Rechnen mit Termen: Unterschied zwischen den Versionen

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{{Vorlage:Definition|1=Ein Term ist ein sinnvoller mathematischer Ausdruck, der Zahlen, Variablen, mathematische Verknüpfungen (wie $+,\cdot$ ) und Klammern beinhalten kann. }}
 
{{Vorlage:Definition|1=Ein Term ist ein sinnvoller mathematischer Ausdruck, der Zahlen, Variablen, mathematische Verknüpfungen (wie $+,\cdot$ ) und Klammern beinhalten kann. }}
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'''Beispiele'''
 
'''Beispiele'''
  
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# $5+x$
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* $5+x$
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# $(a+b)^2 $
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* $(a+b)^2 $
  
 
{{Vorlage:Definition|1=Ein Monom ist ein eingliedriger Term, der weder ein Plus noch ein Minus als Rechenzeichen enthält. }}
 
{{Vorlage:Definition|1=Ein Monom ist ein eingliedriger Term, der weder ein Plus noch ein Minus als Rechenzeichen enthält. }}
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'''Beispiele'''
 
'''Beispiele'''
  
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# $5x$
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* $5x$
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# $(ab)^2 $
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* $(ab)^2 $
  
 
{{Vorlage:Definition|1=Ein Binom ist ein zweigliedriger Term, der ein Plus oder ein Minus als Rechenzeichen enthält. }}
 
{{Vorlage:Definition|1=Ein Binom ist ein zweigliedriger Term, der ein Plus oder ein Minus als Rechenzeichen enthält. }}
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'''Beispiele'''
 
'''Beispiele'''
  
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# §5+x§
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* $5+x$
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# $a-b$
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* $a-b$
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# $a^2-2b^3$
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* $a^2-2b^3$
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==Grundrechnungen==
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===Addition und Subtraktion===
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=Grundrechnungen=
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==Addition und Subtraktion==
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{{Vorlage:Merke|1='''Regel'''
 
Gleiche Variablen mit gleicher Hochzahl können addiert werden, während unterschiedliche Variablen nicht zusammengefasst werden können. 
 
Gleiche Variablen mit gleicher Hochzahl können addiert werden, während unterschiedliche Variablen nicht zusammengefasst werden können. 
  
 
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'''Musterbeispiele:''' Berechne:<br />{{Vorlage:Beispiel|1= $x+x=$<br />|2= $x+x=2 \cdot x= 2x$}}
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===Musterbeispiele===
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Berechne:<br />{{Vorlage:Beispiel|1= $x+x=$<br />|2= $x+x=2 \cdot x= 2x$}}
  
 
Berechne:<br />{{Vorlage:Beispiel|1= $a+b+a+b+a=$<br />|2= $a+b+a+b+a=3a+2b$ <br />
 
Berechne:<br />{{Vorlage:Beispiel|1= $a+b+a+b+a=$<br />|2= $a+b+a+b+a=3a+2b$ <br />
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|2= $x^2+2\cdot x^2=3 x^2$}}
 
|2= $x^2+2\cdot x^2=3 x^2$}}
  
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===Multiplikation===
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==Multiplikation==
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<br />{{Vorlage:Merke|1='''Multiplikation von identischen Variablen'''
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Gleiche Variablen können multipliziert werden, indem die Rechenregeln der Potenzen berücksichtigt werden. 
 
Gleiche Variablen können multipliziert werden, indem die Rechenregeln der Potenzen berücksichtigt werden. 
  
 
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<br />{{Vorlage:Merke|1='''Multiplikation unterschiedlicher Variable'''
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Unterschiedliche Variablen können multipliziert werden, indem sie hintereinander angeschrieben werden. 
 
Unterschiedliche Variablen können multipliziert werden, indem sie hintereinander angeschrieben werden. 
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'''Musterbeispiele:''' Berechne:<br />{{Vorlage:Beispiel|1= $x \cdot x=$<br />|2= $x \cdot x= x^2$}}
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===Musterbeispiele===
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Berechne:<br />{{Vorlage:Beispiel|1= $x \cdot x=$<br />|2= $x \cdot x= x^2$}}
  
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Berechne:<br />{{Vorlage:Beispiel|1= $a \cdot b^2 \cdot a^3$<br />|2= $a \cdot b^2 \cdot a^3=a^4 b^2$ <br />
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'''Musterbeispiele:''' Berechne:<br />{{Vorlage:Beispiel|1= $x \cdot x=$<br />|2= $x \cdot x= x^2$}}
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===Musterbeispiele===
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Berechne:<br />{{Vorlage:Beispiel|1= $x \cdot x=$<br />|2= $x \cdot x= x^2$}}
  
