Wachstums- und Zerfallsprozesse: Unterschied zwischen den Versionen
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In diesem Abschnitt wird die Darstellungsform $f(x)=c\cdot a^x $ verwendet. Das Vorgehen mit der Darstellungsform zur Basis $e$ mit $f(x)=c\cdot e^{ \pm \lambda x} $ funktioniert auf die selbe Weise. | In diesem Abschnitt wird die Darstellungsform $f(x)=c\cdot a^x $ verwendet. Das Vorgehen mit der Darstellungsform zur Basis $e$ mit $f(x)=c\cdot e^{ \pm \lambda x} $ funktioniert auf die selbe Weise. | ||
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| + | <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px"> | ||
| + | <span style="color:#A020F0> <span style="color:#228B22"> '''WH:''' </span> [https://3.vobs.at/maturawiki/index.php/Betragsfunktion Betrag einer Zahl $|x|$ ] </span> | ||
| + | <div class="mw-collapsible-content"> | ||
| + | * Der Betrag macht jede Zahl $x \in \R$ positiv. | ||
| + | * Den Betrag einer Zahl erhältst du, indem du das Vorzeichen weglässt. | ||
| + | * Grafisch interpretiert ist der Betrag einer Zahl $|x|$ der '''Abstand der Zahl $x$ zu $0$''' auf der Zahlengerade. Da ein Abstand niemals negativ sein kann, gilt immer $|x|≥0$. | ||
| + | * z.B. $|5|=5$ und $|-5|=5$ | ||
| + | </div> | ||
| + | </div> | ||
=== Graph === | === Graph === | ||
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'''Aufgabe:''' Verändere mit Hilfe der Schieberegler die Parameter $S, b$ und $a$. Halte schriftlich fest, wie sich der Graph verändert, wenn du die einzelnen Schieberegler betätigst. <br/> | '''Aufgabe:''' Verändere mit Hilfe der Schieberegler die Parameter $S, b$ und $a$. Halte schriftlich fest, wie sich der Graph verändert, wenn du die einzelnen Schieberegler betätigst. <br/> | ||
| + | |||
Sollte die folgende Animation nicht funktionieren, klicke [https://www.geogebra.org/m/qxxgqd4t auf diesen Link ]. <br/> | Sollte die folgende Animation nicht funktionieren, klicke [https://www.geogebra.org/m/qxxgqd4t auf diesen Link ]. <br/> | ||
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</div> | </div> | ||
| + | '''Aufgabe:''' Versuche es selbst in GeoGebra: | ||
| + | # Gib die Funktionsgleichung der beschränkten Abnahme $N(t)=20+77\cdot 0,93^t $ sowie die Geradengleichung $S(t)=20$ im Algebra-Fenster ein. | ||
| + | # Schaut es aus, als ob sich die Graphen berühren bzw. schneiden? Dann zoome dort weiter hinein und du wirst sehen, dass immer ein (winziger) Abstand zwischen den Graphen liegt. | ||
| + | # Gib im CAS-Fenster den Befehl ''Schnittpunkt( Funktion, Funktion)'' ein und setze $N$ und $S$ ein. GeoGebra gibt dir $\{ \}$ aus, was bedeutet, dass es keinen Schnittpunkt gibt. | ||
| + | #Gib im Algebra-Fenster den Befehl ''Schnittpunkt( Funktion, Funktion, Startwert, Endwert)'' ein und setze $N$, $S$ sowie $0$ als Startwert und eine beliebige, sehr große Zahl wie z.B. $100000000000000000$ ein. GeoGebra gibt dir $?$ aus, was bedeutet, dass es keinen Schnittpunkt gibt. | ||
| + | ::- Achtung: Der Befehl ohne den Start- und Endwert ist im Algebra-Fenster fehlerhaft! | ||
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<div class="mw-collapsible-content"> | <div class="mw-collapsible-content"> | ||
| − | Wird $t$ immer größer, wird $a^t$ immer kleiner und nähert sich bei "unendlich großen" Werten für $t$ unendlich nah an 0 an. <br/> | + | Wird $t$ immer größer, wird $a^t$ immer kleiner und nähert sich bei "unendlich großen" Werten für $t$ unendlich nah an 0 an. Dies gilt, weil $a$ eine Zahl zwischen 0 und 1 ist, <br/> |
| − | <span style="color:#6495ED"> | + | <span style="color:#6495ED"> z.B. $a=0,3$: <br/> |
$0,3^1=0,3 $ <br/> | $0,3^1=0,3 $ <br/> | ||
$0,3^2=0,09$<br/> | $0,3^2=0,09$<br/> | ||
$0,3^5=0,00243 $<br/> | $0,3^5=0,00243 $<br/> | ||
| − | $0,3^10=0,0000059049$<br/> | + | $0,3^{10}=0,0000059049$<br/> |
usw. </span> | usw. </span> | ||
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<br/> | <br/> | ||
| − | === Matura-Beispiele zur Schranke === | + | === Matura-Beispiele zur Schranke und zum Anfangswert === |
| + | |||
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<div class="mw-collapsible-content"> | <div class="mw-collapsible-content"> | ||
| − | Angabe | + | Angabe |
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<span style="color:#A020F0> '''Lösung:''' </span> | <span style="color:#A020F0> '''Lösung:''' </span> | ||
| − | <div class="mw-collapsible-content"> | + | <div class="mw-collapsible-content"> blabla |
<br /> | <br /> | ||
| − | + | + GG-Screenshot + Video? | |
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| + | <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px"> | ||
| + | <span style="color:#A020F0> '''Übungsbeispiel:''' Matura-Beispiel ''Videoplattform c1)'' </span> | ||
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| + | <div class="mw-collapsible-content"> | ||
| + | Angabe | ||
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| + | <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px"> | ||
| + | <span style="color:#A020F0> '''Lösung:''' </span> | ||
| + | <div class="mw-collapsible-content"> blabla | ||
| + | <br /> | ||
| + | + Video zu den zwei Wegen: N(0) berechnen oder in CAS mit b=|S-N_0| | ||
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| + | </div> | ||
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| + | </div> | ||
