Funktionen: Unterschied zwischen den Versionen

Definition: Was ist eine Funktion und was ist keine Funktion

Definition

Eine Funktion ist eine eindeutige Zuordnung, die jedem Wert aus einer Definitionsmenge genau einen Wert aus einer Wertemenge (Zielmenge) zuordnet. Die Elemente aus der Definitionmenge D werden meist mit x bezeichnet. Die Werte aus der Wertemenge W bezeichnet man mit y oder f(x) ("f von x").

Musterbeispiel einer Funktion: Der Lehrer verteilt die Mathematiknoten

Beispiel einer Funktion: Die Lehrperson (= Funktion) weist jeder Schülerin geanu eine Note zu

Im obigen Beispiel darf jede Schülerin nur eine Note erhalten ABER die mehrere Schülerinnen können dieselbe Note erhalten. Dies ist eine wichtige Eigenschaft von allen Funktionen! Verallgemeinert heißt dies:

Merke

Jedem Element der Definitionsmenge (x) darf NUR EIN Element der Wertemenge (y) zugeordnet werden. ABER Ein Element der Wertemenge (y) kann mehreren Elementen der Definitionsmenge (x) zugeordnet werden. (vgl. das Musterbeispiel der Schülerinnen (x, Definitionsmenge) und der Noten (y, Wertemenge).

Füllgraph: https://www.geogebra.org/m/wfvfF7E5

Mathematische Funktionen und ihre Darstellungen

In der Mathematik bestehen die Definitions- und Wertemenge in der Regel aus Zahlen (meist aus den reellen Zahlen.)

Somit weist die Funktion f jeder Zahl x einer Definitionsmenge eine andere Zahl y einer Wertemenge zu.

Ein Beispiel für eine soche Zuweisung von Zahlen auf Zahlen siehst du im folgenden Applet. Beachte hierbei auch die verschiedenen Darstellungen der Funktion:

a) Mengendiagramm: Die Elemente der Definitionsmenge werden durch die Funktion mit Elementen der Wertemenge verbunden.

b) Wertetabelle: In einer Tabelle wird die Zuordnungen von x- und y-Werten angegeben.

c) Graph: Die x- und y-Werte aus der Wertetabelle können in einem Koordinatensystem als Punkte mit den Koordinaten (x,y) angegeben werden. Der Punkt (1,4) würde dann bedeuten, dass der Zahl 1 aus der Definitionsmenge die Zahl 4 in der Wertemenge zugeordnet wurde. Das entstehende Gebilde nennt man dann Graph der Funktion

Zuletzt gibt es noch eine weitere wichtige Darstellung einer Funktion, die

Im Bild sind drei Darstellungsformen der Funktion f mit $f(x)=2x$ dargestellt: Funktionsgleichung - Wertetabelle - Graph

d) Funktionsgleichung
Hat man eine Funktion, die jedem Wert aus der Definitionsmenge seinen Doppelten Wert zuordnet, so kann man dies auch folgendermaßen schreiben: $$f: D\rightarrow W \textrm{ mit } y=2x$$ wobei x im Definitionsbereich und y im Wertebereich liegt. Eine oft gebräuchlichere Schreibweise für eine Funktionsgleichung ist: $$f: D\rightarrow W \textrm{ mit } f(x)=2x$$ $$\textrm{ (gesprochen: f von x ist 2 mal x)}$$

Beispiele für Funktionsgleichungen:

Nun lernen wir, mithilfe einer Funktionsgleichung eine Wertetabelle und anschließend einen Graphen zu erstellen:

Gegeben ist die Funktion f mit der Funktionsgleichung $f(x)=x+2$.
a) Erstelle mithilfe der Funktionsgleichung eine Wertetabelle im Definitionsbereich [0;3]
b) Skizziere den Graphen der Funktion

a) Erstelle mithilfe der Funktionsgleichung eine Wertetabelle im Definitionsbereich [0;3]

Gegeben ist die Funktionsgleichung $f(\color{red}{x})=\color{red}{x}+2$ (wir könnten auch y=x+2 schreiben, da f(x)=y ist).

Wertetabelle der Funktion $f(x)=x+2$

Um die Wertetabelle zu erstellen, setzen wir nun Zahlen aus dem Definitionsbereich [0;3] für x ein und berechnen damit y (oder f(x)).

