Ableitung bestimmen: Unterschied zwischen den Versionen

Betrachte die linke Graphik: Der Wert $k$ zeigt die Steigung der Tangente im Punkt $P$ an.

1. Verschieben Sie den Punkt $P$. Auf der rechten Graphik wird laufend die Steigung $k$ beim jeweiligen $x$-Wert von $P$ abgetragen. Verschieben Sie $P$ solange, bis in der rechten Graphik ein schöner Funktionsgraph zu sehen ist. Dieser Graph ist der Graph von $f'(x)$ (=1. Ableitung von $x$).

2. Geben Sie eine andere Funktion im Eingabefeld ein. Versuchen Sie den Graphen von $f'(x)$ zuerst zu erraten und zeichnen Sie ihn erst dann durch Verschieben des Punktes $P$.

Funktionen zum Eintippen:
a) $f(x)=1.5x^3-4x^2$
b) $f(x)=0.05x^4-0.225x^3-0.325x^2+0.9x+0.5$
c) $f(x)=3x$

1. Schritt: Zeichne die Nullstellen von $f'(x)$ (= Extremwerte von $f(x)$) ein.	2. Schritt: Zeichne die Extremwerte von $f'(x)$ (= Wendepunkte von $f(x)$ ein. Die Höhen entsprechen den Steigungen von $f(x)$ bei den Wendepunkten.
3. und 4. Schritt: Aufgrund des Monotonieverhaltens von $f(x)$ wissen wir, wann $f'(x)$ positiv oder negativ ist.	$f'(x)$ schön eingezeichnet

Wir wenden die einzelnen Regeln Schritt für Schritt an:

1. $f(x)=x^3 \rightarrow f'(x)\underbrace{=}_{Potenzregel} 3\cdot x^{3-1}=3\cdot x^2$
   
   
2. $f(x)=4\cdot x=4\cdot x^1 \rightarrow f'(x)\underbrace{=}_{Potenzregel} 4\cdot 1\cdot x^{1-1}=4\cdot x^0=4\cdot 1=4$
   
   
3. $f(x)=3 \rightarrow f'(x)\underbrace{=}_{Konstantenregel} 0$
   
   
4. $f(x)=5\cdot x^2\rightarrow f'(x)\underbrace{=}_{Faktorregel}5\cdot (x^2)' \underbrace{=}_{Potenzregel}=5\cdot 2\cdot x^{2-1}=10\cdot x$
   
   
5. $x^3+5x^2-4x+3\rightarrow f'(x)\underbrace{=}_{Summenregel}(x^3)'+(5x^2)'-(4x)'+(3)' \underbrace{=}_{Potenzregel}3x^2+10x-4+0$
   
   
6. $x+\frac{1}{x}-\frac{1}{x^3}+\sqrt[5]{x^2}\underbrace{=}_{umformen} x+x^{-1}-x^{-3}+x^{\frac{2}{5} }$
   
   $$\rightarrow f'(x)\underbrace{=}_{Potenzregel}1\cdot x^0+(-1)\cdot x^{-2}-(-3)\cdot x^{-4}+\frac{2}{5}\cdot x^{(\frac{2}{5}-1)}=$$ $$=1-x^{-2}+3\cdot x^{-4}+\frac{2}{5}\cdot x^{-\frac{3}{5} }$$ $$=1-\frac{1}{x^2}+\frac{3}{x^4}+\frac{2}{5\sqrt[5]{x^3} }$$
   
   
7. $f(x)=\frac{x^4}{5}+2\cdot e^x-ln \vert x \vert \rightarrow f'(x)\underbrace{=}_{Potenzregel/Faktorregel,\ e-\ und\ ln-Regel}\frac{4x^3}{5}+2\cdot e^x-\frac{1}{x}$

Da es sich hierbei um ein Produkt handelt, müssen wir die Produktregel anwenden:

$$h(x)=\underbrace{(x^2-1)}_{f(x)} \cdot \underbrace{(3x^2-4x+1)}_{g(x)}$$ Zuerst berechnen wir in einer Nebenrechnung die Ableitungen der Faktoren: $$f(x)=x^2-1\rightarrow f'(x)=2x$$ $$g(x)=3x^2-4x-+1\rightarrow g'(x)=6x-4$$

Nun setzen wir die Formel zusammen: $$h'(x)=\underbrace{2x}_{f'(x)}\cdot \underbrace{(3x^2-4x+1)}_{g(x)}+\underbrace{(x^2-1)}_{f(x)}\cdot \underbrace{(6x-4)}_{g'(x)}$$

Zuletzt vereinfachen wir noch das Ergebnis: $$h'(x)=6x^3-8x^2+2x+6x^3-4x^2-6x+4$$ $$\underline{\underline{h'(x)=12x^3-12x^2-4x+4} }$$

Da es sich um einen Quotienten handelt, wenden wir die Quotientenregel an. Zuerst berechnen wir die Ableitung des Zählers ($f(x)$) und des Nenners ($g(x)$):

• Zähler: $f(x)=x^2-x\ \rightarrow f'(x)=2x-1$
• Nenner: $g(x)=x+1\ \rightarrow g'(x)=1$

Nun setzen wir die Quotientenregel zusammen: $$h'(x)=\frac{(2x-1)\cdot (x+1)-(x^2-x)\cdot 1 }{(x+1)^2}$$ $$h'(x)=\frac{2x^2+x-1-x^2+x}{x^2+2x+1}$$ $$h'(x)=\frac{x^2+2x-1}{x^2+2x+1}$$

Zuerst schreiben wir die Wurzel in der Exponentenschreibweise:

$$h(x)=(x^2-1)^{\frac{1}{3} }$$

• Die äußere Funktion ist nun $f(x)=(\ \ )^{\frac{1}{3} }$. Damit ist $f'(x)=\frac{1}{3}\cdot (\ \ )^{\frac{1}{3}-1}=\frac{1}{3}\cdot (\ \ )^{-\frac{2}{3} }$

• Die innere Funktion ist $g(x)=x^2-1$. Damit ist $g'(x)=2x$.

Nun setzen wir die Kettenregel zusammen: $$ h'(x)=\underbrace{\frac{1}{3}\cdot (x^2-1)^{-\frac{2}{3} } }_{\textrm{äußere Ableitung} } \cdot \underbrace{2x}_{\textrm{innere Ableitung} }$$

$$ h'(x)=\frac{2x}{3\cdot \sqrt[3]{(x^2-1)^2} }$$

Zuerst kümmern wir uns um die äußere und innere Funktion getrennt:

• Die äußere Funktion ist die Exponentialfunktion $f(x)=e\textrm{^}\ \rightarrow\ f'(x)=e\textrm{^}$.
• Die innere Funktion ist $g(x)=2x-1 \ \rightarrow g'(x)=2$.

Nun setzen wir die Kettenregel wieder zusammen:

$$ h'(x)=\underbrace{e^{2x-1} }_{\textrm{äußere Ableitung} } \cdot \underbrace{2}_{\textrm{innere Ableitung} }$$ $$h'(x)=2\cdot e^{2x-1} $$