Wachstums- und Zerfallsprozesse

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• Einleitung und Grundbegriffe
• Lineares Wachstum
• Exponentielles Wachstum
• Unterschied: Lin. vs. Exp.
• Funktionsgleichung aufstellen
• W1 und W2: beschränkte Modelle
• W1 und W2: logistisches Modell
• W1- und W2-Matura-Aufgaben

In der Natur vorkommende Wachstums- und Zerfallsprozesse (z.B. Wachstum einer Bevölkerung, Zerfall eines radioaktiven Atoms, Abnahme des Alkoholspiegels) können mithilfe von mathematischen Funktionen beschrieben werden.

Für die Matura sind dabei besonders die folgenden Funktionen wichtig:

• lineare Funktionen $y=kx+d$
• Exponentialfunktionen $y=b\cdot a^x$ oder $y=b\cdot e^{\lambda \cdot x}$
• quadratische Funktionen $y=ax^2+bx+c$

Grundbegriffe

• $t...$ gibt die vergangene Zeit an (in Jahren, Tagen, Stunden oder ... . Die Einheit steht immer in der Angabe!)
• $N_0...$ Anfangswert (Anzahl/Größe zum Zeitpunkt $0$)
• $N(t)...$ Anzahl/Größe nach $t$ Zeiteinheiten (z. B. $t$ gebe die Stunden an, dann ist $N(5)$ die Anzahl nach $5$ Stunden)

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Lineares Wachstum $N(t)= k\cdot t +N_0$

Definition und Verwendung

Graph einer linearen Zunahme

Graph einer linearen Abnahme

Eine Größe verändert sich linear, wenn sie in gleichen Zeitabständen um denselben konstanten Wert $k$ wächst. Die Funktionsgleichung für eine solche Veränderung lautet dann: $$ N(t)= k\cdot t +N_0 $$

• Ist $k>0$, so handelt es sich um ein lineares Wachstum
• Ist $k<0$, so handelt es sich um eine lineare Abnahme

Hinweise:

• Bei $$ N(t)= k\cdot t +N_0 $$ handelt es sich um eine lineare Funktion der Form

$$ y=k\cdot x+d$$

Mit der unabhängigen Variable $t=x$, der davon abhängigen Variable $N(t)=y$ und dem Startwert $N_0=d$

• Herleitung der Funktionsgleichung:

Angenommen eine Population hat zu Beginn $N_0$ Individuen und wächst pro Zeiteinheit (z. B. pro Stunde) um den Wert $k$.

Dann gilt für $N(1)=$ Individuen nach einer Stunde:

$$N(1)=N_0+k$$

Nach $2$ Stunden hat sich die Population wieder um $k$ vermehrt und damit ist

$$N(2)=N(1)+k=(N_0+k)+k=N_0+2k$$

Und nach $3$ Stunden gilt

$$N(3)=N(2)+k=(N_0+2k)+k=N_0+3k$$

Ganz allgemein gilt dann für die Population nach $t$ Stunden:

$$N(t)=N_0+k\cdot t$$

Musterbeispiel:

Stanislaus hat ein Geburtsgewicht von $3120 g$. Nach $3$ Wochen hat er bereits $3900 g$.

1. Erstelle ein lineares Modell, welches die Abhängigkeit des Gewichts vom Alter beschreibt.
2. Was bedeuten die Parameter $k$ und $d$ in diesem Zusammenhang?
3. Stanislaus ist bei seiner Taufe $10$ Wochen alt. Welches Gewicht hat er?
4. Wann erreicht Stanislaus ein Gewicht von $6,2 kg$?

Lösung

1. $y=260x+3120$, wobei $y=$ Gewicht in $g$, $x=$ Alter in Wochen
2. $k$ beschreibt die wöchentliche Zunahme in Gramm und $d$ beschreibt das Geburtsgewicht von Stanislaus
3. $y=260\cdot 10+3120=5720$. Stanislaus wiegt nach $10$ Wochen $5720 g$.
4. Löse die Gleichung: $6200=260x+3120$. Lösung: $x=11,84$. Also erreicht Stanislaus in der $12.$ Woche nach der Geburt ein Gewicht von $6,2 kg$.

