpunktes. b) Wandeln Sie die Funktion in die Normalform $f(x)=ax^2+bx+c$ um.


a) $S(2\vert 1)$, da die Parabel 1 hinauf (=s...senkrecht) und 2 nach rechts (-2=w=waagrecht) verschoben wurden. b) Wir quadrieren die Klammer aus und vereinfachen (siehe [[Binomische Formeln]]:
UNIQaf0b470a842c5c12-MathJax-25-QINU
1. Schritt: ausquadrieren
UNIQaf0b470a842c5c12-MathJax-26-QINU
2. Schritt: vereinfachen
UNIQaf0b470a842c5c12-MathJax-27-QINU
UNIQaf0b470a842c5c12-MathJax-28-QINU
Die Normalform von $f$ lautet $\underline{\underline{f(x)=0.5x^2-2x+3} }$.
=== Umwandlung von der Normalform in die Scheitelpunktform === '''Methode:'''
Um von der Normalform auf die Scheitelpunktform zu kommen, muss man den Funktionsterm [[Quadratisches Ergänzen | quadratisch ergänzen]].
[[Datei:Bsp.png|left]]

Gegeben ist eine quadratische Funktion in Normalform: $f(x)=x^2-2x+3$
Bestimmen Sie die Koordinaten des Scheitelpunktes, indem sie die Funktionsgleichung zuerst in die Scheitelpunktform umformen.

Quadratisches Ergänzen bedeutet, den Funktionsterm so umzuformen, bis eine [[Binomische Formeln|binomische Formel]] entsteht: UNIQaf0b470a842c5c12-MathJax-29-QINU
UNIQaf0b470a842c5c12-MathJax-30-QINU
UNIQaf0b470a842c5c12-MathJax-31-QINU
UNIQaf0b470a842c5c12-MathJax-32-QINU
nun die binomische Formel $a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$ verwenden:
UNIQaf0b470a842c5c12-MathJax-33-QINU
Somit haben wir die Scheitelpunktform $f(x)=(x-1)^2+2$ und die Koordinaten des Scheitelpunktes lauten: $(1\vert 2)$ ($s=1$ und $w=+1\rightarrow$ 1 nach rechts)






'''Füge im folgenden Applet zu jeder Graphik die passende Funktion hinzu'''
Fehler beim [[Widget:Iframe<br />|Widget Iframe<br />]]
== Funktionsgleichung bestimmen ==
'''Typische Aufgabenstellung''':
: ''Bestimmen Sie die Funktionsgleichung der quadratischen Funktion, wenn mehrere Punkte auf der Parabel (=Graph der quadratischen Funktion) gegeben sind.''
'''Lösungsweg:''' Je nachdem, ob der Scheitelpunkt gegeben ist, gibt es zwei verschiedene Lösungswege: a) Wenn der Scheitelpunkt gegeben ist, verwendet man die Scheitelpunktform und bestimmt anhand der Koordinaten des Scheitelpunktes $w$ und $s$ und anschließend $a$ b) Wenn der Scheitelpunkt nicht gegeben ist, verwendet man die Normalform und stellt mithilfe von 3 Punkten insgesamt 3 Gleichungen auf, indem man die Punkte in die Funktionsgleichung $y=a\cdot x^2+b\cdot x+c$ einsetzt.





'''Musterbeispiel''' {| border="1"
!| Normalform $y=a\cdot x^2+b\cdot x+c$
!| Scheitelpunktform $ y=a\cdot(x-w)^2+s$
|-
| '''Wird verwendet, wenn:'''
* Scheitelpunkt nicht bekannt ist.
* 3 Punkte auf dem Graphen bekannt sind.
* [[Nullstelle|Nullstellen]] berechnet werden müssen.
|'''Wird verwendet, wenn:'''
* Scheitelpunkt bekannt oder ablesbar ist.
|-
| '''Berechnung der [[Parameter]]'''
# Man bestimmt 3 Punkte des Graphen und setzt sie in die Funktionsgleichung.
# Das daraus entstehende [[Gleichungssysteme (2.7.)#Gleichungssysteme mit 3 oder mehreren Variablen | Gleichungssystem]] wird gelöst.
| '''Berechnung der [[Parameter]]'''
# w und s können mithilfe des Scheitelpunktes $S=(w,s)$ bestimmt werden.
# a erhält man, entweder, indem man einen weiteren Punkt aus dem Graphen in die Funktionsgleichung einsetzt oder $a$ aus dem Graphen abliest (''eins nach rechts, a hinauf/hinab'') |-
|colspan="2" align="center" | '''Typische Aufgabenstellung:'''
Bestimmen Sie die Funktionsgleichung der abgebildeten Graphen
|-
|