• Wenn x=0 dann ist: $f(\color{red}{0})=\color{red}{0}+2=2$ d.h. für x=0 ist y=2 (oder $f(\color{red}{0})=2$)
• Wenn x=1 dann ist: $f(\color{red}{1})=\color{red}{1}+2=3$ d.h. für x=1 ist y=2 (oder f(1)=3)
• Wenn x=2 dann ist: $f(\color{red}{2})=\color{red}{2}+2=4$ d.h. für x=2 ist y=4 (oder f(2)=4)
• Wenn x=3 dann ist: $f(\color{red}{3})=\color{red}{3}+2=5$ d.h. für x=3 ist y=5 (oder f(3)=5)

Natürlich können wir auch Dezimalzahlen einsetzen:

• Wenn x=0.5 dann ist: f(0.5)=0.5+2=2.5 d.h. für x=2.5 ist y=2.5 (oder f(1.5)=2.5)

Fassen wir x-Werte und y-Werte in einer Tabelle zusammen, so erhalten wir die richts abgebiltete Wertetabelle.

b) Skizziere den Graphen der Funktion f Um den Graphen zu zeichnen, verwenden wir die Werte aus der Wertetabelle. Jede Spalte entspricht dabei einem Punkt mit x-Koordinate und y-Koordinate. z.B.: Nehmen wir den Punkt aus der untersten Zeile: (0.5,2.5) so müssen wir 0.5 entlang der x-Achse nach rechts und 2.5 entlang der y-Achse hinauf (Bei Schwierigkeiten mit dem Einzeichnen der Punkte, siehe Koordinatensystem).

Zeichnest du alle Punkte ein, so erhälst du:

Einzeichnen der Punkte aus der Wertetabelle

Was wir zum jetzigen Zeitpunkt noch nicht wissen ist, dass f(x)=x+2 eine lineare Funktion ist, dessen Graph immer eine Gerade ist. Somit können wir die Punkte verbinden und erhaltne den Graph der Funktion im Definitionsbereich [0;3]:

Graph der Funktion $f(x)=x+2$ im Definitionsbereich [0;3]

Merke

$$\ $$ Eine Wertetabelle erstellt man, indem man für x einen Wert aus dem Definitionsbereich einsetzt und den y-Wert ausrechnet. Einen Graphen erstellt man, indem man zuerst die Punkte (x,y) aus der Wertetabelle einzeichnet und anschließend passend verbindet. Den x-Wert nach rechts/links und den y-Wert hinauf/hinunter. (Beachte: Was es heißt, die Punkte "passend zu verbinden" kommt immer auf die Art der Funktion an - dies lernst du in den weiteren Kapiteln)

Merke

Folgende Darstellungsformen sind in der Mathematik von großer Bedeutung: Funktionsgleichung Wertetabelle Graph einer Funktion Viele Aufgaben werden darin bestehen, zwischen diesen Darstellungsformen zu wechseln.

Aufstellen einer Funktionsgleichung - Abhängige und unabhngige Variable

Oft besteht die Aufgabe darin, aus einem Text eine passende Funktionsgleichung aufzustellen. Dabei muss zuerst überlegt werden, was die x- und was die y-Variable (oder f(x) ) sein soll. Dabei gilt folgende Grundregel:

Merke

$\\ $ x ist die unabhängige Variable y/f(x) ist die von x Abnängige Variable

Beispiele

Temperatur usw

$\begin{align} f:&\mathbb{R}_{\geq 0} \longrightarrow \mathbb{R}_{\geq 0} \\ &\ \ x \ \ \ \longmapsto y \end{align}$

Weiteres Applet zu Definitions- und Bildbereich: https://www.geogebra.org/m/UWEnxpFJ

kommt bald

Übungen

• ? : Übung, in der du lernst Funktionsgleichungen anhand gegebener Punkte zu berechnen

Hierfür musst du Gleichungssysteme lösen.

• ? : Aufgabe von echteinfach.tv, in der du Funktionsgleichungen den jeweiligen Graphen zuordnest

• Beleuchtungsstärke (bifie-Aufgabe)

Matura-Aufgaben

• $Bifie$ Regenrinne (Bifie-Aufgabe: mittel-schwer-leicht)

  Welche Inhalte werden hier noch gefragt: Rechnen mit Termen.

• $Bifie$ Elektrischer Widerstand (Bifie-Aufgabe: leicht)

  Welche Inhalte werden hier noch gefragt: Rechnen mit Termen.

• $Bifie$ Torten (Bifie-Aufgabe: mittel-leicht-leicht-leicht)

  Welche Inhalte werden hier noch gefragt: Gleichungssysteme sowie Formeln und für d) Binomialverteilung (erst in der 5. Klasse)