Kosten- und Preistheorie

Kosten- und Preistheorie > Spezial:Linkliste > Kosten- und Preistheorie > Umkehraufgaben > Kosten- und Preistheorie

Preisfunktion der Nachfrage

Definition

Die Preisfunktion der Nachfrage, auch "Nachfragefunktion" oder "Preis-Absatz-Funktion" genannt, gibt den Preis p in Anhängigkeit der produzierten Menge x an.

Merke

$ $ Der Höchstpreis $p_h$ ist jener Preis, zu dem gerade kein Stück mehr verkauft werden kann. Es gilt: $$p_h=p(0)$$ Die Sättigungsmenge $x_S$ ist jene menge, bei dem der Markt gesättigt ist und damit nicht mehr mehr verkauft werden kann. Hier gilt: $$p(x_S)=0$$ Höchstpreis und Sättigungsmenge können mithilfe der Schnittpunkte bei den Achsen bestimmt werden.

Bild

Eine Firma kann von ihrem Produkt 5 Mengeneinheiten verkaufen, wenn sie den Preis auf € 3,75 pro Stück festlegt. Senkt sie den Preis auf € 2,50 pro Stück, so kann sie 10 Mengeneinheiten des Produktes verkaufen.

• Modellieren sie die lineare Preisfunktion.
• Ermitteln Sie daraus den Höchstpreis und die Sättigungsmenge.

* Zuerst stellen wir die lineare Preisfunktion der Form $p(x)=k\cdot x+d$ auf, wobei $x$ die Mengeneinheiten und $p(x)$ den Preis pro Stück angibt.

1. Variante: Wir setzen die Punkte $(5\vert 3.75)$ und $(10\vert 2.50)$ die Funktionsgleichung ein und berechnen k und d, indem wir das Gleichungssystem (hierbei eignet sich z.B. das Additionsverfahren) lösen: $$p(x)=k\cdot x+d$$

1. Punkt: $I:\ \ 3.75= k\cdot 5+d$

2. Punkt: $\underline{II:2.50=k\cdot 10+d\ \ "-"}$

$$1.25=-5\dot k\ \ \ \rightarrow k=-0.25 \rightarrow d=5$$ Somit erhalten wir die Preisfunktion p mit $$p(x)=-0.25x+5$$

Graphik mit den Punkten (weiter oben einfügen

2. Variante: Da es sich um eine lineare Funktion handelt, kann k auch mithilfe dem Steigungsdreieck der Punkte $(5\vert 3.75)$ und $(10\vert 2.50)$ ermittelt werden: $$k=\frac{\Delta y}{Delta x}=\frac{Höhenunterschied}{Längenunterschied}=\frac{2.50-3.75}{10-5}=-0.25$$ Somit ist $k=-0.25$. Um das d nun noch zu berechnen, setzt man einen der beiden Punkte und k in die Funktionsgleichung ein: Punkt $(5\vert 3.75)$ und $k=-0.25$ in $p(x)=k\cdot x+d$ eingesetzt ergeben: $$3.75=-0.25\cdot 5+d\rightarrow 3.75+1.25=d \rightarrow d=5$$ Somit erhalten wir: $$p(x)=-0.25\cdot x+5$$

Graphik mit den Steigungsdreiecken

• Nun bestimmen wir mit der Preisfunktion den Höchstpreis und die Sättigungsmenge:

Höchstpreis: $p(0)=d=5$. Der Höchstpreis beträgt 5 Euro pro Mengeneinheit.

Sättigungsmenge: $p(x)=0$

$$0=-0.25x+5$$ $$-5=-0.25x$$ $$x=20$$

Die Sättigungsmenge beträgt somit 20 Mengeneinheiten.

Graphik der Preisfunktion einfügen

Erlösfunktion

Allgemein

Definition

Der Gesamterlös E (auch Umsatz genannt) ergibt sich aus dem Produkt der verkauften Menge und dem dezugehörigen Preis: $$E(x)=x\cdot p(x)$$

Gegeben ist die Preisfunktion p mit $p(x)=-0.25x+5$

• Stellen Sie die dazugehörige Erlösfunktion auf.
• Bestimmen Sie die sogenannten Erlösgrenzen, dies sind die Nullstellen der Erlösfunktion.
• Berechnen Sie den maximalen Erlös.

* Die Erlösfunktion erhalten wir mit:

$$E(x)=x\cdot p(x)$$ $$E(x)=x\cdot (-0.25x+5$$ $$E(x)=-0.25x^2+5x$$

Bild der Erlösfunktion.

• Die Nullstellen ermitteln wir, indem wir die Erlösfunktion nullsetzen:

$$0=E(x)$$ $$0=-0.25x^2+5x$$ Durch herausheben von x, Quadkom oder den Löse-Befehl erhalten wir $x_1=0$ und $x_2=20$.

• Nun bestimmen wir den maximalen Erlös:

1. Variante: Mithilfe der Eigenschaften einer quadratischen Funktion Die Erlösfunktion E mit $E(x)=-0.25x^2+5x$ ist eine quadratische Funktion mit 2 Nullstellen. Wie jede quadratische Funktion hat sie aufgrund ihrer Symmetrie ihren Scheitelpunkt (Extremstelle) genau zwischen den beiden Nullstellen. $$x_{max}=\frac{0+20}{2}=10$$ Das Erlösmaximum befindet sich somit bei x=10 Mengeneinheiten. Der Erlös beträgt $E(10)=25$ Geldeinheiten.

2. Variante: Mithilfe des Maximum-Befehls (siehe Ti-Taschenrechner bzw. GeoGebra. Das Ergebnis siehst du in der rechten Abbildung

Bild

3. Variante: Mithilfe der Differentialrechnung. Für ein Maximum muss gelten, dass $f'(x)=0$ und $f''(x)<0$ ist: $$E'(x)=-0.5x+5$$ $$0=-0.5x+5\ \ \ \rightarrow x=10$$ Und nun zur 2. Ableitung: $$E''(x)=-0.5$$ $$ E''(10)=-0.5<0 \ \ \ \rightarrow HP$$ Somit befindet sich bei $x=10$ ein Hochpunkt und der Erlös an dieser Stelle beträgt $E(10)=25$

Grenzerlös

Definition

Der $$Grenzerlös bei x =E'(x)$$ gibt die (ungefähre) Steigung des Erlöses an, wenn eine weitere Mengeneinheit produziert wird.

Bild mit Tangente und Steigungsdreieck

{{Vorlage:Beispiel|1=

• Bestimmen Sie den Grenzerlös der Erlösfunktion E mit $E(x)=-0.25x^2+5x$ bei einer Menge von $x=5$.
• Interpretieren Sie das Ergebnis.

|2= $$E'(x)=-0.5x+5$$ $$E'(5)=-0.5\cdot 5+5$$ $$E'(5)=2.5 \textrm{€ pro Mengeneinheit}$$ Produziert man statt 5 Mengeneinheiten noch eine zusätzliche 6., so steigt der Erlös (ungefähr) um 2.5 €.

Hinweis: Das "ungefähr" wird deshalb verwendet, da die Tangente die Erlösfunktion nur bei $x=5$ berührt und somit bei $x=6$ ein leicht zu großer Wert herauskommt.

Gif wo das erklärt wird

Kostenfunktion

Definition und Aufbau der Kostenfunktion

Definition

Variable Kosten Fixkosten Grenzkosten

Ertragsgesetzliche Kostenfkt

Gewinnfunktion

Allgemein

Definition Gewinnbereich, Break-even-Point, Gewinngrenzen Gewinnmaximum