Ableitung bestimmen: Unterschied zwischen den Versionen

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(→‎Graphisches Bestimmen der 1. Ableitung)
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=== Produktregel ===
 
=== Produktregel ===
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Im Gegensatz zur Summe zweier Funktionen ($(f(x)+g(x))'=f'(x)+g'(x)$, siehe oben 'Summenregel') kann man das [[Produkt]] zweier Funktionen $f(x)\cdot g(x)$ nicht mehr so einfach ableiten. Hierfür braucht es die sogenannte '''Produktregel''':
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{{Vorlage:Merke|1= $$(f(x)\cdot g(x))'=f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x)$$
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Zuerst den ersten[[Faktor]] ableiten, den zweiten stehen lassen,
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$$\textnormal{Plus}
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den ersten stehen Faktor lassen, den anderen ableten. }}
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{{Vorlage:Beispiel|1= Gegeben ist die Funktion $h(x)=(x^2-1)\cdot (3x^2-4x+1)$. Bestimmen Sie $h'(x)$.
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|2= Da es sich hierbei um ein [[Produkt]] handelt, müssen wir die Produktregel andwenden:
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$$h(x)=\underline{(x^2-1)_{f(x)} \cdot \underline{(3x^2-4x+1)}_{g(x)}$$
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Zuerst berechnen wir in einer Nebenrechnung die Ableitungen der Faktoren:
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$$f(x)=x^2-1\rightarrow f'(x)=2x$$
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$$g(x)=3x^2-4x-+1\rightarrow g'(x)=6x-4$$
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Nun setzen wir die Formel zusammen:
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$$h'(x)=\underline{2x}_{f'(x)}\cdot \underline{(3x^2-4x+1)}_{g(x)}+\underline{(x^2-1)}_{f(x)}\cdot \underline{(6x-4)}_{g'(x)}$$
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=== Quotientenregel ===
 
=== Quotientenregel ===
  

Version vom 28. September 2014, 17:53 Uhr

In diesem Artikel geht es darum, die erste Ableitung $f'(x)$ einer Funktion $f(x)$ zu bestimmen.

Vorausgesetzt sei im Folgenden, dass die Funktion $f(x)$ auf ihrem Definitionsbereich immer differenzierbar ist (d.h. f'(x) existiert). Dies muss, streng mathematisch genommen, vorausgesestzt werden)

Was ist $f'(x)$?

Differentialquotient $f'(x)$ berechnet die Steigung der Tangente t und damit die Steigung von $f$ an der Stelle $x$.


Definition
Grün rufezeichen.png
 Die Ableitungsfunktion $f'(x)$ ist der sogenannte Differentialquotient von $f(x)$.

$$ f'(x)={k}=\lim_{\Delta x\rightarrow 0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{(x+\Delta x)- x} $$

und gibt die momentane Steigung der Funktion $f$ an der Stelle x an.


$f'(x)$ wird auch als 1. Ableitung von f(x) bezeichnet.





Graphisches Bestimmen der 1. Ableitung

Die Ableitungsfunktion $f'(x)$ kann allein durch betrachtung der ursprünglichen Funktion $f(x)$ bestimmt werden.

$Aha!$ Dieses GeoGebra-Applet zeigt dir, wie das funktioniert..


Merke
Rotes rufezeichen.png
 $f'(x)$ gibt die Steigung von $f(x)$ an. Somit muss gelten:


$f(x)$ $f'(x)$
1. $f(x)$ hat bei $a$ eine Extremstelle $\rightarrow$ Hier ist die Steigung $f'(x)=0$
2. $f(x)$ hat bei $b$ einen Wendepunkt $\rightarrow$ Hier ist der Graph lokal am steilsten oder am flachsten $\rightarrow$ die Steigung $f'$ hat hier einen Hoch- oder Tiefpunkt.
3. $f(x)$ ist monoton wachsend $\rightarrow$ $f'(x)$ ist positiv, d.h. oberhalb der x-Achse.
4. $f(x)$ ist monoton fallend $\rightarrow$ $f'(x)$ ist negativ, d.h. unterhalb der x-Achse.


Bsp.png

Skizzieren Sie zum gegebenen Graphen von $f(x)$ den Graphen von $f'(x)$!

Graph von f(x)

1. Schritt: Zeichne die Nullstellen von $f'(x)$ (=Extremwerte von $f(x)$ ein)
2. Schritt: Zeichne die Extremwerte von $f'(x)$ (=Wendepunkte von $f(x)$ ein. Die Höhen entprechen den Steigungen von $f(x)$ bei den Wendepunkten.
3. und 4. Schritt: Aufgrund des Monotonierverhaltens von $f(x)$ wissen wir, wann $f'(x)$ positiv oder negativ ist.
$f'(x)$ schön eingezeichnet





$Aha!$ Dieses Applet zeigt noch einmal die schrittweise Bestimmung der Ableitungsfunktion


? Ableitungsquiz


//* * http://geogebratube.org/material/show/id/43313

Rechnerisches bestimmen von $f'(x)$ - Ableitungsregeln

Grundlegende Regeln

Regel $f(x)$ $f'(x)$ Bemerkung
Potenzregel $x^n$ $n\cdot x^{n-1}$ Exponent kommt herunter, dann wird Hochzahl um 1 vermindert.
Konstantenregel