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| + | <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px"> | ||
| + | <span style="color:#A020F0> '''Quelle:''' </span> | ||
| + | <div class="mw-collapsible-content"> Angabe: Bundesministerium für Bildung, SRDP-Aufgabenpoo, CC BY 4.0 | ||
| + | |||
| + | </div> | ||
</div> | </div> | ||
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</div> | </div> | ||
| − | * | + | </div> <br/> |
| + | |||
| + | Du kannst auch den Titel der Aufgabe im [https://www.aufgabenpool.at/amn/index.php?id=AM Aufgabenpool ] im Feld '''Volltext-/ ID-Suche''' eingeben. Damit kommst du zum PDF der gesamten Aufgabe sowie zum Erklärvideo. | ||
| + | |||
| + | * [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BWeltbev%C3%B6lkerung%2A%3Bc%3BB_640%3B1078%3B&l=n Weltbevölkerung* c1) ] <br/> Begründung zur Asymptote | ||
| + | * [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BVideoplattform%2A%3Bc%3BB_675%3B1137%3B&l=n Videoplattform* c1) ] <br/> Anfangswert und Schranke einzeichnen | ||
| + | * [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3B%C3%96ffentlicher%20Verkehr%20in%20Wien%20%2A%3Bb%3BB_515%3B874%3B&l=n Öffentlicher Verkehr in Wien b1) + b3)] <br/> zum Anfangswert argumentieren, Schranke interpretieren | ||
| + | * [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BK%C3%BCchenger%C3%A4t%20%2A%3Ba%3BB_557%3B943%3B&l=n Küchengerät* a1)] <br/> zum Anfangswert argumentieren | ||
| + | * [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BTrinkflaschen%20%2A%3Bc%3BB_580%3B976%3B&l=n Trinkflaschen* c2)] <br/> Anfangswert angeben | ||
<br/> | <br/> | ||
== Funktionsgleichung aufstellen == | == Funktionsgleichung aufstellen == | ||
| − | + | Möchtest du die Funktionsgleichung eines beschränkten Modells aufstellen, gehst du wie immer vor: [https://3.vobs.at/maturawiki/index.php/Wachstums-_und_Zerfallsprozesse#Wiederholung Wiederholung] <br/> | |
| + | |||
| + | Für $S, b$ und $a$ bzw. $S, b$ und $\lambda$ benötigst du drei Infos (z.B. Anfangswert, Änderungsfaktor, Punkte, Kapazitätsgrenze/Schranke). | ||
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| + | {{Vorlage:Merke|1= Ist die Schranke $S$ direkt gegeben, musst du sie dofort in die Funktionsgleichung einsetzen! Du kannst keine Gleichung der Form $N(t)=S$ aufstellen, da die Schranke nie erreicht wird.}} | ||
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| + | === Matura-Beispiele zum Aufstellen der Funktionsgleichung === | ||
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| + | <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px"> | ||
| + | <span style="color:#A020F0> '''Übungsbeispiel:''' Matura-Beispiel ''xy c1)'' </span> | ||
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| + | <div class="mw-collapsible-content"> | ||
| + | Angabe | ||
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| + | <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px"> | ||
| + | <span style="color:#A020F0> '''Lösung:''' </span> | ||
| + | <div class="mw-collapsible-content"> blabla | ||
| + | <br /> | ||
| + | + GG-Screenshot + Video? | ||
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| + | <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px"> | ||
| + | <span style="color:#A020F0> '''Quelle:''' </span> | ||
| + | <div class="mw-collapsible-content"> Angabe: Bundesministerium für Bildung, SRDP-Aufgabenpoo, CC BY 4.0 | ||
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| + | Du kannst auch den Titel der Aufgabe im [https://www.aufgabenpool.at/amn/index.php?id=AM Aufgabenpool ] im Feld '''Volltext-/ ID-Suche''' eingeben. Damit kommst du zum PDF der gesamten Aufgabe sowie zum Erklärvideo. | ||
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| + | * [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BVideoplattform%2A%3Ba%3BB_675%3B1137%3B&l=n Videoplattform* a1)] <br/> ein Parameter ermitteln | ||
| + | * [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BOnline-Shopping%20%2A%3Bb%3BB_596%3B1004%3B&l=n Online-Shopping* b1)] <br/> ein Parameter ermitteln | ||
| + | * [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BOnline-Shopping%20%2A%3Bb%3BB_596%3B1004%3B&l=n Küchengerät* a2)] <br/> ein Parameter ermitteln | ||
| + | * [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BThermometer%20%2A%3Bb%3BB_540%3B914%3B&l=n Thermometer* b)] <br/> zwei Parameter ermitteln | ||
| + | * [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BThermometer%20%2A%3Bb%3BB_540%3B914%3B&l=n Kfz-Bestand (1)* c1) + c2)] <br/> zwei Parameter ermitteln | ||
= W1 und W2: logistisches Modell = | = W1 und W2: logistisches Modell = | ||
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=== Graph === | === Graph === | ||
asdf | asdf | ||
| + | ==== Matura-Beispiele zur Schranke ==== | ||
| + | Du kannst auch den Titel der Aufgabe im [https://www.aufgabenpool.at/amn/index.php?id=AM Aufgabenpool ] im Feld '''Volltext-/ ID-Suche''' eingeben. Damit kommst du zum PDF der gesamten Aufgabe sowie zum Erklärvideo. | ||
| + | * [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BKraftfahrzeug-Bestand%20%2A%3Bb%3BB_607%3B1020%3B&l=n Kraftfahrzeug-Bestand* b2) ] <br/> | ||
== Funktionsgleichung aufstellen == | == Funktionsgleichung aufstellen == | ||
Aktuelle Version vom 22. September 2026, 10:36 Uhr
- Einleitung und Grundbegriffe
- Lineares Wachstum
- Exponentielles Wachstum
- Unterschied: Lin. vs. Exp.
