Ableitung bestimmen

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In diesem Artikel geht es darum, die erste Ableitung $f'(x)$ einer Funktion $f(x)$ zu bestimmen.

Vorausgesetzt sei im Folgenden, dass die Funktion $f(x)$ auf ihrem Definitionsbereich immer differenzierbar ist (d.h. f'(x) existiert). Dies muss, streng mathematisch genommen, vorausgesestzt werden)

Was ist $f'(x)$?

Differentialquotient $f'(x)$ berechnet die Steigung der Tangente t und damit die Steigung von $f$ an der Stelle $x$.

Definition

Die Ableitungsfunktion $f'(x)$ ist der sogenannte Differentialquotient von $f(x)$. $$ f'(x)={k}=\lim_{\Delta x\rightarrow 0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{(x+\Delta x)- x} $$ und gibt die momentane Steigung der Funktion $f$ an der Stelle x an. $f'(x)$ wird auch als 1. Ableitung von f(x) bezeichnet.

Graphisches Bestimmen der 1. Ableitung

Die Ableitungsfunktion $f'(x)$ kann allein durch betrachtung der ursprünglichen Funktion $f(x)$ bestimmt werden.

$Aha!$ Dieses GeoGebra-Applet zeigt dir, wie das funktioniert..

Merke

$f'(x)$ gibt die Steigung von $f(x)$ an. Somit muss gelten:

$f(x)$	$f'(x)$
1. $f(x)$ hat bei $a$ eine Extremstelle	$\rightarrow$ Hier ist die Steigung $f'(x)=0$
2. $f(x)$ hat bei $b$ einen Wendepunkt	$\rightarrow$ Hier ist der Graph lokal am steilsten oder am flachsten $\rightarrow$ die Steigung $f'$ hat hier einen Hoch- oder Tiefpunkt.
3. $f(x)$ ist monoton wachsend	$\rightarrow$ $f'(x)$ ist positiv, d.h. oberhalb der x-Achse.
4. $f(x)$ ist monoton fallend	$\rightarrow$ $f'(x)$ ist negativ, d.h. unterhalb der x-Achse.

Skizzieren Sie zum gegebenen Graphen von $f(x)$ den Graphen von $f'(x)$!

Graph von f(x)

1. Schritt: Zeichne die Nullstellen von $f'(x)$ (=Extremwerte von $f(x)$ ein)	2. Schritt: Zeichne die Extremwerte von $f'(x)$ (=Wendepunkte von $f(x)$ ein. Die Höhen entprechen den Steigungen von $f(x)$ bei den Wendepunkten.
3. und 4. Schritt: Aufgrund des Monotonierverhaltens von $f(x)$ wissen wir, wann $f'(x)$ positiv oder negativ ist.	$f'(x)$ schön eingezeichnet

$Aha!$ Dieses Applet zeigt noch einmal die schrittweise Bestimmung der Ableitungsfunktion

• ? Ableitungsquiz
• ? Ableitungspuzzle (mathe online)

//* * http://geogebratube.org/material/show/id/43313

Rechnerisches bestimmen von $f'(x)$ - Ableitungsregeln

Grundlegende Regeln

Regel	$f(x)$	$f'(x)$	Bemerkung
Potenzregel	$x^n$	$n\cdot x^{n-1}$	Exponent kommt herunter, dann wird Hochzahl um 1 vermindert.
Konstantenregel $c\in \mathbb{R}$	c	0	konstante Funktionen haben Steigung $= 0$
Faktorregel $a\in \mathbb{R}$	$a\cdot f(x)$	$a\cdot f'(x)$	Ein konstanter Faktor ist von der Ableitung nicht betroffen.
Summenregel	$f(x)+g(x)$	$f'(x)+g'(x)$	Eine Summe wird abegeleitet, indem jeder einzelne Summand einzeln abgeleitet wird.
$e$-Funktion	$e^x$	$e^x$	Die bsondere Eigenschaft von $e^x$ ist, dass es durch Ableiten nicht verändert wird (d.h. Funktionswert bei x =Steigung bei x)
Logarithmus	$ln|x|$	$\frac{1}{x}$
Trigonometrische Funktionen	$sin(x)$ $cos(x)$	$cos(x)$ $-sin(x)$	Durch mehrmaliges Ableiten der Sinus- oder Cosinusfunktion, kommt man immer wieder zur Ausgangsfunktion zurück.

Bestimme zu den folgenden Funktionen die Ableitungsfunktion:

1. $f(x)=x^3$
2. $f(x)=4x$
3. $f(x)=3$
4. $f(x)=5\cdot x^2$
5. $x^3+5x^2-4x+3$
6. $x+\frac{1}{x}-\frac{1}{x^3}+\sqrt[5]{x^2}$
7. $f(x)=\frac{x^4}{5}+2\cdot e^x-ln\vert x\vert $

Wir wenden die einzelnen Regeln Schritt für Schritt an:

1. $f(x)=x^3 \rightarrow f'(x)\underbrace{=}_{Potenzregel} 3\cdot x^{3-1}=3\cdot x^2$
   
   
2. $f(x)=4\cdot x=4\cdot x^1 \rightarrow f'(x)\underbrace{=}_{Potenzregel} 4\cdot 1\cdot x^{1-1}=4\cdot x^0=4\cdot 1=4$
   
   
3. $f(x)=3 \rightarrow f'(x)\underbrace{=}_{Konstantenregel} 0$
   
   
4. $f(x)=5\cdot x^2\rightarrow f'(x)\underbrace{=}_{Faktorregel}5\cdot (x^2)' \underbrace{=}_{Potenzregel}=5\cdot 5\cdot 2\cdot x^{2-1}=10\cdot x$
   