Übungsaufgaben

• Wassertonne

Wassertonne (Lösung)

• $Bifie$ : Tauchen

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Exponentielles Wachstum $N(t)=N_0\cdot a^t$ bzw. $N(t)=N_0\cdot e^{\lambda \cdot t}$

Definition und Verwendung

Eine Größe wächst exponentiell, wenn sie in gleichen Zeitabständen um denselben konstanten Faktor $a>1$ wächst. Wie bei den Exponentialfunktionen gibt es auch hier zwei Formeln:

Graph einer exponentiellen Zunahme

$$N(t)=N_0\cdot a^t $$	$$N(t)=N_0\cdot e^{\lambda \cdot t}$$
$a>1 ...$ ist der Wachstumsfaktor und gibt an, mit welchem Faktor sich die Population pro Zeiteinheit verändert. Da die Population wächst, muss $a>1$ sein (siehe Exponentialfunktionen). Beispiel: $a=1.26$ $\rightarrow $ die Population wächst um den Faktor $1.26$ $\rightarrow $ die Population wächst pro Zeiteinheit um $26 \%$	$\lambda>0 ...$ ist die Wachstumsrate. Es gilt: $a=e^\lambda $

Verdoppelungszeit

Eine besondere Eigenschaft des exponentiellen Wachstums ist, dass die Zeit für eine Verdoppelung der Anfangsgröße immer gleich groß ist (mit einer kleinen Überlegung findest du leicht heraus, dass dies schon aus der Definition des exponentiellen Wachstums folgt). Aus diesem Grund definiert man die:

Definition: Verdoppelungszeit $\tau $

Die Verdoppelungszeit $\tau$ ist die Zeit, in der sich eine Größe verdoppelt hat. Insbesondere gilt: $$N(\tau)=2\cdot N_0$$ $$\textrm{(in Worten: „die Anzahl nach $\tau$ ($=$"tau") Zeiteinheiten ist das Doppelte des Anfangswertes }N_0$$

1. Musterbeispiel: Berechnung der Verdoppelungszeit bei bekannter Anfangsmenge

Graph der Wachstumsfunktion $N(t)=350\cdot 1.065^t$

Ein Kapital auf einem Sparbuch wächst jährlich um $6.5 \%$ p. a. (d. h. $6.5 \%$-ige Verzinsung pro Jahr).

• a) Bestimmen Sie die Funktionsgleichung, wenn zu Beginn $100€$ auf dem Sparbuch liegen.
• b) Ermitteln Sie die Verdoppelungszeit, d. h. berechnen Sie, wann sich das Anfangskapital verdoppelt hat.
• c) Die folgende Graphik gibt die Entwicklung für ein Anfangskapital von $350€$ an. Lesen Sie aus dem Graphen die Verdoppelungszeit ab.

Begründen Sie zusätzlich, warum die Verdoppelungszeit gleich groß wie in Aufgabe b) ist.

Lösung

a) $N_0=100$; $a=(1+\frac{6.5}{100})=1.065 \ \ \rightarrow$ $\underline{\underline{N(t)=100\cdot 1.065^t}}$

b)

• $N_0=100$
• $a=1.065$
• $N(t)=200$
• $t=$?

Bestimmung der Verdoppelungszeit

$$200=100\cdot 1.065^t$$ $$2=1.065^t |\log$$ $$\log 2 = t\cdot \log 1.065$$ $$\frac{\log 2}{\log 1.065}=t$$ $$\underline{\underline{t= 11.01}}$$

c) Wie anhand des Graphen zu sehen ist, beträgt die Verdoppelungszeit $11.01$ Jahre, da sich hier das Anfangskapital von $350€$ auf $700€$ verdoppelt hat.