- Exponentielle Abnahme
- Funktionsgleichung einer Exponentialfunktion aufstellen
- Matura-Aufgaben
- W1 und W2: beschränkte Modelle
- W1 und W2: logistisches Modell
- W1- und W2-Matura-Aufgaben
In der Natur vorkommende Wachstums- und Zerfallsprozesse (z.B. Wachstum einer Bevölkerung, Zerfall eines radioaktiven Atoms, Abnahme des Alkoholspiegels) können mithilfe von mathematischen Funktionen beschrieben werden.
Für die Matura sind dabei besonders die folgenden Funktionen wichtig:
- lineare Funktionen $y=kx+d$
- Exponentialfunktionen $y=b\cdot a^x$ oder $y=b\cdot e^{\lambda \cdot x}$
- quadratische Funktionen $y=ax^2+bx+c$
Grundbegriffe
- $t...$ gibt die vergangene Zeit an (in Jahren, Tagen, Stunden oder ... . Die Einheit steht immer in der Angabe!)
- $N_0...$ Anfangswert (Anzahl/Größe zum Zeitpunkt $0$)
- $N(t)...$ Anzahl/Größe nach $t$ Zeiteinheiten (z. B. $t$ gebe die Stunden an, dann ist $N(5)$ die Anzahl nach $5$ Stunden)
Lineares Wachstum $N(t)= k\cdot t +N_0$
Definition und Verwendung
Eine Größe verändert sich linear, wenn sie in gleichen Zeitabständen um denselben konstanten Wert $k$ wächst.
Die Funktionsgleichung für eine solche Veränderung lautet dann:
$$ N(t)= k\cdot t +N_0 $$
- Ist $k>0$, so handelt es sich um ein lineares Wachstum
- Ist $k<0$, so handelt es sich um eine lineare Abnahme
Hinweise:
- Bei $$ N(t)= k\cdot t +N_0 $$ handelt es sich um eine lineare Funktion der Form
$$ y=k\cdot x+d$$
- Mit der unabhängigen Variable $t=x$, der davon abhängigen Variable $N(t)=y$ und dem Startwert $N_0=d$
- Herleitung der Funktionsgleichung:
- Angenommen eine Population hat zu Beginn $N_0$ Individuen und wächst pro Zeiteinheit (z. B. pro Stunde) um den Wert $k$.
- Dann gilt für $N(1)=$ Individuen nach einer Stunde:
$$N(1)=N_0+k$$
- Nach $2$ Stunden hat sich die Population wieder um $k$ vermehrt und damit ist
$$N(2)=N(1)+k=(N_0+k)+k=N_0+2k$$
- Und nach $3$ Stunden gilt
$$N(3)=N(2)+k=(N_0+2k)+k=N_0+3k$$
- Ganz allgemein gilt dann für die Population nach $t$ Stunden:
$$N(t)=N_0+k\cdot t$$
Musterbeispiel:
Stanislaus hat ein Geburtsgewicht von $3120 g$. Nach $3$ Wochen hat er bereits $3900 g$.
- Erstelle ein lineares Modell, welches die Abhängigkeit des Gewichts vom Alter beschreibt.
- Was bedeuten die Parameter $k$ und $d$ in diesem Zusammenhang?
- Stanislaus ist bei seiner Taufe $10$ Wochen alt. Welches Gewicht hat er?
- Wann erreicht Stanislaus ein Gewicht von $6,2 kg$?
- $y=260x+3120$, wobei $y=$ Gewicht in $g$, $x=$ Alter in Wochen
- $k$ beschreibt die wöchentliche Zunahme in Gramm und $d$ beschreibt das Geburtsgewicht von Stanislaus
- $y=260\cdot 10+3120=5720$. Stanislaus wiegt nach $10$ Wochen $5720 g$.
- Löse die Gleichung: $6200=260x+3120$. Lösung: $x=11,84$. Also erreicht Stanislaus in der $12.$ Woche nach der Geburt ein Gewicht von $6,2 kg$.
Übungsaufgaben
Exponentielles Wachstum $N(t)=N_0\cdot a^t$ bzw. $N(t)=N_0\cdot e^{\lambda \cdot t}$
Definition und Verwendung
Eine Größe wächst exponentiell, wenn sie in gleichen Zeitabständen um denselben konstanten Faktor $a>1$ wächst. Wie bei den Exponentialfunktionen gibt es auch hier zwei Formeln:
| $$N(t)=N_0\cdot a^t $$ | $$N(t)=N_0\cdot e^{\lambda \cdot t}$$ | |||||
| $a>1 ...$ ist der Wachstumsfaktor und gibt an, mit welchem Faktor sich die Population pro Zeiteinheit verändert. Da die Population wächst, muss $a>1$ sein (siehe Exponentialfunktionen).
Beispiel:
|
$\lambda>0 ...$ ist die Wachstumsrate.
Es gilt: $a=e^\lambda $ |
Verdoppelungszeit
Eine besondere Eigenschaft des exponentiellen Wachstums ist, dass die Zeit für eine Verdoppelung der Anfangsgröße immer gleich groß ist (mit einer kleinen Überlegung findest du leicht heraus, dass dies schon aus der Definition des exponentiellen Wachstums folgt). Aus diesem Grund definiert man die:
| Definition: Verdoppelungszeit $\tau $ |
Die Verdoppelungszeit $\tau$ ist die Zeit, in der sich eine Größe verdoppelt hat. Insbesondere gilt: $$N(\tau)=2\cdot N_0$$
$$\textrm{(in Worten: „die Anzahl nach $\tau$ ($=$"tau") Zeiteinheiten ist das Doppelte des Anfangswertes }N_0$$ |
1. Musterbeispiel: Berechnung der Verdoppelungszeit bei bekannter Anfangsmenge
Ein Kapital auf einem Sparbuch wächst jährlich um $6.5 \%$ p. a. (d. h. $6.5 \%$-ige Verzinsung pro Jahr).
- a) Bestimmen Sie die Funktionsgleichung, wenn zu Beginn $100€$ auf dem Sparbuch liegen.
- b) Ermitteln Sie die Verdoppelungszeit, d. h. berechnen Sie, wann sich das Anfangskapital verdoppelt hat.
