Funktionen
- Einleitung
- Definition einer Funktion
- Darstellung einer Funktion
- Zusammenfassungsvideo
- Aufstellen einer Funktionsgleichung
Einleitung
Diese Seite handelt von der Definition und den grundlegenden Eigenschaften von Funktionen. Auf anderen Seiten werden wichtige Funktionstypen genauer behandelt:
- Lineare Funktionen
- Potenz- und Polynomfunktionen
- Exponentialfunktionen
- Direkte und indirekte Proportionalität
Überblick
mind-map kommt bald
Definition: Was ist eine Funktion und was ist keine Funktion
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Eine Funktion ist eine eindeutige Zuordnung, die jedem Wert aus einer Definitionsmenge genau einen Wert aus einer Wertemenge (Zielmenge) zuordnet.
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Musterbeispiel einer Funktion: Der Lehrer verteilt die Mathematiknoten
Im obigen Beispiel darf jede Schülerin nur eine Note erhalten, ABER mehrere Schülerinnen können dieselbe Note erhalten. Dies ist eine wichtige Eigenschaft von allen Funktionen. Verallgemeinert heißt dies:
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Jedem Element der Definitionsmenge ($x$) darf NUR EIN Element der Wertemenge ($y$) zugeordnet werden.
ABER: Ein Element der Wertemenge ($y$) kann mehreren Elementen der Definitionsmenge ($x$) zugeordnet werden. (vgl. das Musterbeispiel der Schülerinnen ($x$, Definitionsmenge) und der Noten ($y$, Wertemenge). |
Mathematische Funktionen und ihre Darstellungen
In der Mathematik bestehen die Definitions- und Wertemenge in der Regel aus Zahlen (meist aus den reellen Zahlen.)
Somit weist die Funktion $f$ jeder Zahl $x$ einer Definitionsmenge eine andere Zahl $y$ einer Wertemenge zu.
Ein Beispiel für eine solche Zuweisung von Zahlen auf Zahlen siehst du im unteren Applet. Beachte hierbei auch die verschiedenen Darstellungen der Funktion:
a) Mengendiagramm: Die Elemente der Definitionsmenge werden durch die Funktion mit Elementen der Wertemenge verbunden.
b) Wertetabelle: In einer Tabelle werden die Zuordnungen von $x$- und $y$-Werten angegeben.
c) Graph: Die $x$- und $y$-Werte aus der Wertetabelle können in einem Koordinatensystem als Punkte mit den Koordinaten $(x,y)$ angegeben werden. Der Punkt $(1,4)$ würde dann bedeuten, dass der Zahl $1$ aus der Definitionsmenge die Zahl $4$ in der Wertemenge zugeordnet wurde. Das entstehende Gebilde nennt man dann den Graphen der Funktion.
| Darstellung: Mengendiagramm - Wertetabelle - Graph |
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| Falls dieses Applet nicht funktioniert, klicke hier |
Zuletzt gibt es noch eine weitere wichtige Darstellung einer Funktion, die
d) Funktionsgleichung
Hat man eine Funktion, die jedem Wert aus der Definitionsmenge seinen doppelten Wert zuordnet, so kann man dies auch folgendermaßen schreiben:
$$f: \mathbb{D}\rightarrow \mathbb{W} \textrm{ mit } y=2x$$
wobei $x$ im Definitionsbereich und $y$ im Wertebereich liegt.
Eine oft gebräuchlichere Schreibweise für eine Funktionsgleichung ist:
$$f: \mathbb{D}\rightarrow \mathbb{W} \textrm{ mit } f(x)=2x$$
$$\textrm{ (gesprochen: $f$ von $x$ ist $2$ mal $x$)}$$
Beispiele für Funktionsgleichungen:
| Funktionsgleichung | gesprochen | Bedeutung |
|---|---|---|
| $f(x)=x+1$ | $f$ von $x$ ist $x$ plus $1$ | Die Funktion $f$ ordnet jedem $x$ seine um $1$ höhere Zahl $x+1$ zu. |
| $f(x)=2x$ | $f$ von $x$ ist $2$ mal $x$ | Die Funktion $f$ ordnet jedem $x$ ihren doppelten Wert zu. |
| $f(x)=3x+1$ | $f$ von $x$ ist $3$ mal $x$ plus $1$ | Die Funktion $f$ ordnet jedem $x$ jene Zahl zu, die man erhält, wenn man zum Dreifachen von $x$ eins addiert. |
Nun lernen wir, mithilfe einer Funktionsgleichung eine Wertetabelle und anschließend einen Graphen zu erstellen:
Gegeben ist die Funktion $f$ mit der Funktionsgleichung $f(x)=x+2$.
a) Erstelle mithilfe der Funktionsgleichung eine Wertetabelle im Definitionsbereich $[0;3]$.
b) Skizziere den Graphen der Funktion.