Die Verdoppelungszeit hängt nicht vom Startwert $N_0$, sondern nur vom Wachstumsfaktor $a$ ab. Aus diesem Grund sind die Verdoppelungszeiten in b) und c) ident.

2. Musterbeispiel: Berechnung der Verdoppelungszeit bei unbekannter Anfangsmenge

Die Größe einer Bakterienpopulation nach $t$ Stunden kann mithilfe der Funktion $N(t)=N_0\cdot 1.14^t$ angegeben werden.

• a) Bestimmen Sie, um wie viel Prozent sich die Population pro Stunde vergrößert.
• b) Berechnen Sie die Verdoppelungszeit.

Lösung

a) $a=1.14\ \ \rightarrow\ \ 14 \%$ Wachstum pro Stunde.

b) Nach der Verdoppelungszeit ist $N(t)=2\cdot N_0$ (d. h. der Anfangswert hat sich verdoppelt). Setzen wir dies für $N(t)$ in die Funktionsgleichung, so erhalten wir: $$ N(t)=N_0\cdot 1.14^t$$ $$ 2\cdot N_0=N_0\cdot 1.14^t \ \ \ |:N_0$$ $$ 2=1.14^t \ \ \ |\log ( \ )$$ Wichtig: In der oberen Zeile hat sich das $N_0$ weggekürzt! Damit sehen wir, dass die Verdoppelungszeit unabhängig vom Startwert $N_0$ ist. Dies kam auch schon im 1. Musterbeispiel vor. $$ \log 2=t\cdot \log 1.14 $$ $$\frac{\log 2}{\log 1.14}=t$$ $$\underline{\underline{t=5.29}}$$ A: Die Verdoppelungszeit beträgt $5.29$ Stunden.

3. Musterbeispiel: Bestimmen des Wachstumsfaktors bei bekannter Verdoppelungszeit

Die Verdoppelungszeit eines exponentiellen Wachstumsprozesses der Form $N(t)=N_0\cdot a^t$ beträgt $17$ Tage ($t$ gibt die Tage an).

• a) Berechnen Sie den Wachstumsfaktor $a$.
• b) Bestimmen Sie die Zeit, wie lange es dauert, bis das $8$-Fache des Anfangswertes vorhanden ist.

Lösung:

a) Aus der Angabe geht hervor, dass $N(17)=2\cdot N_0$ ist. Dies setzen wir nun in die Funktionsgleichung ein: $$N(t)=N_0\cdot a^t$$ $$N(17)=N_0\cdot a^{17}$$ $$2\cdot N_0=N_0\cdot a^{17} \ \ \ |:N_0$$ $$2=a^{17} \ \ \ |\sqrt[17]{\ \ \ }$$ $$\sqrt[17]{2}=a$$ $$\underline{\underline{a=1.0416}}$$ A: Der Wachstumsfaktor $a$ beträgt $1.0416$, womit pro Tag $4.16 \%$ dazu kommen.

b) Aus der Angabe wissen wir, dass es nach $17$ Tagen zu einer Verdoppelung gekommen ist. Da sich das exponentielle Wachstum in gleichen Zeitabständen um denselben Faktor vermehrt, gilt:

• nach $2\cdot 17=34$ Tagen kommt es zu einer Vervierfachung ($2\cdot 2=4$).
• Nach $3\cdot 17=51$ Tagen kommt es zu einer Verachtfachung. ($2\cdot 2 \cdot 2=8$)

Somit dauert es $51$ Tage. Schau dir dazu auch den Graphen bei der unteren Bemerkung an!