- c) Die folgende Graphik gibt die Entwicklung für ein Anfangskapital von $350€$ an. Lesen Sie aus dem Graphen die Verdoppelungszeit ab.
- Begründen Sie zusätzlich, warum die Verdoppelungszeit gleich groß wie in Aufgabe b) ist.
Lösung
a) $N_0=100$; $a=(1+\frac{6.5}{100})=1.065 \ \ \rightarrow$ $\underline{\underline{N(t)=100\cdot 1.065^t}}$
b)
- $N_0=100$
- $a=1.065$
- $N(t)=200$
- $t=$?
$$200=100\cdot 1.065^t$$ $$2=1.065^t |\log$$ $$\log 2 = t\cdot \log 1.065$$ $$\frac{\log 2}{\log 1.065}=t$$ $$\underline{\underline{t= 11.01}}$$
c) Wie anhand des Graphen zu sehen ist, beträgt die Verdoppelungszeit $11.01$ Jahre, da sich hier das Anfangskapital von $350€$ auf $700€$ verdoppelt hat.
Die Verdoppelungszeit hängt nicht vom Startwert $N_0$, sondern nur vom Wachstumsfaktor $a$ ab. Aus diesem Grund sind die Verdoppelungszeiten in b) und c) ident.
2. Musterbeispiel: Berechnung der Verdoppelungszeit bei unbekannter Anfangsmenge
Die Größe einer Bakterienpopulation nach $t$ Stunden kann mithilfe der Funktion $N(t)=N_0\cdot 1.14^t$ angegeben werden.
- a) Bestimmen Sie, um wie viel Prozent sich die Population pro Stunde vergrößert.
- b) Berechnen Sie die Verdoppelungszeit.
Lösung
a) $a=1.14\ \ \rightarrow\ \ 14 \%$ Wachstum pro Stunde.
b) Nach der Verdoppelungszeit ist $N(t)=2\cdot N_0$ (d. h. der Anfangswert hat sich verdoppelt). Setzen wir dies für $N(t)$ in die Funktionsgleichung, so erhalten wir: $$ N(t)=N_0\cdot 1.14^t$$ $$ 2\cdot N_0=N_0\cdot 1.14^t \ \ \ |:N_0$$ $$ 2=1.14^t \ \ \ |\log ( \ )$$ Wichtig: In der oberen Zeile hat sich das $N_0$ weggekürzt! Damit sehen wir, dass die Verdoppelungszeit unabhängig vom Startwert $N_0$ ist. Dies kam auch schon im 1. Musterbeispiel vor. $$ \log 2=t\cdot \log 1.14 $$ $$\frac{\log 2}{\log 1.14}=t$$ $$\underline{\underline{t=5.29}}$$ A: Die Verdoppelungszeit beträgt $5.29$ Stunden.
3. Musterbeispiel: Bestimmen des Wachstumsfaktors bei bekannter Verdoppelungszeit
Die Verdoppelungszeit eines exponentiellen Wachstumsprozesses der Form $N(t)=N_0\cdot a^t$ beträgt $17$ Tage ($t$ gibt die Tage an).
- a) Berechnen Sie den Wachstumsfaktor $a$.
- b) Bestimmen Sie die Zeit, wie lange es dauert, bis das $8$-Fache des Anfangswertes vorhanden ist.
Lösung:
a) Aus der Angabe geht hervor, dass $N(17)=2\cdot N_0$ ist. Dies setzen wir nun in die Funktionsgleichung ein: $$N(t)=N_0\cdot a^t$$ $$N(17)=N_0\cdot a^{17}$$ $$2\cdot N_0=N_0\cdot a^{17} \ \ \ |:N_0$$ $$2=a^{17} \ \ \ |\sqrt[17]{\ \ \ }$$ $$\sqrt[17]{2}=a$$ $$\underline{\underline{a=1.0416}}$$ A: Der Wachstumsfaktor $a$ beträgt $1.0416$, womit pro Tag $4.16 \%$ dazu kommen.
b) Aus der Angabe wissen wir, dass es nach $17$ Tagen zu einer Verdoppelung gekommen ist. Da sich das exponentielle Wachstum in gleichen Zeitabständen um denselben Faktor vermehrt, gilt:
- nach $2\cdot 17=34$ Tagen kommt es zu einer Vervierfachung ($2\cdot 2=4$).
- Nach $3\cdot 17=51$ Tagen kommt es zu einer Verachtfachung. ($2\cdot 2 \cdot 2=8$)
Somit dauert es $51$ Tage. Schau dir dazu auch den Graphen bei der unteren Bemerkung an!
Merke: |
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Unterschied: Lineares und Exponentielles Wachstum
Es ist wichtig, die Unterschiede zwischen dem linearen und dem exponentiellen Wachstum zu kennen. Aus diesem Grund vergleichen wir hier die beiden Wachstumsprozesse:
| Lineares Wachstum | Exponentielles Wachstum |
|---|---|
| Addition um eine konstante Zahl | Multiplikation um einen konstanten Faktor |
| immer $+k$ | immer $\cdot a$ |
| Graph ist eine Gerade | Graph ist eine exponentielle Kurve |
| wächst immer um dieselbe konstante Zahl $k$ | wächst immer schneller |
Übungsbeispiel: linear oder exponentiell?
Ordne dem passenden Wachstum zu und bestimme $k$ bzw. $a$:
- Der Umfang eines Baumes nimmt jährlich um $5 \%$ zu:
- Der Meeresspiegel steigt jährlich um $4 cm$:
- Die Bevölkerung wächst jährlich um den Faktor $1.2$:
- Der Stamm eines Baumes wird pro Jahr um $1 cm$ dicker:
- Ein Kapital wird jährlich mit $3 \%$ p. a. verzinst.
- Der Umsatz eines Betriebes sinkt jährlich um $12 \%$.
