Kosten- und Preistheorie
Inhaltsverzeichnis
Preisfunktion der Nachfrage
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Die Preisfunktion der Nachfrage, auch "Nachfragefunktion" oder "Preis-Absatz-Funktion" genannt, gibt den Preis p in Anhängigkeit der produzierten Menge x an. |
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$ $
$$p_h=p(0)$$
$$p(x_S)=0$$
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Bild
Eine Firma kann von ihrem Produkt 5 Mengeneinheiten verkaufen, wenn sie den Preis auf € 3,75 pro Stück festlegt. Senkt sie den Preis auf € 2,50 pro Stück, so kann sie 10 Mengeneinheiten des Produktes verkaufen.
- Modellieren sie die lineare Preisfunktion.
- Ermitteln Sie daraus den Höchstpreis und die Sättigungsmenge.
1. Variante: Wir setzen die Punkte $(5\vert 3.75)$ und $(10\vert 2.50)$ die Funktionsgleichung ein und berechnen k und d, indem wir das Gleichungssystem (hierbei eignet sich z.B. das Additionsverfahren) lösen: $$p(x)=k\cdot x+d$$
- 1. Punkt: $I:\ \ 3.75= k\cdot 5+d$
- 2. Punkt: $\underline{II:2.50=k\cdot 10+d\ \ "-"}$
$$1.25=-5\dot k\ \ \ \rightarrow k=-0.25 \rightarrow d=5$$ Somit erhalten wir die Preisfunktion p mit $$p(x)=-0.25x+5$$
Graphik mit den Punkten (weiter oben einfügen
2. Variante: Da es sich um eine lineare Funktion handelt, kann k auch mithilfe dem Steigungsdreieck der Punkte $(5\vert 3.75)$ und $(10\vert 2.50)$ ermittelt werden: $$k=\frac{\Delta y}{Delta x}=\frac{Höhenunterschied}{Längenunterschied}=\frac{2.50-3.75}{10-5}=-0.25$$ Somit ist $k=-0.25$. Um das d nun noch zu berechnen, setzt man einen der beiden Punkte und k in die Funktionsgleichung ein: Punkt $(5\vert 3.75)$ und $k=-0.25$ in $p(x)=k\cdot x+d$ eingesetzt ergeben: $$3.75=-0.25\cdot 5+d\rightarrow 3.75+1.25=d \rightarrow d=5$$ Somit erhalten wir: $$p(x)=-0.25\cdot x+5$$
Graphik mit den Steigungsdreiecken
- Nun bestimmen wir mit der Preisfunktion den Höchstpreis und die Sättigungsmenge:
- Höchstpreis: $p(0)=d=5$. Der Höchstpreis beträgt 5 Euro pro Mengeneinheit.
- Sättigungsmenge: $p(x)=0$
$$0=-0.25x+5$$ $$-5=-0.25x$$ $$x=20$$
- Die Sättigungsmenge beträgt somit 20 Mengeneinheiten.
Graphik der Preisfunktion mit HP und SM einfügen
Erlösfunktion
Allgemein
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Der Gesamterlös E (auch Umsatz genannt) ergibt sich aus dem Produkt der verkauften Menge und dem dezugehörigen Preis:
$$E(x)=x\cdot p(x)$$ |
Gegeben ist die Preisfunktion p mit $p(x)=-0.25x+5$
- Stellen Sie die dazugehörige Erlösfunktion auf.
- Bestimmen Sie die sogenannten Erlösgrenzen, dies sind die Nullstellen der Erlösfunktion.
- Berechnen Sie den maximalen Erlös.
$$E(x)=x\cdot p(x)$$ $$E(x)=x\cdot (-0.25x+5$$ $$E(x)=-0.25x^2+5x$$
Bild der Erlösfunktion.
- Die Nullstellen ermitteln wir, indem wir die Erlösfunktion nullsetzen:
$$0=E(x)$$ $$0=-0.25x^2+5x$$ Durch herausheben von x, Quadkom oder den Löse-Befehl erhalten wir $x_1=0$ und $x_2=20$.
