Kurvendiskussionen: Unterschied zwischen den Versionen

Graph von $f(x)=x^3$

Sei $f(x)=x^3$. Um die Extrema zu berechnen, setzen wir $f'(x)=0$ und bestimmen dann $f''(x)$ an dieser Stelle:

Somit ist $f'(0)=0$ und $f''(0)=0$! Wie man aber leicht am Graphen erkennt, ist bei $x_1=0$ kein Extremum (weder Hoch- noch Tiefpunkt)!

Die Bedingungen $f''(x_0)<0$ (für ein Maximum) und $f''(x_0)>0$ (für ein Minimum) sind also wichtig!

Lösung: Zuerst bestimmen wir die 1. Ableitung $f'(x)$ und die zweite Ableitung $f''(x)$: $$f(x)=\frac{x^3}{3}-4x^2+7x+30$$ $$f'(x)=x^2-8x+7$$ $$f''(x)=2x-8$$

Nun setzen wir die 1. Ableitung 0 (da die Steigung bei Hoch- und Tiefpunkt 0 ist): $$0=x^2-8x+7$$ $$x_{1,2}=\frac{8\pm \sqrt{64-4\cdot 7}}{2}$$ $$x_{1,2}=\frac{8\pm 6}{2}$$ $$x_1=1$$ $$x_2=7$$

Graph mit Hoch- und Tiefpunkt

Somit haben wir 2 mögliche Extremstellen gefunden. Nun müssen wir noch überprüfen, ob es sich um Hoch- oder Tiefpunkte (oder weder noch) handelt. Hierzu setzen wir $x_1=1$ und $x_2=7$ in die zweite Ableitung ein:

$f''(1)=2\cdot 1-8=-6<0 \rightarrow $ rechtsgekrümmt $\rightarrow$ Hochpunkt

$f''(7)=2\cdot 7-8=+6>0 \rightarrow $ linksgekrümmt $\rightarrow$ Tiefpunkt

Somit wissen wir, dass sich bei $x=1$ ein Hochpunkt und bei $x=7$ Tiefpunkt befindet. Zuletzt bestimmen wir nun noch die y-Koordinaten des Hoch- und Tiefpunktes. Hierzu setzen wir die x-Werte in die ursprüngliche Funktion $f(x)$ ein:

$f(1)=\frac{1^3}{3}-4\cdot 1^2+7\cdot 1+30=33.33\rightarrow H(1|33.33)$

$f(7)=\frac{7^3}{3}-4\cdot 7^2+7\cdot 7+30=-2.67\rightarrow T(7|-2.67)$

Stell dir vor, der Graph ist eine Straße und du würdest ihm mit einem Auto von links nach rechts entlangfahren. Zuerst kommt eine Rechtskurve, in der du das Lenkrad nach rechts drehst. Anschließend kommt eine Linkskurve, in der du das Lenkrad nach links drehen musst. Genau zwischen der Rechts- und der Linkskurve gibt es einen Moment, indem das Lenkrad gerade ist - das ist der Wendepunkt.

Lösung: Zuerst bestimmen wir die zweite Ableitung $f''(x)$ und die dritte Ableitung $f'''(x)$: $$f(x)=\frac{x^3}{3}-4x^2+7x+30$$ $$f'(x)=x^2-8x+7$$ $$f''(x)=2x-8$$ $$f'''(x)=2$$

Nun setzen wir die zweite Ableitung 0:

$$f''(x)=2x-8$$ $$0=2x-8$$ $$x=4$$

Somit ist die Stelle $x=4$ ein möglicher Wendepunkt. Um zu überprüfen, ob es sich wirklich um einen handelt, müssen wir den x-Wert in die dritte Ableitung einsetzen:

Graph mit Wendepunkt

$$f'''(x)=2$$ Da die dritte Ableitung konstant 2 ist (d.h. für alle x den Wert 2 hat), gilt insbesondere $$f'''(4)=2\ne 0$$ Somit ist an der Stelle $x=4$ ein Wendepunkt.

Um die y-Koordinate des Wendepunktes zu bestimmen, setzen wir in die ursprüngliche Funktion $f(x)'''$ ein, und erhalten: $$f(4)=\frac{4^3}{3}-4\cdot4^2+7\cdot 4+30=15.33$$

Somit hat der Wendepunkt die Koordinaten $W(4|15.33)$.

Zusatzvideos zur Vertiefung

Online-Musterbeispiele und -Übungen

• Musterbeispiel von Jutta Gut
• Musterbeispiel von "Matheguru"
• WICHTIG Online-Übung von Kurvendisskussionen (GeoGebra)

Maturabeispiele

1. Steinschleuder (Bifie-Aufgabe: mittel)

   Welche Inhalte bruachst du hier noch: Differentialquotient

2. Zylindrisches Gefäß (Bifie-Aufgabe: mittel-leicht-leicht)
3. Geländewagen (Bifie-Aufgabe: schwer-mittel-schwer)

   Welche Inhalte brauchst du hier noch: Differenzenquotient

4. Hefepilz (Bifie-Aufgabe: mittel-leicht-mittel)
5. Straßenbahn (Bifie-Aufgabe: mittel-leicht-mittel)
6. Simulation eines Golfballflugs (Bifie-Aufgabe: leicht-mittel-mittel-schwer)
7. Schispringen (Bifie-Aufgabe: leicht-mittel-mittel)

   Welche Inhalte brauchst du hier noch: quadratische Funktionen und Geschwindigkeit