Lösung:
- Der Umfang eines Baumes nimmt jährlich um $5 \%$ zu: exponentiell mit $a=1.05$
- Der Meeresspiegel steigt jährlich um $4 cm$: linear mit $k=4 cm$
- Die Bevölkerung wächst jährlich um den Faktor $1.2$: exponentiell mit $a=1.2$
- Der Stamm eines Baumes wird pro Jahr um $1 cm$ dicker: linear mit $k=1 cm$
- Ein Kapital wird jährlich mit $3 \%$ p. a. verzinst. exponentiell mit $a=1.03$
- Der Umsatz eines Betriebes sinkt jährlich um $12 \%$: exponentiell mit $a=0.88 \rightarrow$ siehe exponentielle Abnahme
Exponentielle Abnahme $N(t)=N_0\cdot a^t$ oder $N(t)=N_0\cdot e^{-\lambda\cdot t}$
Definition:
Von einer exponentiellen Abnahme spricht man, wenn sich eine Größe in gleichbleibenden Zeitintervallen immer um den gleichen Faktor verkleinert.
| $$N(t)=N_0\cdot a^t $$ | $$N(t)=N_0\cdot e^{-\lambda \cdot t}$$ | |||||
| $a<1 ...$ ist der Abnahmefaktor und gibt an, mit welchem Faktor sich die Population pro Zeiteinheit verringert. Da die Population abnimmt, muss $0<a<1$ sein (siehe Exponentialfunktionen)
Beispiel:
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$-\lambda<0 ...$ ist die Abnahmerate
Es gilt: $a=e^{-\lambda} $ |
Halbwertszeit
Eine besondere Eigenschaft der exponentiellen Abnahme ist, dass die Zeit für eine Halbierung der Anfangsgröße, immer gleich groß ist (vgl. Verdoppelungszeit beim exponentiellen Wachstum). Aus diesem Grund definiert man die:
| Definition: Halbwertszeit $\tau $ |
Die Halbwertszeit $\tau$ ist die Zeit, in der sich eine Größe halbiert hat. Insbesondere gilt: $$N(\tau)=\frac{N_0}{2}$$
$$\textrm{(in Worten: „die Anzahl nach $\tau$ Zeiteinheiten ist die Hälfte des Anfangswertes }N_0\textrm{"}$$ |
Musterbeispiel:
Von einer bestimmten Menge eines radioaktiven Elements zerfallen stündlich $4 \%$.
- a) Stellen Sie das Zerfallsgesetz in der Form $N(t)=N_0\cdot a^t$ auf.
- b) Bestimmen Sie die Halbwertszeit.
- c) Bestimmen Sie zusätzlich noch das Zerfallsgesetz in der Form $N(t)=N_0\cdot e^{-\lambda \cdot t}$
- d) Nach wie vielen Stunden ist nur noch $1 \%$ der Anfangsmenge vorhanden?
Lösung:
a) $a=0.96 \rightarrow $ Somit lautet das Zerfallsgesetz: $$ N(t)=N_0\cdot 0.96^t$$
b)
Bei der Halbwertszeit gilt, dass $N(t)=\frac{N_0}{2}$ ist. Setzt man dies in das Zerfallsgesetz ein, erhält man:
$$ N(t)=N_0\cdot 0.96^t$$
$$ \frac{N_0}{2}=N_0\cdot 0.96^t \ \ \ |:N_0$$
$$\frac{1}{2}=0.96^t\ \ \ |\ln $$
$$ \ln \frac{1}{2}=t\cdot \ln 0.96 $$
$$\frac{\ln \frac{1}{2}}{\ln 0.96}=t$$
$$\underline{\underline{t=16.98}}$$
A: Die Halbwertszeit beträgt ca. $17$ Stunden.
c) Hier müssen wir nur das $\lambda$ berechnen. Es gilt $a=e^{-\lambda}$. Dadurch kann $\lambda$ bestimmt werden:
$$0.96=e^{-\lambda}$$
$$ \ln 0.96 = -\lambda \ln e \ \ \ |\ln e=1$$
$$-\ln 0.96=\lambda$$
$$ \underline{\underline{0.041=\lambda}}$$
Somit lautet das Zerfallsgesetz in der $e^{-\lambda}$-Form: $$N(t)=N_0\cdot e^{-0.041\cdot t}$$
d)
Gefragt ist, wann $$N(t)=1 \textrm{% von }N_0$$ ist. Formulieren wir dies noch "mathematischer", so erhalten wir: $$N(t)=0.01\cdot N_0$$
Setzen wir dies in das Zerfallsgesetz aus a) oder c) ein (es ist hier völlig egal, welche Formel man nimmt), so erhält man:
$$N(t)=N_0\cdot e^{-0.041\cdot t}$$
$$0.01\cdot N_0=N_0\cdot e^{-0.041\cdot t}$$
$$0.01=e^{-0.041\cdot t} | \ln \textrm{ und } \ln e=1$$
$$\ln 0.01=-0.041\cdot t$$
$$\frac{\ln 0.01}{-0.041}=t$$
$$\underline{\underline{t=112.32}}$$
A: Erst nach etwas mehr als $112$ Stunden sind $99 \%$ der Anfangsmenge zerfallen.
Merke: $\ \ \ \ \ \ $ |
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Übungsaufgaben
Weitere Übungsaufgaben (klicke hier) und die dazugehörenden Lösungen (klicke hier).
In diesem Abschnitt wird die Darstellungsform $f(x)=c\cdot a^x $ verwendet. Das Vorgehen mit der Darstellungsform zur Basis $e$ mit $f(x)=c\cdot e^{ \pm \lambda x} $ funktioniert auf die selbe Weise.
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Willst du eine Funktionsgleichung einer Exponentialfunktion aufstellen, gehe so vor:
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Achtung: $a$ muss immer eine positive Zahl sein! Mit dem Shortcut $x\color{red}{≈}$ kommt oft nur die negative Lösung für $a$ heraus.
Wie sieht das in GeoGebra CAS aus?
$\rightarrow $ 
Die richtige Antwort lautet $f(x)=30\cdot 1,29567^x $
WH:
- Der Punkt $(2|50)$ wird in GeoGebra CAS zur Gleichung $f(2)=50$. GeoGebra setzt dies dann in die allgemeine Funktionsgleichung ein und gibt in der Ausgabe der Zeile $c\cdot a^2=50$ an.