- Nun bestimmen wir den maximalen Erlös:
1. Variante: Mithilfe der Eigenschaften einer quadratischen Funktion Die Erlösfunktion E mit $E(x)=-0.25x^2+5x$ ist eine quadratische Funktion mit 2 Nullstellen. Wie jede quadratische Funktion hat sie aufgrund ihrer Symmetrie ihren Scheitelpunkt (Extremstelle) genau zwischen den beiden Nullstellen. $$x_{max}=\frac{0+20}{2}=10$$ Das Erlösmaximum befindet sich somit bei x=10 Mengeneinheiten. Der Erlös beträgt $E(10)=25$ Geldeinheiten.
2. Variante: Mithilfe des Maximum-Befehls (siehe Ti-Taschenrechner bzw. GeoGebra. Das Ergebnis siehst du in der rechten Abbildung
Bild
3. Variante: Mithilfe der Differentialrechnung. Für ein Maximum muss gelten, dass $f'(x)=0$ und $f''(x)<0$ ist: $$E'(x)=-0.5x+5$$ $$0=-0.5x+5\ \ \ \rightarrow x=10$$ Und nun zur 2. Ableitung: $$E''(x)=-0.5$$ $$ E''(10)=-0.5<0 \ \ \ \rightarrow HP$$ Somit befindet sich bei $x=10$ ein Hochpunkt und der Erlös an dieser Stelle beträgt $E(10)=25$
Grenzerlös
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Der
$$Grenzerlös\ bei\ x =E'(x)$$ gibt die (ungefähre) Steigung des Erlöses an, wenn eine weitere Mengeneinheit produziert wird. |
Bild mit Tangente und Steigungsdreieck
- Bestimmen Sie den Grenzerlös der Erlösfunktion E mit $E(x)=-0.25x^2+5x$ bei einer Menge von $x=5$.
- Interpretieren Sie das Ergebnis.
$$E'(5)=-0.5\cdot 5+5$$ $$E'(5)=2.5 \textrm{€ pro Mengeneinheit}$$ Produziert man statt 5 Mengeneinheiten noch eine zusätzliche 6., so steigt der Erlös (ungefähr) um 2.5 €.
Hinweis: Das "ungefähr" wird deshalb verwendet, da die Tangente die Erlösfunktion nur bei $x=5$ berührt und somit bei $x=6$ ein leicht zu großer Wert herauskommt.
Gif wo das erklärt wird
Kostenfunktion
Definition und Aufbau der Kostenfunktion
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Die Gesamtkosten für die Produktion werden durch die Kostenfunktion K angegeben. Die Kostenfunktion besteht dabei aus 2 Termen:
$$K(x)=K_v (x)+F$$ $K_v (x)...$ variable Kosten, jene Kosten, die von der produzierten Menge x anghängig sind. $F...$ Fixkosten, die auch bei einer Produktion von 0 ME anfallen. |
Typische Eigenschaften einer "ertragsgesetzlichen Kostenfunktion"
- Eine Kostenfunktion heißt ertragsgesetzlich, wenn sie
- streng monoton steigend ist (d.h. $K'(x)>0$ für alle $x$ im Definitionsbereich),
- zuerst einen degressiven Verlauf hat (d.h. rechtsgekrümmt, $K''(x)<0$) und
- nach der Kostenkehre (Wendepunkt der Kostenfunktion, $K''(x)=0$
- einen progressiven Verlauf hat (d.h. linksgekrümmt, $K''(x)>0$.
Bild
Bsp mit Kostenfkt, variable Kosten, fkten-Wert ...
Grenzkosten
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Die $$Grenzkosten\ bei\ x =K'(x)$$
geben die (ungefähre) Steigung der Kosten an, wenn eine weitere Mengeneinheit produziert wird. |
Bild mit Tangente und Steigungsdreieck
Stückkostenfunktion, Betriebsoptimum und langfristige Preisuntergrenze
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Die Stückkosten $\bar{K}(x)$ geben die durchschnittlichen Kosten pro Stück (oder Mengeneinheit) an und berchnen sich, indem die Gesamtkosten durch die Stück dividiert werden, d.h. mit
$$\bar{K}(x)=\frac{K(x)}{x}$$ $x...$ Anzahl der produzierten Stück (oder Mengeneinheiten). $\bar{K}(x)...$ durchschnittliche Kosten pro Stück/Mengeneinheit $K(x)...$ Gesamtkosten |
Interessant bei den durschschnittlichen Kosten ist jene Stelle, bei der die Kosten pro Stück minimal sind, dies nennt man das
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Betriebsoptimum $x_{opt}$ ist jene Stelle, bei der die Stückkosten $\bar{K}(x)$ ein Minimum (Tiefpunkt) haben.