$c\in \mathbb{R}$

c 0 konstante Funktionen haben Steigung $= 0$
Faktorregel

$a\in \mathbb{R}$

$a\cdot f(x)$ $a\cdot f'(x)$ Ein konstanter Faktor ist von der Ableitung nicht betroffen.
Summenregel $f(x)+g(x)$ $f'(x)+g'(x)$ Eine Summe wird abegeleitet, indem jeder einzelne Summand einzeln abgeleitet wird.
$e$-Funktion $e^x$ $e^x$ Die bsondere Eigenschaft von $e^x$ ist, dass es durch Ableiten nicht verändert wird

(d.h. Funktionswert bei x =Steigung bei x)

Logarithmus $ln|x|$ $\frac{1}{x}$
Trigonometrische Funktionen $sin(x)$ $cos(x)$ $cos(x)$ $-sin(x)$
Durch mehrmaliges Ableiten der Sinus- oder Cosinusfunktion, kommt man immer wieder zur Ausgangsfunktion zurück.


Bsp.png

Bestimme zu den folgenden Funktionen die Ableitungsfunktion:


  1. $f(x)=x^3$
  2. $f(x)=4x$
  3. $f(x)=3$
  4. $f(x)=5\cdot x^2$
  5. $x^3+5x^2-4x+3$
  6. $x+\frac{1}{x}-\frac{1}{x^3}+\sqrt[5]{x^2}$
  7. $f(x)=\frac{x^4}{5}+2\cdot e^x-ln\vert x\vert $


Wir wenden die einzelnen Regeln Schritt für Schritt an:
  1. $f(x)=x^3 \rightarrow f'(x)\underbrace{=}_{Potenzregel} 3\cdot x^{3-1}=3\cdot x^2$

  2. $f(x)=4\cdot x=4\cdot x^1 \rightarrow f'(x)\underbrace{=}_{Potenzregel} 4\cdot 1\cdot x^{1-1}=4\cdot x^0=4\cdot 1=4$

  3. $f(x)=3 \rightarrow f'(x)\underbrace{=}_{Konstantenregel} 0$

  4. $f(x)=5\cdot x^2\rightarrow f'(x)\underbrace{=}_{Faktorregel}5\cdot (x^2)' \underbrace{=}_{Potenzregel}=5\cdot 5\cdot 2\cdot x^{2-1}=10\cdot x$

  5. $x^3+5x^2-4x+3\rightarrow f'(x)\underbrace{=}_{Summenregel}(x^3)'+(5x^2)'-(4x)'+(3)' \underbrace{=}_{Potenzregel}3x^2+10x-4+0$
  6. $x+\frac{1}{x}-\frac{1}{x^3}+\sqrt[5]{x^2}\underbrace{=}_{umformen} x+x^{-1}-x^{-3}+x^{\frac{2}{5} }$

    $$\rightarrow f'(x)\underbrace{=}_{Potenzregel}1\cdot x^0+(-1)\cdot x^{-2}-(-3)\cdot x^{-4}+\frac{2}{5}\cdot x^{(\frac{2}{5}-1)}=$$ $$=1-x^{-2}+3\cdot x^{-4}+\frac{2}{5}\cdot x^{-\frac{3}{5} }$$ $$=1+\frac{1}{x^2}+\frac{3}{x^4}+\frac{2}{5\sqrt[5]{x^3} }$$

  7. $f(x)=\frac{x^4}{5}+2\cdot e^x-ln \vert x \vert \rightarrow f'(x)\underbrace{=}_{Potenzregel/Faktorregel,\ e-\ und\ ln-Regel}\frac{4x^3}{5}+2\cdot e^x-\frac{1}{x}$


Produktregel

Im Gegensatz zur Summe zweier Funktionen ($(f(x)+g(x))'=f'(x)+g'(x)$, siehe oben 'Summenregel') kann man das Produkt zweier Funktionen $f(x)\cdot g(x)$ nicht mehr so einfach ableiten. Hierfür braucht es die sogenannte Produktregel:


Merke
Rotes rufezeichen.png
 $$(f(x)\cdot g(x))'=f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x)$$

Zuerst den erstenFaktor ableiten, den zweiten stehen lassen, $$\textnormal{Plus} den ersten stehen Faktor lassen, den anderen ableten. |} {{Vorlage:Beispiel|1= Gegeben ist die Funktion $h(x)=(x^2-1)\cdot (3x^2-4x+1)$. Bestimmen Sie $h'(x)$. |2= Da es sich hierbei um ein [[Produkt]] handelt, müssen wir die Produktregel andwenden: $$h(x)=\underline{(x^2-1)_{f(x)} \cdot \underline{(3x^2-4x+1)}_{g(x)}$$ Zuerst berechnen wir in einer Nebenrechnung die Ableitungen der Faktoren: $$f(x)=x^2-1\rightarrow f'(x)=2x$$ $$g(x)=3x^2-4x-+1\rightarrow g'(x)=6x-4$$ Nun setzen wir die Formel zusammen: $$h'(x)=\underline{2x}_{f'(x)}\cdot \underline{(3x^2-4x+1)}_{g(x)}+\underline{(x^2-1)}_{f(x)}\cdot \underline{(6x-4)}_{g'(x)}$$

Quotientenregel

Kettenregel

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