- Eine ausführliche Wiederholung findest du hier: Wiederholung
Aufgabe: Begründe, warum man zwei Punkte benötigt, um die Exponentialfunktion aufzustellen.
Aufgabe: Überlege, welche andere Funktion mit zwei Infos aufgtestellt werden kann.
Übungsbeispiel: Möglichkeit 1 mit dem Matura-Beispiel Kunststoffmüll a1)
Die zeitliche Entwicklung der jährlich weltweit produzierten Masse an Kunststoff kann näherungs weise durch die Exponentialfunktion $f$ beschrieben werden.
$t$... Zeit in Jahren mit $t=0$ für das Jahr 1950
$f(t)$... jährlich weltweit produzierte Masse an Kunststoff zur Zeit $t$ in Millionen Tonnen
Im Jahr 1950 betrug die jährlich weltweit produzierte Masse an Kunststoff 2 Millionen Tonnen.
Seitdem stieg die jährlich weltweit produzierte Masse an Kunststoff um jeweils 8,5 % pro Jahr
im Vergleich zum jeweiligen Vorjahr an.
Stellen Sie eine Gleichung der Exponentialfunktion $f$ auf.
Lösung:
Hier musst du aus dem Text den Anfangswert sowie die jährliche prozentuelle Änderung herauslesen und entsprechend in die Form $f(t)=c\cdot a^t$ einsetzen. Du musst wissen, dass $c$, also die Zahl ohne den Exponenten, der Anfangswert und $a$, die Zahl mit dem Exponenten, der Änderungsfaktor ist. Der Änderungsfaktor gibt an, AUF wie viel % der Grundwert jährlich ansteigt: $100 %+8,5 % = 108,5 % \mathrel{\hat=} 1,085 $.
Quelle:
Übungsbeispiel: Möglichkeit 2 mit dem Matura-Beispiel W-Lan b1)
Eine Technikerin modelliert die Datenübertragungsrate in Abhängigkeit von der Entfernung von einem Access-Point mit einer Exponentialfunktion $d$.
$d(x)=c\cdot a^x $
$x$... Entfernung in m
$d(x)$... Datenübertragungsrate in einer Entfernung $x$ in Mbit/s
Sie ermittelt folgende Messwerte:
Berechnen Sie die Parameter $a$ und $c$ der Exponentialfunktion $d$.
Lösung:
Quelle:
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Sonderfall bei Möglichkeit 2: Bei einer Exponentialfunktion $f(x)=c\cdot a^x $ kannst du den Änderungsfaktor $a$ auch unabhängig vom Anfangswert $c$ herausfinden. Dazu brauchst du nur eine Information. Dafür gibt es mehrere Wege:
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WH: geometrisches Mittel
$a= \sqrt[ \text{Zeitspanne}]{\text{Änderungsfaktor der gesamten Änderung}} $
Beispiel zum geometrischen Mittel
Lösung:
- Der Änderungsfaktor der prozentuellen Änderung über die drei Jahre ist $(1+\frac{22,5034}{100} ) = 1,225034 $
- Der Änderungsfaktor für die prozentuelle Änderung in einem Jahr $a$ berechnet man mit
$a= \sqrt[3]{1,225034} ≈1,07 \mathrel{\hat=} 107 % $
D.h. das Kapital steigt innerhalb eines Jahres AUF 107 %.
- Antwort: Das Kapital steigt im Mittel UM 7 % pro Jahr.
Übungsbeispiel: Sonderfall Möglichkeit 2 mit dem Matura-Beispiel Leuchtdioden c1)
Ein Maß für die Helligkeit einer Lichtquelle ist der sogenannte Lichtstrom. Dieser wird in der
Einheit Lumen angegeben.
Man geht davon aus, dass der maximale Lichtstrom von LEDs durch technische Weiterentwicklung exponentiell ansteigen wird.
Dabei gilt: Alle 10 Jahre steigt der maximale Lichtstrom von LEDs auf das 20-Fache.
Diese Entwicklung kann durch eine Exponentialfunktion $L$ modelliert werden.
$L(t)=L_0 \cdot a^t $
$t$... Zeit in Jahren
$L(t)$... maximaler Lichtstrom zur Zeit $t$ in Lumen
$L_0$... maximaler Lichtstrim zur Zeit $t=0$ in Lumen
$a$... positiver Parameter
Berechnen Sie den Parameter $a$.
Lösung:
Mit GeoGebra-CAS: Die negative Lösung für $a$ ist im Kontext eines Änderungsfaktors nicht sinnvoll!
Mit dem geometrischen Mittel:
$a= \sqrt[ \text{Zeitspanne}]{\text{Änderungsfaktor der gesamten Änderung}} = \sqrt[10]{20} ≈1,34928 $
Quelle:
Weitere Beispiele
Übung zur Bestimmung der Funktionsgleichung
Bestimme die Funktionsgleichung in der Form $f(x)=b\cdot a^x$. Gib dazu die Funktionsgleichung bei $f(x)$ ein.
Matura-Beispiele
Du kannst auch den Titel der Aufgabe im Aufgabenpool im Feld Volltext-/ ID-Suche eingeben. Damit kommst du zum PDF der gesamten Aufgabe sowie zum Erklärvideo.