Merke:

Die Verdoppelungszeit wird berechnet, indem man für $N(t)=2\cdot N_0$ einsetzt. Die Verdoppelungszeit ist unabhängig vom Anfangswert $N_0$ (vgl. 2. Musterbeispiel)

Mehrfache Verdoppelung eines exponentiellen Wachstums

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Unterschied: Lineares und Exponentielles Wachstum

Es ist wichtig, die Unterschiede zwischen dem linearen und dem exponentiellen Wachstum zu kennen. Aus diesem Grund vergleichen wir hier die beiden Wachstumsprozesse:

Lineares Wachstum	Exponentielles Wachstum
Addition um eine konstante Zahl	Multiplikation um einen konstanten Faktor
immer $+k$	immer $\cdot a$
Graph ist eine Gerade	Graph ist eine exponentielle Kurve
wächst immer um dieselbe konstante Zahl $k$	wächst immer schneller
Graph einer linearen Zunahme	Graph einer exponentiellen Zunahme

Übungsbeispiel: linear oder exponentiell?

Ordne dem passenden Wachstum zu und bestimme $k$ bzw. $a$:

1. Der Umfang eines Baumes nimmt jährlich um $5 \%$ zu:
2. Der Meeresspiegel steigt jährlich um $4 cm$:
3. Die Bevölkerung wächst jährlich um den Faktor $1.2$:
4. Der Stamm eines Baumes wird pro Jahr um $1 cm$ dicker:
5. Ein Kapital wird jährlich mit $3 \%$ p. a. verzinst.
6. Der Umsatz eines Betriebes sinkt jährlich um $12 \%$.

Lösung:

1. Der Umfang eines Baumes nimmt jährlich um $5 \%$ zu: exponentiell mit $a=1.05$
2. Der Meeresspiegel steigt jährlich um $4 cm$: linear mit $k=4 cm$
3. Die Bevölkerung wächst jährlich um den Faktor $1.2$: exponentiell mit $a=1.2$
4. Der Stamm eines Baumes wird pro Jahr um $1 cm$ dicker: linear mit $k=1 cm$
5. Ein Kapital wird jährlich mit $3 \%$ p. a. verzinst. exponentiell mit $a=1.03$
6. Der Umsatz eines Betriebes sinkt jährlich um $12 \%$: exponentiell mit $a=0.88 \rightarrow$ siehe exponentielle Abnahme

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In der Mathematik gibt es oft mehrere Lösungsmöglichkeiten. Im folgenden Artikel wird nur einen Weg behandelt, welcher aber universal angewendet werden kann.

Wiederholung

Wissenswertes

Um eine Funktionsgleichung aufstellen zu können, muss man die Parameter (die noch unbekannten Zahlen in der allgemeinen Funktionsgleichung) berechnen.

Merke: Egal zu welcher Art von Funktion du die Funktionsgleichung aufstellen willst, der Ablauf in GeoGebra CAS bleibt immer gleich!

Folgende Dinge musst du wissen, damit du eine Funktionsgleichung aufstellen kannst:

• die allgemeine Funktionsgleichung, z.B.

- linearen Funktion: $ f(x)=k\cdot x+d $

- quadratische Funktion (Polynomfunktion 2. Grades): $ f(x)=a\cdot x^2+b\cdot x+c $

- kubische Funktion (Polynomfunktion 3. Grades): $f(x)=a\cdot x^3+b\cdot x^2+c\cdot x+d $

- Exponentialfunktion: $f(x)=c\cdot a^x $

• dass es genau so viele Informationen braucht, wie du unbekannte Parameter in der Funktionsgleichung hast, z.B.

- bei der linearen Funktion möchtest du $ k $ und $ d $ - also zwei unbekannte Parameter - herausfinden, daher brauchst du zwei Informationen

- bei der kubischen Funktion möchtest du $a, b, c$ und $d$ - also vier unbekannte Parameter - herausfinden, daher brauchst du vier Informationen

- bei der Exponentialfunktion möchtest du $c$ und $a$ - also zwei unbekannte Parameter - herausfinden, daher brauchst du zwei Informationen

• dass du diese Informationen als Gleichung der Form $f(...)=...$ in CAS eintippen musst
• Ablauf in GeoGebra