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'''Musterbeispiele:''' Berechne:<br />{{Vorlage:Beispiel|1= $(x+y) \cdot (2x+3y)=$<br />|2= $(x+y) \cdot (2x+3y)=2x\cdot x+2x\cdot y+3y\cdot x+y\cdot 3y=2x^2+2xy+3xy+3y^2=2x^2+5xy+3y^2$}}
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===Musterbeispiele===
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===Division===
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==Division==
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Bei der Division von Termen müssen die Rechenregeln beim Rechnen mit [[Potenzen]] berücksichtigt werden. 
 
Bei der Division von Termen müssen die Rechenregeln beim Rechnen mit [[Potenzen]] berücksichtigt werden. 
  
 
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===Vorrangregeln===
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==Vorrangregeln==
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Beim Rechnen mit Termen gelten die üblichen Rechenregeln vom Rechnen mit reellen Zahlen. Zuerst werden die Klammern vereinfacht, anschließend die Potenzen berechnet. Danach folgen die Punktrechnungen vor den Strichrechnungen.  
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Beim Rechnen mit Termen gelten die üblichen Rechenregeln wie beim Rechnen mit reellen Zahlen. Zuerst werden die Klammern vereinfacht, anschließend die Potenzen berechnet. Danach folgen die Punktrechnungen vor den Strichrechnungen.  
  
 
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===Doppelbrüche===
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==Doppelbrüche==
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<br />{{Vorlage:Merke|1='''Doppelbruch'''
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{{Vorlage:Merke|1='''Doppelbruch'''
  
 
Doppelbrüche werden vereinfacht, indem der Bruch im Zähler des Doppelbruchs durch den Bruch, der im Nenner des Doppelbruchs steht, dividiert wird.  
 
Doppelbrüche werden vereinfacht, indem der Bruch im Zähler des Doppelbruchs durch den Bruch, der im Nenner des Doppelbruchs steht, dividiert wird.  
 
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<br />{{Vorlage:Merke|1='''Doppelbruch'''
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{{Vorlage:Merke|1='''Doppelbruch'''
  
 
$$ \frac { \frac {a} {b} } {\frac {c} {d} } = \frac {a} {b} : \frac {c} {d} =\frac {a} {b} \cdot \frac {d} {c} = \frac {ad} {bc}$$
 
$$ \frac { \frac {a} {b} } {\frac {c} {d} } = \frac {a} {b} : \frac {c} {d} =\frac {a} {b} \cdot \frac {d} {c} = \frac {ad} {bc}$$
 
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==Vereinfachungen==
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=Vereinfachungen=
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===Kürzen===
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==Kürzen==
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<br />{{Vorlage:Merke|1='''Kürzen von Brüchen'''
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{{Vorlage:Merke|1='''Kürzen von Brüchen'''
  
 
Es darf nie über ein Plus oder ein Minus gekürzt werden. Am einfachsten ist es, wenn nur bei der Multiplikation von Brüchen gekürzt wird. Vergleiche auch die Rechenregeln von [[Potenzen]].  
 
Es darf nie über ein Plus oder ein Minus gekürzt werden. Am einfachsten ist es, wenn nur bei der Multiplikation von Brüchen gekürzt wird. Vergleiche auch die Rechenregeln von [[Potenzen]].  
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'''Musterbeispiele:''' Berechne:<br />{{Vorlage:Beispiel|1= $$\frac {x^2} {y} \cdot \frac {y^3} {x^3}$$<br />|2= $$\frac {x^2} {y} \cdot \frac {y^3} {x^3}= \frac {y^2} {x}$$}}
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===Musterbeispiele===
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Berechne:<br />{{Vorlage:Beispiel|1= $\frac {x^2} {y} \cdot \frac {y^3} {x^3}=$<br />|2= $$\frac {x^2} {y} \cdot \frac {y^3} {x^3}= \frac {y^2} {x}$$}}
  
