Ableitung bestimmen: Unterschied zwischen den Versionen
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|$\rightarrow$ $f'(x)$ ist negativ, d.h. unterhalb der x-Achse. | |$\rightarrow$ $f'(x)$ ist negativ, d.h. unterhalb der x-Achse. | ||
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| + | Skizzieren Sie zum gegebenen Graphen von $f(x)$ den Graphen von $f'(x)$! | ||
| + | [[Datei:Ausgangsfunktion.png|miniatur|500px|center|Graph von f(x)]] | ||
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| + | |[[Datei:NullstellenderAbl.png|miniatur|370px|1. Schritt: Zeichne die Nullstellen von $f'(x)$ (=Extremwerte von $f(x)$ ein)]] | ||
| + | |[[Datei:Hoch-TiefpunkterderAbleitung.png|miniatur|370px|2. Schritt: Zeichne die Extremwerte von $f'(x)$ (=Wendepunkte von $f(x)$ ein. Die Höhen entprechen den Steigungen von $f(x)$ bei den Wendepunkten.]] | ||
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| + | |[[Datei:Ausgangsfunktion1.png|miniatur|370px| 3. und 4. Schritt: Aufgrund des Monotonierverhaltens von $f(x)$ wissen wir, wann $f'(x)$ positiv oder negativ ist.]] | ||
| + | | [[Datei:Endfkt.png|miniatur|370px|$f'(x)$ schön eingezeichnet]] | ||
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| + | [[Grün: Arbeitsblätter | <span style="background-color:#00CD00"> $Aha!$ </span>]] Ein [https://www.geogebratube.org/student/m92514 GeoGebra-Applet, in dem du das graphische differenzieren weiter üben kannst]. | ||
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| + | siehe noch: | ||
| + | * http://geogebratube.org/material/show/id/83408 | ||
| + | * http://geogebratube.org/material/show/id/46089 | ||
| + | * http://geogebratube.org/material/show/id/43313 | ||
| + | * http://geogebratube.org/student/m46089 | ||
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== Rechnerishes Bestimmen von $f'(x)$ - Ableitungsregeln== | == Rechnerishes Bestimmen von $f'(x)$ - Ableitungsregeln== | ||
Version vom 5. September 2014, 18:43 Uhr
In diesem Artikel geht es darum, die erste Ableitung f'(x) einer Funktion f(x) zu bestimmen.
Hinweis: Im Folgenden sei f(x) auf ihrem Definitionsbereich immer differenzierbar (d.h. f'(x) existiert). Dies muss streng mathematisch vorausgesestzt werden)
Was ist $f'(x)$
füge noch besseres Bild ein!
Der Differentialquotient berechnet die Steigung der Tangente t.
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Die Ableitungsfunktion $f'(x)$ ist der sogenannte Differentialquotient von $f(x)$.
$$ f'(x)={k}=\lim_{\Delta x\rightarrow 0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{(x+\Delta x)- x} $$ und gibt die momentane Steigung der Funktion $f$ an der Stelle x an.
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Graphisches Bestimmen der 1. Ableitung
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$f'(x)$ gibt die Steigung von $f(x)$ an. Somit muss gelten: |
| $f(x)$ | $f'(x)$ |
|---|---|
| 1. $f(x)$ hat bei $a$ eine Extremstelle | $\rightarrow$ Hier ist die Steigung $f'(x)=0$ |
| 2. $f(x)$ hat bei $b$ einen Wendepunkt | $\rightarrow$ Hier ist der Graph lokal am steilsten oder am flachsten $\rightarrow$ die Steigung $f'$ hat hier einen Hoch- oder Tiefpunkt. |
| 3. $f(x)$ ist monoton wachsend | $\rightarrow$ $f'(x)$ ist positiv, d.h. oberhalb der x-Achse. |
| 4. $f(x)$ ist monoton fallend | $\rightarrow$ $f'(x)$ ist negativ, d.h. unterhalb der x-Achse. |
Skizzieren Sie zum gegebenen Graphen von $f(x)$ den Graphen von $f'(x)$!