Ablauf in GeoGebra

1. Öffne das CAS-Fenster.
2. Gib in der 1. Zeile die allgemeine Funktionsgleichung mit einem $:=$ ein, z.B. $ f(x):=k\cdot x+d $
3. Gib in den nächsten Zeilen so viele Gleichungen der Form $ f(...)=... $ ein, wie unbekannte Parameter in der allgemeinen Funktionsgleichung vorkommen.
4. Löse die bei 3. eingegebenen Gleichungen ...
   1. ... indem du alle Gleichungen markierst und den Shortcut $ x= $ oder $ x≈ $ verwendest
   2. ... indem du in der nächsten Zeile den Befehl Löse(Liste von Gleichungen, Liste von Variablen) verwendest.

Achtung: mögliche Fehlerquellen

Achtung: mögliche Fehlerquellen

• Achte darauf, dass du den $ := $ bei der Defintion der allgemeinen Funktionsgleichung sowie die Malpunkte $ \cdot $ zwischen den einzelnen "Buchstaben" nicht vergisst!
• Die unabhängige Variable muss immer zusammenpassen, z.B. $h( \color{green}{ \textbf{t} } )=k\cdot \color{red}{ \textbf{x} } +d $ ist falsch $\rightarrow h(\color{green}{ \textbf{t} })=k\cdot \color{green}{ \textbf{t} }+d $ ist richtig
• Setze die Werte richtig in $ f(\color{green}{\textbf{...}})=\color{blue}{\textbf{...}} $ ein: die unabhängige Variable kommt in die Klammer, die abhängige Variable kommt nach dem =.
• Für den Befehl Löse(Liste von Gleichungen, Liste von Variablen) brauchst du Listen. Diese gibt man mit { ... } ein.
• Damit du die Gleichung der vorhergegangenen Zeilen nicht nochmals tippen musst, kannst du auf diese Zeile mit dem $-Zeichen ''' verweisen.

'''Übungsbeispiel:''' leicht

Stelle die Funktionsgleichung der linearen Funktion $f$ auf, deren Graph durch die Punkte $(1|5)$ und $(3,5|10)$ geht.

'''Lösung:'''

$f(x)=2\cdot x+3 $
[[Datei:Lernpfad1 Ü1.png|links|500px|Funktionsgleichung mit Hilfe GeoGebra CAS einfach aufstellen.]]

== Funktionsgleichung einer Exponentialfunktion aufstellen == {| class="wikitable" style="color: green;" |- | $x\color{red}{=}$ |} = Exponentielle Abnahme = ==Exponentielle Abnahme $N(t)=N_0\cdot a^t$ oder $N(t)=N_0\cdot e^{-\lambda\cdot t}$ == '''Definition:''' Von einer exponentiellen Abnahme spricht man, wenn sich eine Größe in gleichbleibenden Zeitintervallen immer '''um den gleichen Faktor verkleinert'''. [[Datei:Exp abnahme.png|thumb|300px|right|Graph einer exponentiellen Abnahme]] {| border="1" align="center" |- | UNIQe8136892b6456880-MathJax-41-QINU | UNIQe8136892b6456880-MathJax-42-QINU |- | $a<1 ...$ ist der Abnahmefaktor und gibt an, mit welchem Faktor sich die Population pro Zeiteinheit verringert. Da die Population abnimmt, muss $0<a<1$ sein (siehe [[Exponentialfunktionen(3.5.) | Exponentialfunktionen]]) Beispiel: {| | $a=0.64$ |$\rightarrow $ | die Population verringert sich um den Faktor $0.64$ | $\rightarrow $ | die Population verringert sich pro Zeiteinheit um $1-0.64=0.36=36 \%$ |} | $-\lambda<0 ...$ ist die Abnahmerate Es gilt: $a=e^{-\lambda} $ |}

=== Halbwertszeit === Eine besondere Eigenschaft der exponentiellen Abnahme ist, dass die Zeit für eine Halbierung der Anfangsgröße, immer gleich groß ist (vgl. Verdoppelungszeit beim exponentiellen Wachstum). Aus diesem Grund definiert man die: {| border ="1" |