Gegeben ist die Funktionsgleichung $f(\color{red}{x})=\color{red}{x}+2$ (wir könnten auch $y=x+2$ schreiben, da $f(x)=y$ ist).
Um die Wertetabelle zu erstellen, setzen wir nun Zahlen aus dem Definitionsbereich $[0;3]$ für $x$ ein und berechnen damit $y$ (oder $f(x)$).
- Wenn $x=0$ dann ist: $f(\color{red}{0})=\color{red}{0}+2=2$ d. h. für $x=0$ ist $y=2$ (oder $f(\color{red}{0})=2$)
- Wenn $x=1$ dann ist: $f(\color{red}{1})=\color{red}{1}+2=3$ d. h. für $x=1$ ist $y=2$ (oder $f(1)=3$)
- Wenn $x=2$ dann ist: $f(\color{red}{2})=\color{red}{2}+2=4$ d. h. für $x=2$ ist $y=4$ (oder $f(2)=4$)
- Wenn $x=3$ dann ist: $f(\color{red}{3})=\color{red}{3}+2=5$ d. h. für $x=3$ ist $y=5$ (oder $f(3)=5$)
Natürlich können wir auch Dezimalzahlen einsetzen:
- Wenn $x=0.5$ dann ist: $f(0.5)=0.5+2=2.5$ d. h. für $x=2.5$ ist $y=2.5$ (oder $f(1.5)=2.5$)
Fassen wir $x$-Werte und $y$-Werte in einer Tabelle zusammen, so erhalten wir die rechts abgebildete Wertetabelle.
b) Skizziere den Graphen der Funktion $f$.
Um den Graphen zu zeichnen, verwenden wir die Werte aus der Wertetabelle. Jede Spalte entspricht dabei einem Punkt mit $x$-Koordinate und $y$-Koordinate.
Nehmen wir beispielsweise den Punkt aus der untersten Zeile $(0.5,2.5)$, so müssen wir $0.5$ entlang der $x$-Achse nach rechts und $2.5$ entlang der $y$-Achse hinauf (bei Schwierigkeiten mit dem Einzeichnen der Punkte, siehe Koordinatensystem).
Zeichnest du alle Punkte ein, so erhältst du:
Was wir zum jetzigen Zeitpunkt noch nicht wissen ist, dass $f(x)=x+2$ eine lineare Funktion ist, dessen Graph immer eine Gerade ist. Somit können wir die Punkte verbinden und erhalten den Graphen der Funktion im Definitionsbereich $[0;3]$:
|
$\ $
(Beachte: Was es heißt, die Punkte „passend zu verbinden“ kommt immer auf die Art der Funktion an - dies lernst du in den weiteren Kapiteln) |
| Übung zur Darstellung von Funktionen: Funktionsgleichung - Wertetabelle - Graph |
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Löse die Aufgaben, indem du
Klicke am Ende jeder Aufgabe auf „Überprüfung“ um zu sehen, ob du die Aufgabe richtig gelöst hast. |
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Hinweis!
- Anstelle von $f$ können auch andere Buchstaben für eine Funktion verwendet werden, z. B. $g(x)=x+1$.
- Auch muss nicht immer $x$ als Variable verwendet werden. So wird für die Zeit als Definitionsbereich meist der Buchstabe $t$ verwendet, z. B. $g(t)=t+1$.
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Folgende Darstellungsformen sind in der Mathematik von großer Bedeutung:
Viele Aufgaben werden darin bestehen, zwischen diesen Darstellungsformen zu wechseln. |
Zusammenfassungsvideo
Weiteres Applet zu Definitions- und Bildbereich: https://www.geogebra.org/m/UWEnxpFJ
Aufstellen einer Funktionsgleichung - Abhängige und unabhängige Variable
Oft besteht die Aufgabe darin, aus einem Text eine passende Funktionsgleichung aufzustellen. Dabei muss zuerst überlegt werden, was die $x$- und was die $y$-Variable (oder $f(x)$) sein soll. Dabei gilt folgende Grundregel:
|
$\$
* $x$ ist die unabhängige Variable
* $y$ oder $f(x)$ ist die von $x$ abhängige Variable
|}
[[Datei:Bsp.png|left]]
Sandra hat doppelt so viel auf ihrem Konto wie Peter. Bestimme jene Funktionsgleichung, die das Gehalt von Peter in Abhängigkeit vom Gehalt von Sandra angibt.