[[Datei:Bsp-Funktionsgleichung bestimmen.png|thumb|center|300px]]
Da der Scheitelpunkt nicht bekannt ist, setzen wir die drei Punkte in die Normalform $y=a\cdot x^2+b\cdot x+c$ ein:
UNIQaf0b470a842c5c12-MathJax-34-QINU
UNIQaf0b470a842c5c12-MathJax-35-QINU
UNIQaf0b470a842c5c12-MathJax-36-QINU Daraus ergibt sich das folgende Gleichungssystem:
UNIQaf0b470a842c5c12-MathJax-37-QINU
UNIQaf0b470a842c5c12-MathJax-38-QINU
UNIQaf0b470a842c5c12-MathJax-39-QINU Löst man dieses, so erhält man:
$a=0.42,\ b=-2.42$ und $c=3$
UNIQaf0b470a842c5c12-MathJax-40-QINU
|[[Datei:Bsp-Funktionsgleichung bestimmen2.png|thumb|center|300px]]

Der Scheitelpunkt hat die Koordinaten $S(2|-1)$. Somit gilt: $w=2$, da der Graph um 2 nach rechts verschoben wurde $s=-1$, da der Graph um 1 hinunter verschoben wurde
UNIQaf0b470a842c5c12-MathJax-41-QINU Um $a$ zu berechnen, setzen wir nun den Punkt (0,3) ein und erhalten:
UNIQaf0b470a842c5c12-MathJax-42-QINU
UNIQaf0b470a842c5c12-MathJax-43-QINU
UNIQaf0b470a842c5c12-MathJax-44-QINU
UNIQaf0b470a842c5c12-MathJax-45-QINU
UNIQaf0b470a842c5c12-MathJax-46-QINU
Hinweis: Dass $a=1$ ist, wäre auch einfacher aus dem Graphen ablesbar gewesen. |} == Online-Übungsmaterialien == * [[Violett: Quizzes und dynamische Aufgabenblätter| ? ]]: Übung zur [https://www.geogebratube.org/student/m82256 Bestimmung der Funktionsgleichung in Normalform]
== Matura-Beispiele ==
* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | $Bifie $Bifie$lt;/span>]]amp;lt;/span>" data-bs-type="internal_link" class="internal bs-internal-link" data-bs-wikitext="Bifie-gr%C3%BCn:%20Aufgaben%20des%20Bifie%20%7C%20<span%20style="background-color:#7CFC00">$Bifie[[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | $Bifie$]]amp;lt;/span>"> $Bifie $Bifie$lt;/span>amp;lt;/span>" data-bs-type="internal_link" class="internal bs-internal-link" data-bs-wikitext="Bifie-gr%C3%BCn:%20Aufgaben%20des%20Bifie%20%7C%20<span%20style="background-color:#7CFC00">$Bifie[[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | $Bifie$]]amp;lt;/span>"> $Bifie $Bifie$lt;/span>amp;lt;/span>" data-bs-type="internal_link" class="internal bs-internal-link" data-bs-wikitext="Bifie-gr%C3%BCn:%20Aufgaben%20des%20Bifie%20%7C%20<span%20style="background-color:#7CFC00">$Bifie[[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | $Bifie$]]amp;lt;/span>"> $Bifie $Bifie$lt;/span> Wasserstrahl (Bifie-Aufgabe: mittel-mittel-leicht)
*: Welche Inhalte werden hier noch gefragt: Nullstelle

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