'''Definition: Halbwertszeit $\tau $'''

| Die Halbwertszeit $\tau$ ist die Zeit, in der sich eine Größe halbiert hat. Insbesondere gilt: UNIQe8136892b6456880-MathJax-43-QINU UNIQe8136892b6456880-MathJax-44-QINU |}

'''Musterbeispiel:'''

Von einer bestimmten Menge eines radioaktiven Elements zerfallen stündlich $4 \%$. * a) Stellen Sie das Zerfallsgesetz in der Form $N(t)=N_0\cdot a^t$ auf. * b) Bestimmen Sie die Halbwertszeit. * c) Bestimmen Sie zusätzlich noch das Zerfallsgesetz in der Form $N(t)=N_0\cdot e^{-\lambda \cdot t}$ * d) Nach wie vielen Stunden ist nur noch $1 \%$ der Anfangsmenge vorhanden?

'''Lösung:'''

a) $a=0.96 \rightarrow $ Somit lautet das Zerfallsgesetz: UNIQe8136892b6456880-MathJax-45-QINU b) Bei der Halbwertszeit gilt, dass $N(t)=\frac{N_0}{2}$ ist. Setzt man dies in das Zerfallsgesetz ein, erhält man: UNIQe8136892b6456880-MathJax-46-QINU UNIQe8136892b6456880-MathJax-47-QINU UNIQe8136892b6456880-MathJax-48-QINU UNIQe8136892b6456880-MathJax-49-QINU UNIQe8136892b6456880-MathJax-50-QINU UNIQe8136892b6456880-MathJax-51-QINU A: Die Halbwertszeit beträgt ca. $17$ Stunden. c) Hier müssen wir nur das $\lambda$ berechnen. Es gilt $a=e^{-\lambda}$. Dadurch kann $\lambda$ bestimmt werden: UNIQe8136892b6456880-MathJax-52-QINU UNIQe8136892b6456880-MathJax-53-QINU UNIQe8136892b6456880-MathJax-54-QINU UNIQe8136892b6456880-MathJax-55-QINU Somit lautet das Zerfallsgesetz in der $e^{-\lambda}$-Form: UNIQe8136892b6456880-MathJax-56-QINU d) Gefragt ist, wann UNIQe8136892b6456880-MathJax-57-QINU ist. Formulieren wir dies noch "mathematischer", so erhalten wir: UNIQe8136892b6456880-MathJax-58-QINU Setzen wir dies in das Zerfallsgesetz aus a) oder c) ein (es ist hier völlig egal, welche Formel man nimmt), so erhält man: UNIQe8136892b6456880-MathJax-59-QINU UNIQe8136892b6456880-MathJax-60-QINU UNIQe8136892b6456880-MathJax-61-QINU UNIQe8136892b6456880-MathJax-62-QINU UNIQe8136892b6456880-MathJax-63-QINU UNIQe8136892b6456880-MathJax-64-QINU A: Erst nach etwas mehr als $112$ Stunden sind $99 \%$ der Anfangsmenge zerfallen.

{| border ="1" |

'''Merke: $\ \ \ \ \ \ $ '''

| * Die Halbwertszeit wird berechnet, indem man für UNIQe8136892b6456880-MathJax-65-QINU einsetzt. * Die Halbwertszeit ist unabhängig vom Anfangswert $N_0$. | |[[Datei:Halbierungszeit1.png|thumb|right|600px| Wartet man die Halbwertszeit $\tau$ ab, so halbiert sich der Anfangswert, unabhängig davon wie groß dieser ist.]] |}

=== Übungsaufgaben === Weitere [https://www1.vobs.at/maturawiki/images/2/2c/Bspe_zur_exp_Abnahme.pdf Übungsaufgaben (klicke hier)] und die dazugehörenden [https://www1.vobs.at/maturawiki/images/b/b1/Bspe_zur_exp_Abnahme_-_L%C3%B6sungen.pdf Lösungen (klicke hier)].