Vermischte Beispiele
- Aufgaben zu den verschiedenen Wachstumsmodellen (Lösungen enthalten)
- ... und hier die Lösungen
- $Bifie$ : Schiunfälle (bifie-Aufgabe: leicht)
- siehe auch Beschreibende Statistik
- $Bifie$ : Neuronen in der Großhirnrinde (bifie-Aufgabe: leicht)
- $Bifie$ : PKW-Bestand (leicht)
- $Bifie$ : Alkoholspiegel (leicht-leicht-mittel-mittel)
- $Bifie$ : Wirkame Substanz eines Medikamentes (bifie-Aufgabe: mittel)
- Siehe auch: Gleichungen aufstellen und Äquivalenzumformungen
- $Bifie$ : Taschengeld (bifie-Aufgabe)
- $Bifie$ : Luftdruck1 (bifie-Aufgabe)
- $Bifie$ : Bevölkerung (bifie-Aufgabe)
- $Bifie$ : Holzbestand und Waldfläche (bifie-Aufgabe)
- $Bifie$ : Hefeteig (bifie-Aufgabe)
- siehe auch Lineare Funktionen
- $Bifie$ : Altersbestimmung (bifie-Aufgabe)
- $Bifie$ : Kleintransporter (bifie-Aufgabe)
- $Bifie$ : Radausflug (bifie-Aufgabe:mittel-mittel-mittel-leicht)
- Siehe auch
- * Beschreibende Statistik
- * Trigonometrie
- $Bifie$ : Bevölkerungswachstum in den USA (leicht-leicht-mittel)
- Siehe für Aufgabe b) und c) auch Differenzen- und Differentialquotient
Inhaltsverzeichnis
Schulformspezifische Kompetenzen: W1 (HLFS/HUM) und W2 (HAK)
Aufgabe: Warum eignet sich die Exponentialfunktion für folgende Situationen nicht? Mache dir Notizen und skizziere jeweils einen möglichen Graphen!
- Abkühlung eines Tees
- Erwärmung von Schokoladeneis
- Absatzmenge des neuen Videospiels "GTA6"
- Followeranzahl eines neuen Social-Media-Accounts deiner Schule
Beschränktes Wachstum und beschränkte Abnahme
Funktionsgleichung
In der Formelsammlung findet man unter "Wachstums- und Abnahmeprozesse" das beschränkte Wachstum.
|
Es gilt:
Das beschränkte Wachstum wird durch Funktionen der Form $\boldsymbol{N(t)=S-b\cdot a^t }$ oder $\boldsymbol{N(t)=S-b\cdot e^{-\lambda \cdot t} } $ beschrieben. Die beschränkte Abnahme wird durch Funktionen der Form $\boldsymbol{N(t)=S+b\cdot a^t }$ oder $\boldsymbol{N(t)=S+b\cdot e^{-\lambda \cdot t} } $ beschrieben. |
- Der Betrag macht jede Zahl $x \in \R$ positiv.
- Den Betrag einer Zahl erhältst du, indem du das Vorzeichen weglässt.
- Grafisch interpretiert ist der Betrag einer Zahl $|x|$ der Abstand der Zahl $x$ zu $0$ auf der Zahlengerade. Da ein Abstand niemals negativ sein kann, gilt immer $|x|≥0$.
- z.B. $|5|=5$ und $|-5|=5$
Graph
Aufgabe: Verändere mit Hilfe der Schieberegler die Parameter $S, b$ und $a$. Halte schriftlich fest, wie sich der Graph verändert, wenn du die einzelnen Schieberegler betätigst.
Sollte die folgende Animation nicht funktionieren, klicke auf diesen Link .
|
$N(t)$ (der $y$-Wert) nähert sich mit zunehmender Zeit $t$ dem Wert $S$ immer mehr an. D.h. der Graph erreicht nie die Sättigungsgrenze, sondern kommt dieser nur unendlich nahe. Damit ist die Schranke $S$ mit $y=S$ eine Asymptote der Funktion $N(t)$. |
WH: Asymptote
Aufgabe: Versuche es selbst in GeoGebra:
- Gib die Funktionsgleichung der beschränkten Abnahme $N(t)=20+77\cdot 0,93^t $ sowie die Geradengleichung $S(t)=20$ im Algebra-Fenster ein.
- Schaut es aus, als ob sich die Graphen berühren bzw. schneiden? Dann zoome dort weiter hinein und du wirst sehen, dass immer ein (winziger) Abstand zwischen den Graphen liegt.
- Gib im CAS-Fenster den Befehl Schnittpunkt( Funktion, Funktion) ein und setze $N$ und $S$ ein. GeoGebra gibt dir $\{ \}$ aus, was bedeutet, dass es keinen Schnittpunkt gibt.
- Gib im Algebra-Fenster den Befehl Schnittpunkt( Funktion, Funktion, Startwert, Endwert) ein und setze $N$, $S$ sowie $0$ als Startwert und eine beliebige, sehr große Zahl wie z.B. $100000000000000000$ ein. GeoGebra gibt dir $?$ aus, was bedeutet, dass es keinen Schnittpunkt gibt.
- - Achtung: Der Befehl ohne den Start- und Endwert ist im Algebra-Fenster fehlerhaft!
Übungsbeispiel: Begründung, warum sich $N(t)$ der Schranke $S$ beliebig nähert.
Gegeben ist ein beschränktes Wachstum mit der Funktionsgleichung $N(t)=S-b\cdot a^t$, wobei $a$ eine Zahl zwischen 0 und 1 ist ($0<a<1$).
Argumentiere mathematisch, dass die Funktionswerte $N(t)$ für $t\rightarrow \infty $ dem Wert $S$ beliebig nahe kommt.
Lösung:
Wird $t$ immer größer, wird $a^t$ immer kleiner und nähert sich bei "unendlich großen" Werten für $t$ unendlich nah an 0 an. Dies gilt, weil $a$ eine Zahl zwischen 0 und 1 ist,
z.B. $a=0,3$:
$0,3^1=0,3 $
$0,3^2=0,09$
$0,3^5=0,00243 $
$0,3^{10}=0,0000059049$
usw.
Für $t\rightarrow \infty $ gilt $a^t≈\color{blue}{0}$. Daher ist $b\cdot a^t≈b\cdot \color{blue}{0}=0$ und $N(t)=S-b\cdot a^t≈S-b\cdot \color{blue}{0}=S-\color{blue}{0}=S$
Matura-Beispiele zur Schranke und zum Anfangswert
Übungsbeispiel: Matura-Beispiel Weltbevölkerung c1)
Angabe
Lösung:
+ GG-Screenshot + Video?
