Differenzen- und Differentialquotient: Unterschied zwischen den Versionen

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Version vom 30. August 2015, 13:04 Uhr

  • Wie berechne ich die durschschnittliche Steigung einer Funktion mithilfe des Differenzenquotienten und der Steigung der Sekante?
  • Wie berechne ich die momentane Steigung einer Funktion mithilfe des Differentialquotienten und der Steigung der Tangente?
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Definition

Der Differenzenquotient berechnet die Steigung der Sekante s.




Definition
Grün rufezeichen.png
 Die durschschnittliche Änderungsrate einer Funktion $f$:

$$ \bar{k}=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{(x+\Delta x)- x} $$ wird als Differenzenquotient bezeichnet. Er gibt die durschnittliche Steigung der Sekante durch die Punkte $A=(x \vert f(x))$ und $B=(f(x+\Delta x) \vert x+\Delta x )$ an (siehe Abbildung rechts).








Bemerkungen:

  • $\Delta$ (=Delta (4. Buchstabe im griechischen Alphabet)) steht für "Unterschied". $\Delta x$ ist der Unterschied auf der x-Achse, $\Delta y$ der Unterschied auf der y-Achse.
  • Wie aus der rechten Abbildung hervorgeht ist $\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{\textrm{Höhenunterschied}}{\textrm{Längenunterschied}}$
  • Der Name Differenzenquotient kommt daher, dass er aus dem Quotienten (=Division) zweier Differenzen (=Subtraktionen) entsteht:

$$ \bar{k}=\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{(x+\Delta x)-\Delta x} $$







Video-Erklärung

Video zum Differenzenquotienten
Hinweise zum Video:
  • Anstelle von $\bar{k}$ wird hier $m$ für die Steigung verwendet.
  • WICHTIG: Die Steigung in einem solchen Zeit-Weg-Diagramm ist immer die Geschwindigkeit!

$$ \textrm{Steigung}=\textrm{Geschwindigkeit} $$

Aufgaben

  1. Zum linken Video: Bestimme mithilfe der Tabelle bei der Stelle 3:23min eine quadratische Regression, um die Gleichung der Parabel zu bestimmen. Achtung: x-Achse=Zeit und y-Achse=Weg (in der Tabelle ist es gerade umgekehrt!!)
  2. Berechne mithilfe der Lösung von 1., nach wie vielen Sekunden der Läufer 30m zurückgelegt hat.
  3. Begründe, warum bei der Lösung für 1. der konstante Term c bei der Funktionsgleichung $y=a\cdot x^2+b\cdot x+c$ annähernd den Wert 0 haben muss.

Lösungen

Tabelle
  1. $y=0.95\cdot x^2 + 2.4\cdot x-0.07$
  2. $30=0.95\cdot x^2 + 2.4\cdot x-0.07 \rightarrow x=4.5 \textrm{ Sekunden} $
  3. Der Sprinter startet aus dem Stehen, deshalb ist der Weg nach 0 Sekunden y(0)=0. Da die Punkte nicht alle genau auf einer Parabel liegen, erhält man bei der Regression einen kleinen "Fehler" (hier von -0.07)







Beispiele

Bsp.png

Gegeben ist die Funktion f mit $f(x)=0.1x³ - x² + 2x$.
a) Berechnen Sie den Differenzenquotienten im Intervall [4,8]
b) Stellen Sie diesen auch graphisch in einem Koordinatensystem mit dem Graphen der Funktion f dar.

a) Gesucht ist $\bar{k}_{[a,b]}$ mit $a=4$ und $b=8$.

Zuerst machen wir eine Wertetabelle :

Beispiel 1 - Differenzenquotient - Wertetabelle.png

Nun setzen wir ein: $$\bar{k}_{[4,8]}=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f(8)-f(4)}{8-4}=\frac{3.2-(-1.6)}{8-4}=\frac{4.8}{4}=\underline{\underline{1.2} }$$


b) Der Differenzenquotient ist die Steigung der Sekante durch die beiden Punkte $(4,-1.6)$ und $(8,3.2)$.

Der Differenzenquotient $\frac{\Delta y}{\Delta x}$ gibt die durchschnittliche Steigung zwischen den beiden Punkten an.
Der Differenzenquotient gibt die Steigung der Sekante an.
























Bsp.png

Der zurückgelgete Weg eines anfahrenden Fahrzeuges entlang der Zeit kann mithilfe der quadratischen Funktion $s$ mit $s(t)=0.1\cdot t^2$ beschrieben werden.

$t...$ Zeit in Sekunden (s) (es gilt: $t\geq 0$)
$s(t)...$ Weg in Metern (m)

a) Berechnen Sie den Weg, den das Fahrzeug nach 5 s zurückgelegt hat?
b) Ermitteln Sie, nach wie vielen Sekunden das Fahrzeug 8.1 m weit gefahren ist?
c) Berechnen Sie die durchschnittliche Geschwindigkeit zwischen der 5. und 9. Sekunde in km/h.

a) $t=5$ s und gesucht ist der Funktionswert $s(5)$:

$$s(t)=0.1\cdot t^2$$ $$s(5)=0.1\cdot 5^2=2.5\ m$$ A: Nach 5 Sekunden hat das Fahrzeug einen Weg von 2.5 m zurückgelegt.

b) $s(t)=8.1$ m und gesucht ist das passende $t$: $$s(t)=0.1\cdot t^2$$ $$8.1=0.1\cdot t^2$$ $$81=t^2$$ $$\pm 9=t$$ A: Da die negative Lösung nicht infrage kommt (das Auto fährt an, somit betrachten wir nur positive Werte für die Zeit) hat das Fahrzeug nach 9 s eine Distanz von 8.1 m erreicht.