Die dazugehörigen Stückkosten $\bar{K}(x_{opt})$ nennt man langfristige Preisuntergrenze (oder auch kostendeckender Preis) |
Bild
Gegeben ist die Kostenfunktion $K$ mit $$K(x)=0.017x^3 - 0.38x^2 + 3.3x + 10$$
- Berechnen Sie das Betriebsoptimum und die langfristige Preisuntergrenze
$$K(x)=0.017x^3 - 0.38x^2 + 3.3x + 10$$ $$\bar{K}(x)=\frac{0.017x^3 - 0.38x2 + 3.3x + 10}{x}$$ $$\bar{K}(x)=0.017x^2 - 0.38x + 3.3 +\frac{10}{x}$$ $$\bar{K}(x)=0.017x^2 - 0.38x + 3.3+10x^{-1}$$
Nun berechnen wir das Minimum der Stückkostenfunktion. Entweder mit dem Minimumbefehl (TI-Befehle,GeoGebra) oder (wie hier) mithilfe der Differentialrechnung (siehe Ableitung bestimmen bzw. Kurvendiskussionen):
Um das Minimum zu berechnen, ermitteln wir zuerst $\bar{K}'(x)$ und setzen dies dann 0: $$\bar{K}'(x)=0.034x - 0.38 -10x^{-2}$$ $$0=0.034x - 0.38 -10x^{-2}\ \ \ \ \vert \cdot x^2$$ $$0=0.034x^3-0.38x^2-10$$ Diese Gleichung löst man am besten graphisch (siehe TI-Befehle bzw. GeoGebra) oder mit dem Löse-Befehl (siehe TI-Befehle bzw. GeoGebra) und erhält: $$x_{opt}=12.93$$
Antwort: Das Betriebsoptimum liegt bei 12.93 Mengeneinheiten.
Die dazugehörenden Stückkosten, die sogenannte langfristige Preisuntergrenze liegt bei: $$\bar{K}(x_{opt})=\bar{K}(12.93)= 2 \textrm{Euro pro Stück}$$
Variable Stückkostenfunktion, Betriebsminimum und kurzfristige Preisuntergrenze
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Die variablen Stückkosten $\bar{K_v}(x)$ geben die durchschnittlichen variablen Kosten pro Stück an.
$$\bar{K_v}(x)=\frac{K_v(x)}{x}$$ (Hinweis: $\bar{K_v}$ ist jener Term von $K(x)$ ohne die Fixkosten $F$). |
Auch hier interessieren wir uns für jene Stelle, an der die variablen Stückksoten minimal sind:
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Das Betriebsminimum $x_{min}$ ist jene Stelle, bei der die variablen Stückkosten minimal sind.
Die dazugehörenden variablen Stückkosten $\bar{K_v}(x_{min})$ werden kurzfristige Preisuntergrenze genannt. |
Gewinnfunktion
Allgemein
Mithilfe des Erlöses (Umsatz) und der Kosten können wir nun den Gewinn berechnen:
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Sei x die Menge der prozudierten und zugleich verkauften Mengeneinheiten, dann erhält man den Gewinn G aus
$$G(x)=E(x)-K(x)$$ Der Gewinn ergibt sich, wenn man vom Erlös die Kosten abziert. |
Folgende Punkte sind bei der Anaylse der Gewinnfunktion relevant:
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Graphik
Beispiel
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Der Cournotscher Punkt
Sie $x_g$ jene Menge, bei der der Gewinn maximal ist und p(x_g) der Preis bei dieser Menge, dann bezeichnet der Punkt $(x_g \vert p(x_g)$ den cournotschen Punkt auf dem Graphen der Preisfunktion |
Bild der Gewinnfunktion