Quelle:
Übungsbeispiel: Matura-Beispiel Videoplattform c1)
Angabe
Lösung:
+ Video zu den zwei Wegen: N(0) berechnen oder in CAS mit b=|S-N_0|
Quelle:
Du kannst auch den Titel der Aufgabe im Aufgabenpool im Feld Volltext-/ ID-Suche eingeben. Damit kommst du zum PDF der gesamten Aufgabe sowie zum Erklärvideo.
- Weltbevölkerung* c1)
Begründung zur Asymptote - Videoplattform* c1)
Anfangswert und Schranke einzeichnen - Öffentlicher Verkehr in Wien b1) + b3)
zum Anfangswert argumentieren, Schranke interpretieren - Küchengerät* a1)
zum Anfangswert argumentieren - Trinkflaschen* c2)
Anfangswert angeben
Funktionsgleichung aufstellen
Möchtest du die Funktionsgleichung eines beschränkten Modells aufstellen, gehst du wie immer vor: Wiederholung
Für $S, b$ und $a$ bzw. $S, b$ und $\lambda$ benötigst du drei Infos (z.B. Anfangswert, Änderungsfaktor, Punkte, Kapazitätsgrenze/Schranke).
|
Ist die Schranke $S$ direkt gegeben, musst du sie dofort in die Funktionsgleichung einsetzen! Du kannst keine Gleichung der Form $N(t)=S$ aufstellen, da die Schranke nie erreicht wird. |
Matura-Beispiele zum Aufstellen der Funktionsgleichung
Übungsbeispiel: Matura-Beispiel xy c1)
Angabe
Lösung:
+ GG-Screenshot + Video?
Quelle:
Du kannst auch den Titel der Aufgabe im Aufgabenpool im Feld Volltext-/ ID-Suche eingeben. Damit kommst du zum PDF der gesamten Aufgabe sowie zum Erklärvideo.
- Videoplattform* a1)
ein Parameter ermitteln - Online-Shopping* b1)
ein Parameter ermitteln - Küchengerät* a2)
ein Parameter ermitteln - Thermometer* b)
zwei Parameter ermitteln - Kfz-Bestand (1)* c1) + c2)
zwei Parameter ermitteln
Inhaltsverzeichnis
Schulformspezifische Kompetenzen: W1 (HLFS/HUM) und W2 (HAK)
Aufgabe: Warum eignet sich die Exponentialfunktion für folgende Situationen nicht? Mache dir Notizen und skizziere jeweils einen möglichen Graphen!
- Anzahl der gekauften E-Autos in Österreich
- Verbreitung eines Gerüchts an deiner Schule
- Entwicklung der Weltbevölkerung
- Ausbreitung einer Bakterienkultur in einer Petrischale
- Nutzerzahl einer neuen Social-Media-App
logistisches Wachstum
Funktionsgleichung
asdf
Graph
asdf
Matura-Beispiele zur Schranke
Du kannst auch den Titel der Aufgabe im Aufgabenpool im Feld Volltext-/ ID-Suche eingeben. Damit kommst du zum PDF der gesamten Aufgabe sowie zum Erklärvideo.
Funktionsgleichung aufstellen
asdf
Schulformspezifische Kompetenzen: W1 (HLFS/HUM) und W2 (HAK)
Eigenständige Suche im Aufgabenpool
Öffne die Seite des Aufgabenpools - Angewandte Mathematik (BHS-BRP).
Mit dem Deskriptor B_W_3.5 kannst du ganz leicht selbst alle Aufgaben der Zentralmatura einsehen, bei denen es um Modelle für die Beschreibung von Änderungsprozessen (insb. beschränkte und logistische Modelle) geht. Dabei muss man u.a. Funktionsgleichungen aufstellen bzw. Parameter berechnen, mit der Funktionsgleichung Berechnungen durchführen und sie grafisch darstellen, Ergebnisse interpretieren oder im Kontext argumentieren.
Wie schaut dies im Aufgabenpool aus?
Zudem kannst du mit dem Schlagwort Exponentialgleichungen nach weiteren Aufgaben suchen, bei denen zum Teil auch eine Funktion von beschränkten sowie logistischen Modellen verwendet wird. Achte darauf, dass du beim Aufgabentyp nur "Prüfungsaufgabe*", "Typ-A", "Typ-B (W1 HLFS/HUM)" und "Typ-B (W2 HAK)" aktiviert hast.
Wie schaut dies im Aufgabenpool aus?
Spezifische Aufgaben
Du kannst auch den Titel der Aufgabe im Aufgabenpool im Feld Volltext-/ ID-Suche eingeben. Damit kommst du zum PDF der gesamten Aufgabe sowie zum Erklärvideo.
- Videoplattform* a) :
Parameter der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums berechnen und damit eine Berechnung durchführen - Videoplattform* b2)
mit der Funktionsgleichung eines logistischen Wachstums eine Berechnung durchführen - Videoplattform* c)
Eigenschaften der Funktionsgleichung eines beschränkten Zerfalls hinsichtlich des Graphen kennen - Schilf* c)
Eigenschaften der Funktionsgleichung eines logistischen Wachstums kennen - Kraftfahrzeug-Bestand* b)
mit der Funktionsgleichung eines logistischen Wachstums eine Berechnung durchführen und Eigenschaften der Funktionsgleichung kennen - Online-Shopping* b1)
Parameter der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums berechnen - Trinkflaschen* c2)
mit der Funktionsgleichung eines beschränkten Zerfalls eine Berechnung durchführen - Küchengerät a1)+a2)
mathematisch argumentieren und Parameter der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums berechnen - Thermometer* b)
Parameter der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums berechnen - Öffentlicher Verkehr in Wien* b)
mathematisch erklären/Berechnung durchführen, Parameter der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums berechnen, Parameter im Kontext interpretieren - Pilze* b)
mit der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums eine Berechnung durchführen - Grafikkarte* b)
mit der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums eine Berechnung durchführen - Thermosflasche* b)
Eigenschaften der Funktionsgleichung eines beschränkten Zerfalls kennen kennen und Parameter der Funktionsgleichung eines beschränkten Zerfalls berechnen - Speiseeis (2)* b)
mit der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums Berechnungen durchführen
