Umkehraufgaben: Unterschied zwischen den Versionen

Eine Funktion 2. Grades hat die Form

$$f(x)=a\cdot x^2+b\cdot x+c$$ Da wir später die 1. Ableitung verwenden müssen, berechnen wir sie gleich: $$f'(x)=2a\cdot x+b$$ Insgesamt haben wir 3 Unbekannte zu bestimmen: $a, b$ und $c$. Somit brauchen wir 3 Gleichungen:

1. Gleichung:

"Der Graph ... geht durch den Punkt $(0\vert 3)$"$\rightarrow f(0)=3$ $$I:\ f(0)=a\cdot 0^2+b\cdot 0+c=3$$ $$I:\ c=3$$

2. Gleichung:

"... hat den Tiefpunkt $(3\vert -2)$" $\rightarrow$ somit liegt auch der Punkt $(3\vert -2)$ auf dem Graphen $\rightarrow f(3)=-2$ $$II:\ f(3)=a\cdot 3^2+b\cdot 3+c=-2$$ $$II:\ 9a+3b+c=-2$$

3. Gleichung:

"... hat den Tiefpunkt $(3\vert -2)$" $\rightarrow f'(3)=0$ $$III:\ f'(3)=2a\cdot 3+2b=0$$ $$III:\ 6a+2b=0$$

Lösen des Gleichungssystems:

Somit lautet das Gleichungssystem:

$I:\ c=3$

$II:\ 9a+3b+c=-2$

$III:\ 6a+b=0$

Indem wir das Gleichungssystem lösen erhalten wir: $$a=0.56; b=-3.33; c=3$$ Somit lautet die Funktionsgleichung: $$\underline{\underline{f(x)=0.56\cdot x^2-3.33\cdot x+3} }$$

Graph mit den Punkten

Eine Funktion 3. Grades hat die Form $f(x)=a\cdot x^3+b\cdot x^2+c\cdot x+d$. Zu bestimmen sind die Koeffizienten $a,b,c$ und $d$ - dies sind 4 Unbekante, somit brauchen wir 4 Gleichungen (die linear unabhängig sind):

Zuerst bestimmen wir die 1. und 2. Ableitung, da wir diese gleich brauchen werden: $$f(x)=a\cdot x^3+b\cdot x^2+c\cdot x+d$$ $$f'(x)=3\cdot a\cdot x^2+2\cdot b\cdot x+c$$ $$f''(x)=6\cdot a\cdot x+2\cdot b$$

1. Gleichung:

"Der Graph einer Polynomfunktion f vom Grad 3 berührt die x-Achse bei x=1"$\rightarrow P(1\vert 0)$ liegt auf dem Graphen $\rightarrow f(1)=0$ $$I:\ f(1)=a\cdot 1^3+b\cdot 1^2+c\cdot 1+d=1$$ $$I:\ a+b+c+d=1$$

2. Gleichung:

"Der Graph einer Polynomfunktion f vom Grad 3 berührt die x-Achse bei x=1" $\rightarrow $ die Steigung ist hier 0 $\rightarrow f'(1)=0$. $$II:\ f'(1)=3a\cdot 1^2+2b\dot 1+c=0$$ $$II:\ 3a+2b+c=0$$

3. Gleichung:

"...hat den Wendepunkt $W=(3\vert 4)$"$\rightarrow f(3)=4$ $$III:\ f(3)=a\cdot 3^3+b\dot 3^2+c\cdot 3+d=4$$ $$III:\ 27a+9b+3c+d=4$$

4. Gleichung:

"...hat den Wendepunkt $W=(3\vert 4)$"$\rightarrow $ die Krümmung ist 0 bei x=3 $\rightarrow f''(3)=0$ $$IV:\ f''(3)=6a\cdot 3+2b=0$$ $$IV:\ 18a+2b=0$$

Lösen des Gleichungssystems: Nun müssen wir nur noch das Gleichungssystem mit den 4 Gleichungen lösen:

$I:\ a+b+c+d=1$

$II:\ 3a+2b+c=0$

$III:\ 27a+9b+3c+d=4$

$IV:\ 18a+2b=0$

Und erhalten: $\rightarrow a=-0.19;b=1.69;c=-2.81;d=2.31$ Somit lautet die Funktionsgleichung: $$\underline{\underline{f(x)=-0.19\cdot x^3+1.69\cdot x^2-2.81\cdot x+2.31} }$$

 Graph mit den Punkten

Zuerst schreiben wir die allgemeine Funktionsgleichung auf und bestimmen wir die 1. Ableitung (da weder Wendepunkt, noch die Krümmung gegeben sind, brauchen wir die 2. Ableitung nicht)

$$f(x)=a\cdot x^3+b\cdot x^2+c\cdot x+d$$ $$f'(x)=3\cdot a\cdot x^2+2\cdot b\cdot x+c$$

1. Gleichung:

"... geht durch den Ursprung"$\rightarrow P(0\vert 0)$ liegt auf dem Graphen $\rightarrow f(0)=0$ $$I:f(0)=a\cdot 0^3+b\cdot 0^2+c\cdot 0+d$$ $$\underline{I:\ d=0}$$

2. Gleichung:

"Die Tangente im Ursprung hat eine negative Steigung und schließt mit der positiven x-Achse einen Winkel von 135° ein."$\rightarrow f'(0)=$ $k=\tan(135°)$

$$II:\ f'(0)=3a\cdot 0^2+b\cdot 0+c=\tan(135°)$$ $$ \underline{II:\ c=-1}$$

3. Gleichung:

"Im Punkt $(1\vert 5)$ ..." $\rightarrow f(1)=5$ $$III:\ f(1)=a\cdot 1^3+b\cdot 1^2+c\cdot 1+d=5$$ $$\underline{III:\ a+b+c+d=5}$$ Hinweis: Da wir schon aus der Gleichung I wissen, dass d=0 ist, könnten wir auch einfach $a+b+c=5$ schreiben!

4. Gleichung:

"Im Punkt $(1\vert 5)$ hat die Tangente die Steigung 14"$\rightarrow f'(1)=14$ $$IV:\ f'(1)=3\cdot a\cdot 1^2+2\cdot b\cdot 1+c=14$$ $$\underline{IV:\ 3a+2b+c=14}$$ Hinweis: Hier verwenden wir die Tatsache, dass die Steigung des Graphen an einer Funktion gerade der Steigung der Tangente an dieser Stelle entspricht.

Lösen des Gleichungssystems: Somit lautet das Gleichungssystem

$I:\ d=0$

$II:\ c=-1$

$ III:\ a+b+c+d=5 $

$ IV:\ 3a+2b+c=14 $

Lösen wir dieses Gleichungssystem, so erhalten wir: $a=3; b=3; c=-1; d=0$ Damit lautet der gesuchte Term für $f(x)$: $$\underline{\underline{f(x)=3x^3+3x^2-x} }$$