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Berechne:<br />{{Vorlage:Beispiel|1= $$\frac {x^2} {(x+y)^2} \cdot \frac {x+y} {x}$$<br />|2= $$\frac {x^2} {(x+y)^2} \cdot \frac {x+y} {x}=\frac {x} {x+y}$$ '''Achtung:''' Weiter kann hier nicht gekürzt werden, da im Nenner $x+y$ steht und beim Kürzen dabei über das Plus gekürzt würde!}}
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Berechne:<br />{{Vorlage:Beispiel|1= $\frac {x^2} {(x+y)^2} \cdot \frac {x+y} {x}=$<br />|2= $$\frac {x^2} {(x+y)^2} \cdot \frac {x+y} {x}=\frac {x} {x+y}$$ '''Achtung:''' Weiter kann hier nicht gekürzt werden, da im Nenner $x+y$ steht und beim Kürzen dabei über das Plus gekürzt würde!}}
  
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===Herausheben===
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==Herausheben==
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<br />{{Vorlage:Merke|1='''Herausheben'''
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{{Vorlage:Merke|1='''Herausheben'''
  
 
Das Herausheben ist das Gegenteil der Multiplikation von Termen.  
 
Das Herausheben ist das Gegenteil der Multiplikation von Termen.  
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<br />'''Musterbeispiele:''' Hebe heraus:<br />{{Vorlage:Beispiel|1= $3a+9$<br />|2= $3a+9=3\cdot (a+3)$}}
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===Musterbeispiele===
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Hebe heraus:<br />{{Vorlage:Beispiel|1= $3a+9=$<br />|2= $3a+9=3\cdot (a+3)$}}
  
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Hebe heraus:<br />{{Vorlage:Beispiel|1= $a^2 b^3+a^3 b^2$<br />|2= $a^2 b^3+a^3 b^2=a^2 b^2 \cdot (b+a)$}}
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Hebe heraus:<br />{{Vorlage:Beispiel|1= $a^2 b^3+a^3 b^2=$<br />|2= $a^2 b^3+a^3 b^2=a^2 b^2 \cdot (b+a)$}}
  
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Hebe heraus:<br />{{Vorlage:Beispiel|1= $a^3+a^2$ <br />|2= $a^3+a^2=a^2 \cdot (a+1)$ }}
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Hebe heraus:<br />{{Vorlage:Beispiel|1= $a^3+a^2=$ <br />|2= $a^3+a^2=a^2 \cdot (a+1)$ }}
  
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===Binomische Formeln===
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==Binomische Formeln==
  
 
Die binomischen Formeln ergeben sich aus der Multiplikation von zwei [[Binom|Binomen]].  
 
Die binomischen Formeln ergeben sich aus der Multiplikation von zwei [[Binom|Binomen]].  
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# $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
 
# $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
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#$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$
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# $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$
 
# $(a+b)\cdot (a-b)=a^2-b^2$ 
 
# $(a+b)\cdot (a-b)=a^2-b^2$ 
  
 
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===Musterbeispiele===
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Berechne:<br />{{Vorlage:Beispiel|1= $(3x+4y)^2=$<br />|2= $(3x+4y)^2=9x^2+24xy+16y^2$}}
  
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'''Musterbeispiele:''' Berechne:<br />{{Vorlage:Beispiel|1= $(3x+4y)^2$<br />|2= $(3x+4y)^2=9x^2+24xy+16y^2$}}
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Berechne:<br />{{Vorlage:Beispiel|1= $(2m-3n)^2=$<br />|2= $(2m-3n)^2=4m^2-12mn+9n^2$}}
  
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Berechne:<br />{{Vorlage:Beispiel|1= $(2m-3n)^2$<br />|2= $(2m-3n)^2=4m^2-12mn+9n^2$}}
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Berechne:<br />{{Vorlage:Beispiel|1= $(3c+4d)\cdot (3c-4d)=$<br />|2= $(3c+4d)\cdot (3c-4d)=9c^2-16d^2$}}
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Berechne:<br />{{Vorlage:Beispiel|1= $(3c+4d)\cdot (3c-4d)$<br />|2= $(3c+4d)\cdot (3c-4d)=9c^2-16d^2$}}
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{{Vorlage: Video|1=EYbvhWEG6kE}}
 
{{Vorlage: Video|1=EYbvhWEG6kE}}
  
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==Matura-Aufgaben==
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=Übungs- und Maturaaufgaben=
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* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color: #7cfc00;">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.srdp.at/bhs/download.php?qid=94&file=Regenrinne.pdf Regenrinne] (Bifie-Aufgabe: mittel-schwer-leicht)
+
==Weitere Übungen==
−
*: Welche Inhalte werden hier noch gefragt: [[Funktionen]].
+
* [[Theorie lineare Gleichungen mit einer Variable (2.4.)]]
 +
* [[Formeln]]
 +
<br>
  
