Ableitung bestimmen: Unterschied zwischen den Versionen

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|Summenregel || $f(x)+g(x)$ || $f'(x)+g'(x)$ || Eine Summe wird abegeleitet, indem jeder einzelne Summand einzeln abgeleitet wird.  
 
|Summenregel || $f(x)+g(x)$ || $f'(x)+g'(x)$ || Eine Summe wird abegeleitet, indem jeder einzelne Summand einzeln abgeleitet wird.  
 
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| [[$e$-Funktion|Exponentialfunktionen(3.5.)]] || $e^x$ || $e^x$ || Die bsondere Eigenschaft von $e^x$ ist, dass es durch Ableiten nicht verändert wird (d.h. Funktionswert bei x =Steigung bei x)
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| [[Exponentialfunktionen(3.5.)|$e$-Funktion]] || $e^x$ || $e^x$ || Die bsondere Eigenschaft von $e^x$ ist, dass es durch Ableiten nicht verändert wird (d.h. Funktionswert bei x =Steigung bei x)
 
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| [[Logarithmus]] || $ln|x|$ || $\frac{1}{x}$ ||  
 
| [[Logarithmus]] || $ln|x|$ || $\frac{1}{x}$ ||  

Version vom 6. September 2014, 10:54 Uhr

In diesem Artikel geht es darum, die erste Ableitung f'(x) einer Funktion f(x) zu bestimmen.

Hinweis: Im Folgenden sei f(x) auf ihrem Definitionsbereich immer differenzierbar (d.h. f'(x) existiert). Dies muss streng mathematisch vorausgesestzt werden)

Was ist $f'(x)$?

füge noch besseres Bild ein!
Der Differentialquotient berechnet die Steigung der Tangente t.


Definition
Grün rufezeichen.png
 Die Ableitungsfunktion $f'(x)$ ist der sogenannte Differentialquotient von $f(x)$.

$$ f'(x)={k}=\lim_{\Delta x\rightarrow 0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{(x+\Delta x)- x} $$

und gibt die momentane Steigung der Funktion $f$ an der Stelle x an.


$f'(x)$ wird auch als 1. Ableitung von f(x) bezeichnet.


Graphisches Bestimmen der 1. Ableitung

Merke
Rotes rufezeichen.png
 $f'(x)$ gibt die Steigung von $f(x)$ an. Somit muss gelten:


$f(x)$ $f'(x)$
1. $f(x)$ hat bei $a$ eine Extremstelle $\rightarrow$ Hier ist die Steigung $f'(x)=0$
2. $f(x)$ hat bei $b$ einen Wendepunkt $\rightarrow$ Hier ist der Graph lokal am steilsten oder am flachsten $\rightarrow$ die Steigung $f'$ hat hier einen Hoch- oder Tiefpunkt.
3. $f(x)$ ist monoton wachsend $\rightarrow$ $f'(x)$ ist positiv, d.h. oberhalb der x-Achse.
4. $f(x)$ ist monoton fallend $\rightarrow$ $f'(x)$ ist negativ, d.h. unterhalb der x-Achse.


Bsp.png

Skizzieren Sie zum gegebenen Graphen von $f(x)$ den Graphen von $f'(x)$!

Graph von f(x)

1. Schritt: Zeichne die Nullstellen von $f'(x)$ (=Extremwerte von $f(x)$ ein)
2. Schritt: Zeichne die Extremwerte von $f'(x)$ (=Wendepunkte von $f(x)$ ein. Die Höhen entprechen den Steigungen von $f(x)$ bei den Wendepunkten.
3. und 4. Schritt: Aufgrund des Monotonierverhaltens von $f(x)$ wissen wir, wann $f'(x)$ positiv oder negativ ist.
$f'(x)$ schön eingezeichnet


$Aha!$ Ein GeoGebra-Applet, in dem du das graphische differenzieren weiter üben kannst.



siehe noch:

Rechnerishes Bestimmen von $f'(x)$ - Ableitungsregeln

Grundlegende Regeln

Regel $f(x)$ $f'(x)$ Bemerkung
Potenzregel $x^n$ $n\cdot x^{n-1}$ Exponent kommt herunter, dann wird Hochzahl um 1 vermindert.
Konstantenregel

$c\in \mathbb{R}$

c 0 konstante Funktionen haben Steigung $= 0$
konstanter Faktor

$a\in \mathbb{R}$

$a\cdot f(x)$ $a\cdot f'(x)$ Ein konstanter Faktor ist von der Ableitung nicht betroffen.
Summenregel $f(x)+g(x)$ $f'(x)+g'(x)$ Eine Summe wird abegeleitet, indem jeder einzelne Summand einzeln abgeleitet wird.
$e$-Funktion $e^x$ $e^x$ Die bsondere Eigenschaft von $e^x$ ist, dass es durch Ableiten nicht verändert wird (d.h. Funktionswert bei x =Steigung bei x)
Logarithmus $ln|x|$ $\frac{1}{x}$
Trigonometrische Funktionen $sin(x)\\ cos(x)$ $cos(x)\\ -sin(x)$
Durch mehrmaliges Ableiten der Sinus- oder Cosinusfunktion, kommt man immer weider zur Ausgangsfunktion zurück.

{{Vorlage:Beispiel|

Produktregel

Quotientenregel

Kettenregel

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