{| align="right" |

UNIQe8136892b6456880-MathJax-12-QINU nächste Seite ...

|} = Matura-Aufgaben = == Vermischte Beispiele == * [https://www1.vobs.at/maturawiki/images/9/9b/Aufgaben_zu_den_verschiedenen_Wachstumsmodellen_%28exp-log-beschr%29.pdf Aufgaben zu den verschiedenen Wachstumsmodellen] (Lösungen enthalten) * [https://www1.vobs.at/maturawiki/images/e/e2/Aufgaben_-_St-Riedmann_-_Angabe.pdf Weitere Aufgaben (S. Riedmann)] :: ... und [https://www1.vobs.at/maturawiki/images/3/38/Aufgaben_-_St-Riedmann_-_L%C3%B6sungen.pdf hier die Lösungen] * [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | $Bifie$ ]]: [https://www.mathago.at/wp-content/uploads/2019/06/A_019.pdf Schiunfälle] (bifie-Aufgabe: leicht) :: siehe auch [[Beschreibende Statistik]] * [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | $Bifie$ ]]: [http://www.mathestunde.at/pool/pdf/Neuronen_der_Gro%C3%9Fhirnrinde-190130.pdf Neuronen in der Großhirnrinde] (bifie-Aufgabe: leicht) * [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | $Bifie$ ]]: [http://aufgabenpool.srdp.at/bhs/download.php?qid=220&file=PKW-Bestand.pdf PKW-Bestand] (leicht) * [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | $Bifie$ ]]: [http://aufgabenpool.srdp.at/bhs/download.php?qid=178&file=Alkoholspiegel.pdf Alkoholspiegel] (leicht-leicht-mittel-mittel) * [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | $Bifie$ ]]: [http://aufgabenpool.srdp.at/bhs/download.php?qid=203&file=Wirksame_Substanz_eines_Medikamentes.pdf Wirkame Substanz eines Medikamentes] (bifie-Aufgabe: mittel) * [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | $Bifie$ ]]: [https://aufgabenpool.srdp.at/bhs/download.php?qid=218&file=Tauchen_(1).pdf Tauchen] (bifie-Aufgabe) : Siehe auch: [[Rechnen mit Termen(2.1.)#Terme und Gleichungen aufstellen | Gleichungen aufstellen]] und [[Äquivalenzumformungen]] * [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | $Bifie$ ]]: [http://aufgabenpool.srdp.at/bhs/download.php?qid=14&file=Taschengeld.pdf Taschengeld] (bifie-Aufgabe) * [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | $Bifie$ ]]: [https://aufgabenpool.srdp.at/bhs/download.php?qid=15&file=Luftdruck_(1).pdf Luftdruck1] (bifie-Aufgabe) * [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | $Bifie$ ]]: [http://www.mathestunde.at/pool/pdf/Bevoelkerung-130212.pdf Bevölkerung] (bifie-Aufgabe) * [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | $Bifie$ ]]: [http://www.mathestunde.at/pool/pdf/Holzbestand_und_Waldflaeche-150306.pdf Holzbestand und Waldfläche] (bifie-Aufgabe) * [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | $Bifie$ ]]: [http://aufgabenpool.srdp.at/bhs/download.php?qid=21&file=Hefeteig.pdf Hefeteig] (bifie-Aufgabe) *: siehe auch [[Lineare Funktionen]] * [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | $Bifie$ ]]: [http://aufgabenpool.srdp.at/bhs/download.php?qid=19&file=Altersbestimmung.pdf Altersbestimmung] (bifie-Aufgabe) * [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | $Bifie$ ]]: [http://aufgabenpool.srdp.at/bhs/download.php?qid=24&file=Kleintransporte.pdf Kleintransporter] (bifie-Aufgabe) * [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | $Bifie$ ]]: [http://aufgabenpool.srdp.at/bhs/download.php?qid=159&file=Radausflug.pdf Radausflug] (bifie-Aufgabe:mittel-mittel-mittel-leicht) : Siehe auch : * [[Beschreibende Statistik]] : * [[Trigonometrie (2.12 und 3.10) | Trigonometrie]] * [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | $Bifie$ ]]: Bevölkerungswachstum in den USA (leicht-leicht-mittel)