−
* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color: #7cfc00;">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.srdp.at/bhs/download.php?qid=95&file=Elektrischer_Widerstand_eines_Drahtes.pdf Elektrischer Widerstand] (Bifie-Aufgabe: leicht)
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==Maturaaufgaben==
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* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color: #7cfc00;">$Bifie$</span>]]: [http://aufgabenpool.srdp.at/bhs/download.php?qid=94&file=Regenrinne.pdf Regenrinne] (Bifie-Aufgabe: mittel-schwer-leicht)
 
*: Welche Inhalte werden hier noch gefragt: [[Funktionen]].
 
*: Welche Inhalte werden hier noch gefragt: [[Funktionen]].
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* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color: #7cfc00;">$Bifie$</span>]]: [http://aufgabenpool.srdp.at/bhs/download.php?qid=95&file=Elektrischer_Widerstand_eines_Drahtes.pdf Elektrischer Widerstand] (Bifie-Aufgabe: leicht)
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*: Welche Inhalte werden hier noch gefragt: [[Funktionen]].
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* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color: #7cfc00;">$Bifie$</span>]]: [http://aufgabenpool.srdp.at/bhs/download.php?qid=96&file=Wasserverbrauch.pdf Wasserverbrauch] (Bifie-Aufgabe: leicht)
  
−
* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color: #7cfc00;">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.srdp.at/bhs/download.php?qid=96&file=Wasserverbrauch.pdf Wasserverbrauch] (Bifie-Aufgabe: leicht)
 
  
−
==siehe auch==
+
=Weiterführende Themenbereiche=
−
* [[Theorie lineare Gleichungen mit einer Variable (2.4.)]]
+
* [[Potenzen]]
−
* [[Formeln]]
+
* [[Gleichung]] und [[Äquivalenzumformungen]]
 +
* [[Ungleichung]]
  
  
 
[[Kategorie: Algebra und Geometrie]]
 
[[Kategorie: Algebra und Geometrie]]

Aktuelle Version vom 2. Februar 2021, 18:15 Uhr

Definition
Grün rufezeichen.png
 Ein Term ist ein sinnvoller mathematischer Ausdruck, der Zahlen, Variablen, mathematische Verknüpfungen (wie $+,\cdot$ ) und Klammern beinhalten kann.


Beispiele

  • $5+x$
  • $(a+b)^2 $


Definition
Grün rufezeichen.png
 Ein Monom ist ein eingliedriger Term, der weder ein Plus noch ein Minus als Rechenzeichen enthält.


Beispiele

  • $5x$
  • $(ab)^2 $


Definition
Grün rufezeichen.png
 Ein Binom ist ein zweigliedriger Term, der ein Plus oder ein Minus als Rechenzeichen enthält.


Beispiele

  • $5+x$
  • $a-b$
  • $a^2-2b^3$


Addition und Subtraktion

Merke
Rotes rufezeichen.png
 Regel

Gleiche Variablen mit gleicher Hochzahl können addiert werden, während unterschiedliche Variablen nicht zusammengefasst werden können. 


Musterbeispiele

Berechne:

Bsp.png

$x+x=$


$x+x=2 \cdot x= 2x$


Berechne:

Bsp.png

$a+b+a+b+a=$


$a+b+a+b+a=3a+2b$

Achtung: Weiter kannst du diesen Term nicht zusammenfassen, da $a$ und $b$ unterschiedliche Variablen sind.


Berechne:

Bsp.png

$x+2y-4x+3y+3x=$


$x+2y-4x+3y+3x=5y$


Berechne:

Bsp.png

$x^2+2\cdot x^2=$


$x^2+2\cdot x^2=3 x^2$


Multiplikation

Merke
Rotes rufezeichen.png
 Multiplikation von identischen Variablen

Gleiche Variablen können multipliziert werden, indem die Rechenregeln der Potenzen berücksichtigt werden. 


Merke
Rotes rufezeichen.png
 Multiplikation unterschiedlicher Variablen

Unterschiedliche Variablen können multipliziert werden, indem sie hintereinander angeschrieben werden. 


Musterbeispiele

Berechne:

Bsp.png

$x \cdot x=$


$x \cdot x= x^2$


Berechne:

Bsp.png

$a \cdot b^2 \cdot a^3=$


$a \cdot b^2 \cdot a^3=a^4 b^2$



Merke
Rotes rufezeichen.png
 Multiplikation mit einem Monom

Bei der Multiplikation eines Termes mit einem Monom wird jedes einzelne Glied des Terms mit dem Monom multipliziert. 