   
5. $x^3+5x^2-4x+3\rightarrow f'(x)\underbrace{=}_{Summenregel}(x^3)'+(5x^2)'-(4x)'+(3)' \underbrace{=}_{Potenzregel}3x^2+10x-4+0$
6. $x+\frac{1}{x}-\frac{1}{x^3}+\sqrt[5]{x^2}\underbrace{=}_{umformen} x+x^{-1}-x^{-3}+x^{\frac{2}{5} }$
   
   $$\rightarrow f'(x)\underbrace{=}_{Potenzregel}1\cdot x^0+(-1)\cdot x^{-2}-(-3)\cdot x^{-4}+\frac{2}{5}\cdot x^{(\frac{2}{5}-1)}=$$ $$=1-x^{-2}+3\cdot x^{-4}+\frac{2}{5}\cdot x^{-\frac{3}{5} }$$ $$=1+\frac{1}{x^2}+\frac{3}{x^4}+\frac{2}{5\sqrt[5]{x^3} }$$
   
   
7. $f(x)=\frac{x^4}{5}+2\cdot e^x-ln \vert x \vert \rightarrow f'(x)\underbrace{=}_{Potenzregel/Faktorregel,\ e-\ und\ ln-Regel}\frac{4x^3}{5}+2\cdot e^x-\frac{1}{x}$

Produktregel

Im Gegensatz zur Summe zweier Funktionen $( (f(x)+g(x))'=f'(x)+g'(x)$, siehe oben 'Summenregel'$)$ kann man das Produkt zweier Funktionen $f(x)\cdot g(x)$ nicht mehr so einfach ableiten. Hierfür braucht es die sogenannte ...

Merke

Produktregel $$(f(x)\cdot g(x))'=f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x)$$ "Zuerst den ersten Faktor ableiten, den zweiten stehen lassen, $$\textrm{Plus}$$ den ersten stehen Faktor lassen, den anderen ableten."

Gegeben ist die Funktion $h(x)=(x^2-1)\cdot (3x^2-4x+1)$. Bestimmen Sie $h'(x)$.

Da es sich hierbei um ein Produkt handelt, müssen wir die Produktregel andwenden:

$$h(x)=\underbrace{(x^2-1)}_{f(x)} \cdot \underbrace{(3x^2-4x+1)}_{g(x)}$$ Zuerst berechnen wir in einer Nebenrechnung die Ableitungen der Faktoren: $$f(x)=x^2-1\rightarrow f'(x)=2x$$ $$g(x)=3x^2-4x-+1\rightarrow g'(x)=6x-4$$

Nun setzen wir die Formel zusammen: $$h'(x)=\underbrace{2x}_{f'(x)}\cdot \underbrace{(3x^2-4x+1)}_{g(x)}+\underbrace{(x^2-1)}_{f(x)}\cdot \underbrace{(6x-4)}_{g'(x)}$$

Zuletzt vereinfachen wir noch das Ergebnis: $$h'(x)=6x^3-8x^2+2x+6x^3-4x^2-6x+4$$ $$\underline{\underline{h'(x)=12x^3-12x^2-4x+4} }$$

Kettenregel

Um Klammerausdrücke oder verkette Funktionen wie zum Beispiel $f(x)=\sqrt[3]{x^2-1}$ oder $e^{2x-1}$ abzuleiten, verwenden wir die

Merke

Kettenregel $$h(x)=f[g(x)]\ \ \rightarrow \ \ h'(x)=\underbrace{f'(g(x))}_{\textrm{äußere Ableitung} } \cdot \underbrace{h'(x)}_{\textrm{innere Ableitung} }$$ $f(x)$ wird als äußere Funktion, $g(x)$ als innere Funktion bezeichnet.

Gegeben ist $h(x)=\sqrt[3]{x^2-1}$. Bestimmen Sie $h'(x)$

Zuerst schreiben wir die Wurzel in der Exponentenschreibweise:

$$h(x)=(x^2-1)^{\frac{1}{3} }$$

• Die äußere Funktion ist nun $f(x)=(\ \ )^{\frac{1}{3} }$. Damit ist $f'(x)=\frac{1}{3}\cdot (\ \ )^{\frac{1}{3}-1}=\frac{1}{3}\cdot (\ \ )^{-\frac{2}{3} }$

• Die innere Funktion ist $g(x)=x^2-1$. Damit ist $g'(x)=2x$

Nun setzen wir die Kettenregel zusammen: $$ h'(x)=\underbrace{\frac{1}{3}\cdot (x^2-1)^{-\frac{2}{3} } }_{\textrm{äußere Ableitung} } \cdot \underbrace{2x}_{\textrm{innere Ableitung} }$$

$$ h'(x)=\frac{2x}{3\cdot \sqrt[3]{(x^2-1)^2} }$$

Bestimmen Sie die Ableitungsfunktion von $f(x)=e^{2x-1}$

Zuerst kümmern wir uns um die äußere und innere Funktion getrennt:

• Die äußere Funktion ist die Exponentialfunktion $f(x)=e\textrm{^}\ \rightarrow\ f'(x)=e\textrm{^}$
• Die innere Funktion ist $g(x)=2x-1 \ \rightarrow g'(x)=2$

Nun setzen wir die Kettenregel wieder zusammen:

$$ h'(x)=\underbrace{e^{2x-1} }_{\textrm{äußere Ableitung} } \cdot \underbrace{2}_{\textrm{innere Ableitung} }$$ $$h'(x)=2\cdot e^{2x-1} $$

Matura-Aufgaben

• $Bifie$ : Leistungskurve

  hier musst du die Ableitungsfunktion graphisch bestimmen!