Siehe für Aufgabe b) und c) auch Differenzen- und Differentialquotient

Schulformspezifische Kompetenzen: W1 (HLFS/HUM) und W2 (HAK)

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Schulformspezifische Kompetenzen: W1 (HLFS/HUM) und W2 (HAK)

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Schulformspezifische Kompetenzen: W1 (HLFS/HUM) und W2 (HAK)

Eigenständige Suche im Aufgabenpool

Öffne die Seite des Aufgabenpools - Angewandte Mathematik (BHS-BRP).

Mit dem Deskriptor B_W_3.5 kannst du ganz leicht selbst alle Aufgaben der Zentralmatura einsehen, bei denen es um Modelle für die Beschreibung von Änderungsprozessen (insb. beschränkte und logistische Modelle) geht. Dabei muss man u.a. Funktionsgleichungen aufstellen bzw. Parameter berechnen, mit der Funktionsgleichung Berechnungen durchführen und sie grafisch darstellen, Ergebnisse interpretieren oder im Kontext argumentieren.

Zudem kannst du mit dem Schlagwort Exponentialgleichungen nach weiteren Aufgaben suchen, bei denen eine Funktion von beschränkten sowie logistische Modelle verwendet wird. Dabei wird aber lediglich mit Technologieeinsatz (z.B. GeoGebra) gerechnet und der Art der Funktion spielt weniger eine Rolle. Achte darauf, dass du beim Aufgabentyp nur "Prüfungsaufgabe*", "Typ-A", "Typ-B (W1 HLFS/HUM)" und "Typ-B (W2 HAK)" aktiviert hast.

Spezifische Aufgaben

Du kannst auch den Titel der Aufgabe im Aufgabenpool im Feld Volltext-/ ID-Suche eingeben. Damit kommst du zum PDF der gesamten Aufgabe sowie zum Erklärvideo.

• Videoplattform* a) :
  Parameter der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums berechnen und damit eine Berechnung durchführen
• Videoplattform* b2)
  mit der Funktionsgleichung eines logistischen Wachstums eine Berechnung durchführen
• Videoplattform* c)
  Eigenschaften der Funktionsgleichung eines beschränkten Zerfalls hinsichtlich des Graphen kennen
• Schilf* c)
  Eigenschaften der Funktionsgleichung eines logistischen Wachstums kennen
• Kraftfahrzeug-Bestand* b)
  mit der Funktionsgleichung eines logistischen Wachstums eine Berechnung durchführen und Eigenschaften der Funktionsgleichung kennen
• Online-Shopping* b1)
  Parameter der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums berechnen
• Trinkflaschen* c2)
  mit der Funktionsgleichung eines beschränkten Zerfalls eine Berechnung durchführen
• Küchengerät a1)+a2)
  mathematisch argumentieren und Parameter der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums berechnen
• Thermometer* b)
  Parameter der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums berechnen
• Öffentlicher Verkehr in Wien* b)
  mathematisch erklären/Berechnung durchführen, Parameter der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums berechnen, Parameter im Kontext interpretieren
• Pilze* b)
  mit der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums eine Berechnung durchführen
• Grafikkarte* b)
  mit der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums eine Berechnung durchführen
• Thermosflasche* b)
  Eigenschaften der Funktionsgleichung eines beschränkten Zerfalls kennen kennen und Parameter der Funktionsgleichung eines beschränkten Zerfalls berechnen
• Speiseeis (2)* b)
  mit der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums Berechnungen durchführen