Umkehraufgaben: Unterschied zwischen den Versionen
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$$f''(x)=6\cdot a\cdot x+2\cdot b$$ | $$f''(x)=6\cdot a\cdot x+2\cdot b$$ | ||
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$$I:\ f(1)=a\cdot 1^3+b\cdot 1^2+c\cdot 1+d=1$$ | $$I:\ f(1)=a\cdot 1^3+b\cdot 1^2+c\cdot 1+d=1$$ | ||
$$I:\ a+b+c+d=1$$ | $$I:\ a+b+c+d=1$$ | ||
| − | 2. Gleichung: ''"Der Graph einer Polynomfunktion f vom Grad 3 berührt die x-Achse bei x=1"'' $ | + | 2. Gleichung: ''"Der Graph einer Polynomfunktion f vom Grad 3 berührt die x-Achse bei x=1"'' $\rightarrow $ die Steigung ist hier 0 $\rightarrow f'(1)=0$. |
$$II:\ f'(1)=3a\cdot 1^2+2b\dot 1+c=0$$ | $$II:\ f'(1)=3a\cdot 1^2+2b\dot 1+c=0$$ | ||
$$II:\ 3a+2b+c=0$$ | $$II:\ 3a+2b+c=0$$ | ||
| − | 3. Gleichung: ''"...hat den Wendepunkt W=(3\vert 4)"''$ | + | 3. Gleichung: ''"...hat den Wendepunkt W=(3\vert 4)"''$\rightarrow f(3)=4$ |
$$III:\ f(3)=a\cdot 3^3+b\dot 3^2+c\cdot 3+d=4$$ | $$III:\ f(3)=a\cdot 3^3+b\dot 3^2+c\cdot 3+d=4$$ | ||
$$III:\ 27a+9b+3c+d=4$$ | $$III:\ 27a+9b+3c+d=4$$ | ||
| − | 4. Gleichung ''"...hat den Wendepunkt W=(3\vert 4)"''$ | + | 4. Gleichung ''"...hat den Wendepunkt W=(3\vert 4)"''$\rightarrow $ die Krümmung ist 0 bei x=3 $\rightarrow f''(3)=0$ |
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$$IV:\ 18a+2b=0$$ | $$IV:\ 18a+2b=0$$ | ||
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$\rightarrow a=-0.19;b=1.69;c=-2.81;d=2.31$ | $\rightarrow a=-0.19;b=1.69;c=-2.81;d=2.31$ | ||
Somit lautet die Funktionsgleichung: | Somit lautet die Funktionsgleichung: | ||
| − | $$f(x)=-0.19\cdot x^3+1.69\cdot x^2-2.81\cdot x+2.31$$ | + | $$\underline{\underline{f(x)=-0.19\cdot x^3+1.69\cdot x^2-2.81\cdot x+2.31}}$$ |
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Version vom 14. Januar 2015, 16:29 Uhr
Theorie
| Formulierungen im Text | mathematische Übersetzung |
|---|---|
| Der Punkt $P(a\vert b)$ liegt auf dem Graphen der Funktion.
Der Graph der Funktion $f$ verläuft durch $P(a\vert b)$. |
$$f(a)=b$$ |
| Die Funktion schneidet die x-Achse an der Stelle $x=a$.
Die Nullstelle der Funktion $f$ befindt sic bei $N(a|0)$. |
$$f(a)=0$$ |
| Die Funktion $f$ hat an der Stelle $x=a$ ein Extremum. | $$f'(a)=0$$ |
| Die Funktion $f$ hat an der Stelle $x=a$ einen Wendepunkt. | $$f''(a)=0$$ |
| Die Funktion $f$ hat an der Stelle $x=a$ die Steigung k.
Die Funktion $f$ ist an der Stelle $x=a$ parallel zur Geraden $g: y=k\cdot x+d$ |
$$f'(a)=k$$ |
| Die Funktion $f$ hat an der Stelle $x=a$ den Steigungswinkel $\alpha$ | $$f'(a)=\tan \alpha$$ |
| Die Funktion $f$ berührt an der Stelle $x=a$ die Gerade $y=k\cdot x+d$ | $$f'(a)=k$$
und $$f(a)=k\cdot a+d$$ |
(vgl. Tinhof (u.a.): Mathematik III HLW/...., Trauner, 2012, S. 94)
Musterbeispiele
Der Graph einer Polynomfunktion f vom Grad 2 geht durch den Punkt P=(0\vert 3) und hat den Tiefpunkt bei $(3\vert -2)$. Ermittle eine Termdarstellung.
