Funktionen in mehreren Unbekannten

Funktionen in mehreren Unbekannten

Funktionen in mehreren Variablen

In der Schule treten meistens Funktionen auf, die nur von einer unabhängigen Variablen abhängen. Wie wir in Abschnitt Funktionen gesehen haben, ist eine Funktion eine eindeutige Zuordnung, die jedem Element der Definitionsmenge genau ein Element der Wertemenge zuordnet. Die Elemente der Definitions- und Wertemenge sind üblicherweise reelle Zahlen.

Betrachtet man jedoch Formeln, die auch als Funktionen interpretiert werden können, treten oft mehrere Variablen auf. Unter anderem deshalb ist es notwendig, den Funktionsbegriff für Funktionen mit zwei und mehr (unabhängigen) Variablen zu erweitern. Die Elemente der Definitionsmenge sind dann Zahlenpaare, Zahlentripel oder allgemein $n$-Tupel, die Wertemenge hingegen bleibt $1$-dimensional ($\mathbb{R}$).

Beispiel 1:
Der Flächeninhalt eines Rechtecks ist von den beiden Seitenlängen $x$ und $y$ abhängig:
\begin{align} A(x,y)=x\cdot y \end{align} $x$ und $y$ sind Elemente der Definitionsmenge. Das Ergebnis von $x \cdot y$ ist ein Wert in der Wertemenge. $A$ ist die Funktion, die den beiden Seitenlängen $x$ und $y$ den Flächeninhalt des Rechteckes zuordnet.

Beispiel 2:
Das Volumen eines Zylinders ist vom Radius $r$ und der Höhe $h$ abhängig: \begin{align} V(r,h)=r^2\cdot \pi \cdot h \end{align}

Beispiel 3:
Das Volumen eines Quaders ist von den Seitenlängen $a,b$ und $c$ abhängig: \begin{align} V(a,b,c)=a\cdot b\cdot c \end{align} Für Funktionen mit zwei (unabhängigen) Variablen (wie im Beispiel 1 und 2) erhalten wir die einfachste Verallgemeinerung des Funktionsbegriffs:

Definition

Sei $D$ eine Menge von reellen Zahlenpaaren $(x,y)$. Wird jedem Zahlenpaar $(x,y)\in D$ genau eine reelle Zahl $z$ durch eine bestimmte Funktionsvorschrift $f$ mit $z=f(x,y)$ zugeordnet, dann heißt $f$ eine reelle Funktion von den beiden Variablen $x$ und $y$: \begin{align} f:D\rightarrow \mathbb{R} \text{ mit } D\subseteq \mathbb{R}^2 \\ (x,y)\mapsto z=f(x,y) \end{align}

Deutet man $x$ und $y$ als Koordinaten der $xy$-Ebene, dann stellt jedes Paar $(x,y)$ einen Punkt in dieser Ebene dar. Aufgrund der Funktionsgleichung $z=f(x,y)$ ist jedem Punkt $(x,y)$ genau ein Wert $z$ zugeordnet. Fasst man $z$ als dritte Koordinate im dreidimensionalen Raum $\mathbb{R}^3$ auf, so erhält man als Funktionsgraphen eine Fläche im Raum.

Graphen von Funktionen von mehr als zwei Variablen können nicht mehr geschlossen gezeichnet werden, sprich eine geometrische Interpretation ist nicht mehr möglich.

Funktionen beschreiben Abhängigkeiten

Funktionen beschreiben Abhängigkeiten zwischen Größen.

Wenn eine Größe wie der Flächeninhalt $A$ eines Kreises von einer anderen Größe wie dem Radius $r$ abhängt, so kann diese Abhängigkeit durch eine Funktion beschrieben werden. Im Beispiel gilt:

\begin{align} A(r)=r^2\cdot \pi \end{align}

Der Flächeninhalt $A$ hängt also vom Radius $r$ ab und variiert mit der Größe des Radius. Um eine solche Abhängigkeit zu kennzeichnen, ist eine eigene Schreibweise eingeführt worden, wir schreiben $A(r)$ (gesprochen „$A$ von $r$“). Die Zahl $\pi$ hingegen ist eine „feste“ Zahl und somit eine Konstante.