Graph von $s(t)$ samt der Sekante durch die beiden Punkte aus a) und b).

c) Die durchschnittliche Geschwindigkeit zwischen der 5. und 9. Sekunde entspricht der durchschnittlichen Steigung des Graphen von $s(t)$ im Intervall [5;9] (siehe Abbildung rechts).

Die durschnittliche Steigung kann mit dem Differenzenquotienten berechnet werden: $$\bar{k}_{[5;9]}=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{s(9)-s(5)}{9-5}\underbrace{=}_{\textrm{siehe a) und b)} } \frac{8.1-2.5}{9-4}=\frac{5.6}{5}=1.12\textrm{ m/s}$$

!!Achtung!! Da wir im Differenzenquotient die Meter (=im Zähler) durch die Sekunden (=im Nenner) dividiert haben, erhalten wir als Einheit "Meter pro Sekunde" (m/s).

Laut Angabe sind aber km/h gefordert, somit wandeln wir noch um: $$ 1.12\ m/s \underbrace{=}_{:1000}0.00112\ km/s \underbrace{=}_{\cdot 60\ \textrm{min}\cdot 60\ \textrm{sek} }4.032\ km/h$$ (Alternativ hätten wir die 1.12 m/s einfach mit $3.6=\frac{60\cdot 60}{1000}$ multiplizieren können)


Somit hat das Fahrzeug zwischen der 5. und 9. Sekunde eine durchschnittliche Geschwindigkeit von 4.032 km/h.


Beispiel zum Differenzenquotienten

Weitere Beispiele finden sich: 3. Klasse-Buch: S. 41


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Im oberen Abschnitt haben wir uns überlegt, wie wir die durchschnittliche Steigung in einem vorgegebenen Intervall bestimmen können. Dies gelang uns mithilfe des Differenzenquotienten.

Nun überlegen wir uns, wie wir die momentane Steigung an einem bestimmten Punkt berechnen können. Dies wird uns nämlich der sogenannte Differentialquotient liefern.




Definition

Der Differentialquotient berechnet die Steigung der Tangente t.




Definition
Grün rufezeichen.png
 Die momentane Änderungsrate einer Funktion $f$ an der Stelle x

$$ {k}=\lim_{\Delta x\rightarrow 0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{(x+\Delta x)- x} $$ wird als Differentialquotient bezeichnet.

Er gibt die momentane Steigung der Sekante durch den Punkte $A=(x\vert f(x))$ an.





Bemerkungen:

  • Der Ausdruck $\lim_{\Delta x \rightarrow 0} $ bedeutet, dass der Abstand auf der x-Achse der beiden Punkte A und B immer näher gegen 0 gehen soll. An der unteren Abbildung erkennst du, dass sich dadurch die Sekante (blau) immer mehr der Tangente (rot) nähert.

Difquotuebergang.gif

$$ {f'(x)}=\lim_{\Delta x\rightarrow 0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{(x+\Delta x)- x} $$






Video-Erklärung

Video zum Differentialquotienten
Hinweise zum Video:
  • Dieses Video ist die Fortsetzung des ersten Videos zum Differenzenquotienten.
  • Anstelle von $\bar{k}$ wird hier $m$ für die Steigung verwendet.
  • WICHTIG: Die Steigung in einem solchen Zeit-Weg-Diagramm ist immer die Geschwindigkeit!

$$ \textrm{Steigung}=\textrm{Geschwindigkeit} $$

Aufgaben

  1. Bestimme mithilfe des Differentialquotienten die momentane Steigung f'(x) (=k) der Funktion $f(x)=x^2$ an der Stelle $x$.
  2. Bestimme mithilfe des Differentialquotienten die momentane Steigung der Funktion $f(x)=x^2$ an der Stelle $x=2$.

Lösungen

  • 1. Bestimmen der momentanen Steigung $f'(x)$

$\begin{align} f'(x)=\lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{(x+\Delta x)-\Delta x}\\ f'(x)=\lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{(x+\Delta x)^2-x^2}{(x+\Delta x)-\Delta x}\\ f'(x)=\lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{(x^2+2\cdot x\cdot \Delta x+ \Delta x^2)-x^2}{\Delta x}\\ f'(x)=\lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{2\cdot x\cdot \Delta x+ \Delta x^2}{\Delta x}\\ f'(x)=\lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta x(2\cdot x+ \Delta x)}{\Delta x}\\ f'(x)=\lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{(2\cdot x+ \Delta x)}{1}\\ f'(x)=\lim_{\Delta x \rightarrow 0} 2\cdot x+ \underbrace{\Delta x}_{\rightarrow 0}\\ f'(x)= 2\cdot x \end{align}$



Graphische Lösung der Aufgabe 2
  • 2. Bestimmen der momentanen Steigung bei x=2:

$$f'(x)=2x$$ $$f'(2)=2\cdot 2$$ $$f'(2)=4$$ Die Steigung der Funktion an der Stelle x=2 beträgt 4.







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Siehe für Aufgabe a) auch Wachstums- und Zerfallsprozesse
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