$$f(x)=a\cdot x^2+b\cdot x+c$$ Da wir später die 1. Ableitung verwenden müssen, berechnen wir sie gleich: $$f'(x)=2a\cdot x+b$$ Insgesamt haben wir 3 Unbekannte zu bestimmen: $a, b$ und $c$. Somit brauchen wir 3 Gleichungen:
1. Gleichung: "Der Graph ... geht durch den Punkt (0\vert 3)"$\rightarrow f(0)=3$ $$I:\ f(0)=a\dot 0^2+b\cdot 0+c=3$$ $$I:\ c=3$$
2. Gleichung: "... hat den Tiefpunkt (3\vert -2)" $\rightarrow$ somit liegt auch der Punkt $(3\vert -2)$ auf dem Graphen $\rightarrow f(3)=-2$ $$II:\ f(3)=a\cdot 3^2+b\cdot 3+c=-2$$ $$II:\ 9a+3b+c=-2$$
3. Gleichung: "... hat den Tiefpunkt (3\vert -2)" $\rightarrow f'(3)=0$ $$III:\ f'(3)=2a\cdot 3+2b=0$$ $$III:\ 6a+2b=0$$
Somit lautet das Gleichungssystem: $$I:\ c=3$$ $$II:\ 9a+3b+c=-2$$ $$III:\ 6a+b=0$$ Indem wir das Gleichungssystem lösen erhalten wir: $$a=0.56; b=-3.33; c=3$$ Somit lautet die Funktionsgleichung: $$\underline{\underline{f(x)=0.56\cdot x^2-3.33\cdot x+3
Graph mit den Punkten
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Der Graph einer Polynomfunktion f vom Grad 3 berührt die x-Achse bei x=1 und hat den Wendepunkt $W=(3\vert 4)$. Berechne die Termdarstellung.
Zuerst bestimmen wir die 1. und 2. Ableitung, da wir diese gleich brauchen werden: $$f(x)=a\cdot x^3+b\cdot x^2+c\cdot x+d$$ $$f'(x)=3\cdot a\cdot x^2+2\cdot b\cdot x+c$$ $$f''(x)=6\cdot a\cdot x+2\cdot b$$
1. Gleichung: "Der Graph einer Polynomfunktion f vom Grad 3 berührt die x-Achse bei x=1"$\rightarrow P(1\vert 0)$ liegt auf dem Graphen $\rightarrow f(1)=0$ $$I:\ f(1)=a\cdot 1^3+b\cdot 1^2+c\cdot 1+d=1$$ $$I:\ a+b+c+d=1$$
2. Gleichung: "Der Graph einer Polynomfunktion f vom Grad 3 berührt die x-Achse bei x=1" $\rightarrow $ die Steigung ist hier 0 $\rightarrow f'(1)=0$. $$II:\ f'(1)=3a\cdot 1^2+2b\dot 1+c=0$$ $$II:\ 3a+2b+c=0$$
3. Gleichung: "...hat den Wendepunkt W=(3\vert 4)"$\rightarrow f(3)=4$ $$III:\ f(3)=a\cdot 3^3+b\dot 3^2+c\cdot 3+d=4$$ $$III:\ 27a+9b+3c+d=4$$
4. Gleichung "...hat den Wendepunkt W=(3\vert 4)"$\rightarrow $ die Krümmung ist 0 bei x=3 $\rightarrow f''(3)=0$ $$IV:\ f''(3)=6a\cdot 3+2b=0$$ $$IV:\ 18a+2b=0$$
Nun müssen wir nur noch das Gleichungssystem mit den 4 Gleichungen lösen: $$I:\ a+b+c+d=1$$ $$II:\ 3a+2b+c=0$$ $$III:\ 27a+9b+3c+d=4$$ $$IV:\ 18a+2b=0$$ Und erhalten: $\rightarrow a=-0.19;b=1.69;c=-2.81;d=2.31$ Somit lautet die Funktionsgleichung: $$\underline{\underline{f(x)=-0.19\cdot x^3+1.69\cdot x^2-2.81\cdot x+2.31
Graph mit den Punkten
}}
hier würde sich ein Quiz noch gut anbieten!
Beispiele
- $Bifie$ Wasserstrahl (Bifie-Aufgabe: mittel-mittel-leicht)
- Welche Inhalte werden hier noch gefragt: Nullstelle
- $Bifie$ Minirampe (mittel)
- Hier brauchst du auch Wissen über Kurvendiskussionen sowie über Steigung und Steigungswinkel und über Integration (Aufgabe a)
- $Bifie$ Ortsumfahrung (Bifie-Aufgabe: mittel-mittel)
- Welche Inhalte werden hier noch gefragt: Quadratische Funktionen und Bestimmen der Tangentengleichung
- $Bifie$ Schispringen (Bifie-Aufgabe: leicht-mittel-mittel)
- Welche Inhalte werden hier noch gefragt: Quadratische Funktionen und Bestimmen der Tangentengleichung