Die Masse eines Drehzylinders in Abhängigkeit von seinen Abmessungen $r$ und $h$ und seiner Dichte $\rho$ kann durch die Funktion $M$ mit $M(r,g,\rho)=\pi \cdot r^2\cdot h\cdot \rho$ beschrieben werden.

Ein aus Fichtenholz geschnitzter Drehzylinder hat den Durchmesser $d = 8 cm$ und die Höhe $h = 6 dm$. Die Dichte von Fichtenholz beträgt ca. $0,5 g/cm^3$. Geben Sie die Masse des in der Angabe beschriebenen Drehzylinders in Kilogramm an.

Lösung: Zunächst muss die Höhe $h$ ebenfalls in Zentimeter umgerechnet werden: $h =6 dm = 60 cm$

Den Radius $r$ erhält man durch Halbieren des Durchmessers: $r=d/2=8 cm/2=4 cm$

Anschließend können $r,h$ und $\rho$ in die Funktionsgleichung eingesetzt werden: \begin{align} M(r,h,\rho)=\pi \cdot (4 cm)^2\cdot 60 cm\cdot 0,5 g/cm^3\approx 1508 g\approx 1,5 kg \end{align}

Abhängigkeiten spielen u. a. bei der Ermittlung des jeweiligen Funktionstyps oder dem Nachweis von Proportionalitäten eine entscheidende Rolle.

So handelt es sich bei der Funktion $V$ mit $V(r)=r^2\cdot \pi \cdot h$ (d. h. $r$ ist hier die Variable) um eine quadratische Funktion, da $V$ nur von $r$ abhängig ist, während die Zahlen $\pi$ und $h$ als konstant anzusehen sind.
Ändert man jedoch die Abhängigkeit der Funktion $V$ zu $V(h)=r^2 \pi h$, so sind $\pi$ und $r$ als konstante Größen anzunehmen. Infolgedessen handelt es sich um einen linearen Funktionstypen.

Jeder bewegte Körper besitzt kinetische Energie $E_{kin}$ (Bewegungsenergie). Sie ist von der Masse $m$ und der Geschwindigkeit $v$ des bewegten Körpers abhängig und berechnet sich durch die Formel $E_{kin}=\frac{1}{2} \cdot m v^2$.

Kreuzen Sie die beiden richtigen Aussagen an, wenn die jeweils nicht verwendete Variable als konstant angenommen wird.

Die 1. Aussage und die 4. Aussage sind korrekt.

Aussage	richtig
$E_{kin}(m)$ ist eine lineare Funktion.	$\quad \square$
$v(m)$ ist eine lineare Funktion.	$\quad \square$
$E_{kin}(m)$ ist eine quadratische Funktion.	$\quad \square$
$E_{kin}(v)$ist eine quadratische Funktion.	$\quad \square$
$m(v)$ ist eine quadratische Funktion.	$\quad \square$

Gegeben ist die Formel $r=\frac{2s^2 t}{u}$ für $s,t,u>0$.
Wenn $u$ und $s$ konstant sind, dann kann $r$ als eine Funktion in Abhängigkeit von $t$ betrachtet werden. Welchem Funktionstyp ist dann $r$ zuzuordnen?

Kreuzen Sie den zutreffenden Funktionstyp an.

Die 1. Aussage ist korrekt. Insbesondere handelt es sich um eine direkte Proportionalitätsfunktion.

Aussage	richtig
Lineare Funktion	$\quad \square$
Konstante Funktion	$\quad \square$
Quadratische Funktion	$\quad \square$
Wurzelfunktion	$\quad \square$
Gebrochen rationale Funktion	$\quad \square$
Exponentialfunktion	$\quad \square$