Umkehraufgaben: Unterschied zwischen den Versionen

$$f(x)=a\cdot x^2+b\cdot x+c$$ Da wir später die 1. Ableitung verwenden müssen, berechnen wir sie gleich: $$f'(x)=2a\cdot x+b$$ Insgesamt haben wir 3 Unbekannte zu bestimmen: $a, b$ und $c$. Somit brauchen wir 3 Gleichungen:

1. Gleichung:

"Der Graph ... geht durch den Punkt $(0\vert 3)$"$\rightarrow f(0)=3$ $$I:\ f(0)=a\cdot 0^2+b\cdot 0+c=3$$ $$I:\ c=3$$

2. Gleichung:

"... hat den Tiefpunkt $(3\vert -2)$" $\rightarrow$ somit liegt auch der Punkt $(3\vert -2)$ auf dem Graphen $\rightarrow f(3)=-2$ $$II:\ f(3)=a\cdot 3^2+b\cdot 3+c=-2$$ $$II:\ 9a+3b+c=-2$$

3. Gleichung:

"... hat den Tiefpunkt $(3\vert -2)$" $\rightarrow f'(3)=0$ $$III:\ f'(3)=2a\cdot 3+b=0$$ $$III:\ 6a+b=0$$

Lösen des Gleichungssystems:

Somit lautet das Gleichungssystem:

$I:\ c=3$

$II:\ 9a+3b+c=-2$

$III:\ 6a+b=0$

Indem wir das Gleichungssystem lösen erhalten wir: $$a=0.56; b=-3.33; c=3$$ Somit lautet die Funktionsgleichung: $$\underline{\underline{f(x)=0.56\cdot x^2-3.33\cdot x+3} }$$

Graph mit den Punkten

Zuerst bestimmen wir die 1. und 2. Ableitung, da wir diese gleich brauchen werden: $$f(x)=a\cdot x^3+b\cdot x^2+c\cdot x+d$$ $$f'(x)=3\cdot a\cdot x^2+2\cdot b\cdot x+c$$ $$f''(x)=6\cdot a\cdot x+2\cdot b$$

1. Gleichung:

"Der Graph einer Polynomfunktion f vom Grad 3 berührt die x-Achse bei x=1"$\rightarrow P(1\vert 0)$ liegt auf dem Graphen $\rightarrow f(1)=0$ $$I:\ f(1)=a\cdot 1^3+b\cdot 1^2+c\cdot 1+d=0$$ $$I:\ a+b+c+d=0$$

2. Gleichung:

"Der Graph einer Polynomfunktion f vom Grad 3 berührt die x-Achse bei x=1" $\rightarrow $ die Steigung ist hier 0 $\rightarrow f'(1)=0$. $$II:\ f'(1)=3a\cdot 1^2+2b\cdot 1+c=0$$ $$II:\ 3a+2b+c=0$$

3. Gleichung:

"...hat den Wendepunkt $W=(3\vert 4)$"$\rightarrow f(3)=4$ $$III:\ f(3)=a\cdot 3^3+b\cdot 3^2+c\cdot 3+d=4$$ $$III:\ 27a+9b+3c+d=4$$

4. Gleichung:

"...hat den Wendepunkt $W=(3\vert 4)$"$\rightarrow $ die Krümmung ist 0 bei x=3 $\rightarrow f''(3)=0$ $$IV:\ f''(3)=6a\cdot 3+2b=0$$ $$IV:\ 18a+2b=0$$

Lösen des Gleichungssystems: Nun müssen wir nur noch das Gleichungssystem mit den 4 Gleichungen lösen:

$I:\ a+b+c+d=0$

$II:\ 3a+2b+c=0$

$III:\ 27a+9b+3c+d=4$

$IV:\ 18a+2b=0$

Und erhalten: $\rightarrow a=-0.25 ;b=2.25;c=-3.75;d=1.75$ Somit lautet die Funktionsgleichung: $$\underline{\underline{f(x)=-0.25\cdot x^3+2.25 \cdot x^2-3.75 \cdot x+1.75} }$$

 Graph mit den Punkten

$$f(x)=a\cdot x^3+b\cdot x^2+c\cdot x+d$$ $$f'(x)=3\cdot a\cdot x^2+2\cdot b\cdot x+c$$

1. Gleichung:

"... geht durch den Ursprung"$\rightarrow P(0\vert 0)$ liegt auf dem Graphen $\rightarrow f(0)=0$ $$I:f(0)=a\cdot 0^3+b\cdot 0^2+c\cdot 0+d$$ $$\underline{I:\ d=0}$$

2. Gleichung:

"Die Tangente im Ursprung hat eine negative Steigung und schließt mit der positiven x-Achse einen Winkel von 135° ein."$\rightarrow f'(0)=$ $k=\tan(135°)$

$$II:\ f'(0)=3a\cdot 0^2+b\cdot 0+c=\tan(135°)$$ $$ \underline{II:\ c=-1}$$

3. Gleichung:

"Im Punkt $(1\vert 5)$ ..." $\rightarrow f(1)=5$ $$III:\ f(1)=a\cdot 1^3+b\cdot 1^2+c\cdot 1+d=5$$ $$\underline{III:\ a+b+c+d=5}$$ Hinweis: Da wir schon aus der Gleichung I wissen, dass d=0 ist, könnten wir auch einfach $a+b+c=5$ schreiben!

4. Gleichung:

"Im Punkt $(1\vert 5)$ hat die Tangente die Steigung 14"$\rightarrow f'(1)=14$ $$IV:\ f'(1)=3\cdot a\cdot 1^2+2\cdot b\cdot 1+c=14$$ $$\underline{IV:\ 3a+2b+c=14}$$ Hinweis: Hier verwenden wir die Tatsache, dass die Steigung des Graphen an einer Funktion gerade der Steigung der Tangente an dieser Stelle entspricht.

Lösen des Gleichungssystems: Somit lautet das Gleichungssystem

$I:\ d=0$

$II:\ c=-1$

$ III:\ a+b+c+d=5 $

$ IV:\ 3a+2b+c=14 $

Lösen wir dieses Gleichungssystem, so erhalten wir: $a=3; b=3; c=-1; d=0$ Damit lautet der gesuchte Term für $f(x)$: $$\underline{\underline{f(x)=3x^3+3x^2-x} }$$