Musterbeispiele

Berechne:

Bsp.png

$x \cdot x=$


$x \cdot x= x^2$


Berechne:

Bsp.png

$a \cdot (b^2+2a)=$


$a \cdot (b^2+2a)=ab^2+2a^2$



Merke
Rotes rufezeichen.png
 Multiplikation von Termen

Bei der Multiplikation zweier Terme wird jedes Glied des ersten Faktors mit jedem Glied des zweiten Faktors multipliziert. 


Musterbeispiele

Berechne:

Bsp.png

$(x+y) \cdot (2x+3y)=$


$(x+y) \cdot (2x+3y)=2x\cdot x+2x\cdot y+3y\cdot x+y\cdot 3y=2x^2+2xy+3xy+3y^2=2x^2+5xy+3y^2$


Division

Merke
Rotes rufezeichen.png
 Division von Termen

Bei der Division von Termen müssen die Rechenregeln beim Rechnen mit Potenzen berücksichtigt werden. 


Vorrangregeln

Merke
Rotes rufezeichen.png
 Vorrangregeln

Beim Rechnen mit Termen gelten die üblichen Rechenregeln wie beim Rechnen mit reellen Zahlen. Zuerst werden die Klammern vereinfacht, anschließend die Potenzen berechnet. Danach folgen die Punktrechnungen vor den Strichrechnungen.


Doppelbrüche

Merke
Rotes rufezeichen.png
 Doppelbruch

Doppelbrüche werden vereinfacht, indem der Bruch im Zähler des Doppelbruchs durch den Bruch, der im Nenner des Doppelbruchs steht, dividiert wird.


Merke
Rotes rufezeichen.png
 Doppelbruch

$$ \frac { \frac {a} {b} } {\frac {c} {d} } = \frac {a} {b} : \frac {c} {d} =\frac {a} {b} \cdot \frac {d} {c} = \frac {ad} {bc}$$


Kürzen

Merke
Rotes rufezeichen.png
 Kürzen von Brüchen

Es darf nie über ein Plus oder ein Minus gekürzt werden. Am einfachsten ist es, wenn nur bei der Multiplikation von Brüchen gekürzt wird. Vergleiche auch die Rechenregeln von Potenzen.  


Musterbeispiele

Berechne:

Bsp.png

$\frac {x^2} {y} \cdot \frac {y^3} {x^3}=$


$$\frac {x^2} {y} \cdot \frac {y^3} {x^3}= \frac {y^2} {x}$$


Berechne:

Bsp.png

$\frac {x^2} {(x+y)^2} \cdot \frac {x+y} {x}=$


$$\frac {x^2} {(x+y)^2} \cdot \frac {x+y} {x}=\frac {x} {x+y}$$ Achtung: Weiter kann hier nicht gekürzt werden, da im Nenner $x+y$ steht und beim Kürzen dabei über das Plus gekürzt würde!


Herausheben

Merke
Rotes rufezeichen.png
 Herausheben

Das Herausheben ist das Gegenteil der Multiplikation von Termen.  


Musterbeispiele

Hebe heraus:

Bsp.png

$3a+9=$


$3a+9=3\cdot (a+3)$


Hebe heraus:

Bsp.png

$a^2 b^3+a^3 b^2=$


$a^2 b^3+a^3 b^2=a^2 b^2 \cdot (b+a)$


Hebe heraus:

Bsp.png

$a^3+a^2=$


$a^3+a^2=a^2 \cdot (a+1)$


Binomische Formeln

Die binomischen Formeln ergeben sich aus der Multiplikation von zwei Binomen.

Merke
Rotes rufezeichen.png
 Binomische Formeln
  1. $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
  2. $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$
  3. $(a+b)\cdot (a-b)=a^2-b^2$ 


Musterbeispiele

Berechne:

Bsp.png

$(3x+4y)^2=$


$(3x+4y)^2=9x^2+24xy+16y^2$


Berechne:

Bsp.png

$(2m-3n)^2=$


$(2m-3n)^2=4m^2-12mn+9n^2$


Berechne:

Bsp.png

$(3c+4d)\cdot (3c-4d)=$


$(3c+4d)\cdot (3c-4d)=9c^2-16d^2$


Weitere Übungen


Maturaaufgaben


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