Peters Kontostand ist hier abhängig von Sandras. Somit ist Sandras Kontotand die unabhängige Variable $x$ und Peters Kontostand die abhängige Variable $y$:
$x$ ... Kontostand von Sandra
$y$ ... Kontostand von Peter Da Sandra doppelt so viel wie Peter auf dem Konto hat, muss Peters Gehalt verdoppelt werden, damit beide gleich viel haben. Das bedeutet: UNIQ6adcf3b827e0fc10-MathJax-6-QINU Formt man nun so um, sodass $y$ frei steht, erhält man: UNIQ6adcf3b827e0fc10-MathJax-7-QINU oder UNIQ6adcf3b827e0fc10-MathJax-8-QINU {| align=center border=1 ! Eigenschaft !! Erklärung !! formale Definition !! Graphik |- |'''streng monoton steigend''' ||der Graph geht immer bergauf ||Ist $x_1<x_2$, dann gilt $f(x_1)<f(x_2)$ || [[Datei:streng monoton steigend.png|200px]] |- |'''monoton steigend''' ||der Graph geht bis auf einzelne konstante Stellen immer bergauf ||Ist $x_1<x_2$, dann gilt $f(x_1)\leq f(x_2)$ || [[Datei:monoton steigend.png|200px]] |- |'''konstant''' ||der Graph ist parallel zur x-Achse || Ist $x_1<x_2$, dann gilt $f(x_1)=f(x_2)$ || [[Datei:konstant.png|200px]] |- | '''monoton fallend''' || der Graph geht bis auf einzelne konstante Stellen immer bergab ||Ist $x_1<x_2$, dann gilt $f(x_1)\geq f(x_2)$ ||[[Datei:monoton fallend.png|200px]] |- | '''streng monoton fallend''' || der Graph geht immer bergab ||Ist $x_1<x_2$, dann gilt $f(x_1)>f(x_2)$ || [[Datei:streng monoton fallend.png|200px]] |} === Nullstellen === [[Datei:Kurvendiskussion-1.png|thumb|right|350px|Im Graphen sind die drei Nullstellen $x_1, \ x_2$ und $x_3$ abgebildet.]] {| border ="1" cellpadding="10" | {| | '''Definition''' |- | [[Datei:Grün rufezeichen.png|center]] |} |'''Nullstellen''' sind jene [[Stellen]] ($=x$-Werte), an denen der Graph der Funktion die $x$-Achse schneidet (hier ist $f(x)=0$). '''Formale Definition:''' Die Funktion $f(x)$ hat bei $x_1$ eine Nullstelle, wenn gilt: $f(x_1)=0$ |} === Video === '''Wichtig:''' Das folgende Video ist für das jetzige Stoffgebiet nur bis zur Minute 2:00 relevant. Die anschließenden Rechenschritte lernst du erst später. = Interaktives Quiz = == Interaktives Quiz == =Weitere Übungen= ==Übungen und Ausblick== * [[Grün: Arbeitsblätter | $Aha!$ ]] [http://snvbrwvobs2.snv.at/matura.wiki/index.php?action=ajax&title=-&rs=SecureFileStore::getFile&f=/7/7b/Was_man_bei_Funktionen_k%C3%B6nnen_muss_-_Version_2.pdf Überblicksblatt samt Beispielen - was du zur Matura alles über Funktionen wissen musst] * [[Violett: Quizzes und dynamische Aufgabenblätter| ? ]]: Übung, in der du lernst, [http://www.geogebratube.org/student/m82256 Funktionsgleichungen anhand gegebener Punkte zu berechnen] : Hierfür musst du [[Gleichungssysteme (2.7.) | Gleichungssysteme]] lösen. * [[Violett: Quizzes und dynamische Aufgabenblätter| ? ]]: Aufgabe von echteinfach.tv, in der du [http://www.echteinfach.tv/mathe-spiele/funktionen-quiz Funktionsgleichungen den jeweiligen Graphen zuordnest] =Matura-Aufgaben= ==Matura-Aufgaben== [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | $Bifie$]] [http://aufgabenpool.srdp.at/bhs/download.php?qid=94&file=Regenrinne.pdf Regenrinne] (mittel-schwer-leicht) : Welche Inhalte werden hier noch gefragt: [[Rechnen mit Termen(2.1.)|Rechnen mit Termen]]. [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | $Bifie$]] [http://aufgabenpool.srdp.at/bhs/download.php?qid=95&file=Elektrischer_Widerstand_eines_Drahtes.pdf Elektrischer Widerstand] (leicht) : Welche Inhalte werden hier noch gefragt: [[Rechnen mit Termen(2.1.)|Rechnen mit Termen]]. [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | $Bifie$]] [http://aufgabenpool.srdp.at/bhs/download.php?qid=145&file=Torten.pdf Torten] (mittel-leicht-leicht-leicht) : Welche Inhalte werden hier noch gefragt: [[Gleichungssysteme (2.7.)|Gleichungssysteme]] sowie [[Formeln]] und für d) [[Binomialverteilung|Binomialverteilung (erst in der 5. Klasse)]] [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | $Bifie$]] Beleuchtungsstärke |
