Quadratische Funktionen
| Definition: |
Die Funktionsgleichung einer quadratischen Funktion (auch Polynomfunktion 2. Grades genannt) lautet $$ y=a\cdot x^2+b\cdot x+c$$
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Hinweis:
- !Wichtig! Der Graph einer quadratischen Funktion ist IMMER eine Parabel und damit $\cup$- oder $\cap$-förmig (siehe Abbildungen rechts).
- Quadratische Funktionen haben immer genau einen Hoch- oder Tiefpunkt. Diesen nennt man Scheitelpunkt (oder Scheitel)
- Die Gleichung $ y=a\cdot x^2+b\cdot x+c$ wird als Normalform bezeichnet (sozusagen: im Normalfall ist die Funktion in dieser Form gegeben).
- Neben der Normalform gibt es auch noch die Scheitelpunktform $y=a\cdot (x-w)^2+s$
Inhaltsverzeichnis
Graph, Parameter und Eigenschaften
$Aha!$ $\ $ Schau dir dieses Arbeitsblatt an und beantworte die darin angeführten Fragen.
Gegeben sei eine quadratische Funktion der Form $$f(x)= a\cdot x^2+b\cdot x+c$$
Dann haben die Parameter $a,\ b$ und $c$ folgende Auswirkungen auf den Graphen der quadratischen Funktion:
$a$ gibt an, wie stark der Graph steigt oder fällt
- Ist $a>0$, so ist die Parabel nach oben offen.
- Ist $a<0$, so ist die Parabel nach unten offen.
- Je größer $|a|$ ist, desto steiler ist der Graph.
- $a$ kann abgelesen werden, indem man vom Scheitelpunkt aus eins nach rechts und dann senkrecht zum Graphen geht.
$b$ verschiebt den den Scheitelpunkt entlang einer Kurve nach rechts oder links:
- Ist $b<0$, so liegt der Scheitelpunkt rechts (!) der y-Achse.
- Ist $b>0$, so liegt der Scheitelpunkt links (!) der y-Achse.
!Achtung! Merke dir:
- $b<0\rightarrow$ rechts
- $b>0\rightarrow$ links
Zusatz für Interessierte
Wer dies selbständig beweisen kann, warum dies so ist, dem ist der 1er so gut wie sicher.
$c$ gibt den Schnittpunkt mit der y-Achse an (vgl. das d bei den linearen Funktionen).
- Ist $c>0$, so liegt der Schnittpunkt oberhalb der x-Achse.
- Ist $c=0$, so geht die Parabel durch den Koodrinatenurspruch.
- Ist $c<0$, so schneidet die Parabel die y-Achse unterhalb der x-Achse.
Nullstellen
Die Nullstellen einer quadratischen Funktion sind die Schnittpunkte der Parabel mit der x-Achse.
Je nachdem, wie die Parabel im Koordinatensystem liegt gibt es:
- 2 Nullstellen
- 1 Nullstelle (=Scheitelpunkt liegt auf der x-Achse)
- 0 Nullstellen.
Die Nullstellen einer quadratischen Funktion werden berechnet, indem man $f(x)=0$ setzt und dann die quadratische Gleichung $$f(x)=0$$ löst.
Siehe auch qudratische Gleichungen
Musterbeispiel: Bestimme die Nullstelle der quadratischen Funktion $f(x)=-x^2+6x-5$
Lösung: Zuerst setzen wir die Funktion 0: $$0=-x^2 + 6 \cdot x - 5$$ Nun verwenden wir die große Lösungsformel mit a=-1, b=6 und c=-5 $$ x_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4\cdot a\cdot c}}{2\cdot a}$$
$$x_{1,2}=\frac{-6\pm \sqrt{6^2-4\cdot (-1)\cdot (-5)}}{2\cdot (-1)}$$ $$x_{1,2}=\frac{-6\pm \sqrt{36-20}}{-2}$$ $$ x_1=\frac{-6+4}{-2}=1$$ $$ x_2=\frac{-6-4}{-2}=5$$ Antwort: Der Graph der Funktion schneidet bei $N_1(1|0)$ und $N_2(5|0)$ die x-Achse.
Scheitelpunktform
Neben der Normalform ($f(x)=ax^2+bx+c$) gibt es auch noch die sogenannte Scheitelpunktform der Parabel:
$$\textrm{Scheitelpunktform: } f(x)=a\cdot (x-w)^2+s$$
$a$... gibt die Steigung (genauso wie bei der Normalform) an.
$w$... waagrechte Verschiebung des Scheitelpunktes vom Ursprung
$s$... senkrechte Verschiebung des Scheitelpunktes vom Ursprung
Musteraufgabe: Zeichnen Sie den Graphen der Funktion $f(x)=0.5\cdot (x-2)^2+1$ in ein Koordinatensystem. Wählen Sie dabei einen passenden Maßstab.
Lösung:
- $w=-2$... somit wird die Parabel nach 2 nach rechts verschoben
- $s=1$... somit wird die Parabel um 1 hinauf verschoben
- Der Scheitelpunkt S hat somit die Koordinaten S(2|1).
- $a=0.5$... somit erhält man die Steigung, wenn man 1 nach rechts und 0.5 hinauf geht.
Die Scheitelpunktform hat den Vorteil, dass a) bei gegebener Funktionsgleichung direkt die Koordinaten des Scheitelpunktes bestimmt werden können bzw. b) bei gegebenem Graphen direkt mithilfe des Scheitelpunktes w uns s bestimmt werden können.
Umwandlung von der Scheitelpunktform in die Normalform
Umwandlung von der Normalform in die Scheitelpunktform - quadratisches Ergänzen
$Aha!$ $\ $ In diesem diesem Arbeitsblatt kannst du die Bedeutung der Scheitelpunktform genauer lernen.
? $\ $ Und hier findest du eine Aufgabe zur Scheitelpunktform
Funktionsgleichung bestimmen
Typische Aufgabenstellung:
- Bestimmen Sie die Funktionsgleichung der quadratischen Funktion, wenn mehrere Punkte auf der Parabel (=Graph der quadratischen Funktion) gegeben sind
Lösungsweg: Je nachdem, ob der Scheitelpunkt gegeben ist, gibt es zwei verschiedene Lösungswege:
a) Wenn der Scheitelpunkt gegeben ist verwendet man die Scheitelpunktform und bestimmt anhand der Koordinaten des Scheitelpunktes $w$ und $s$ und anschließend $a$
b) Wenn der Scheitelpunkt nicht gegeben ist, verwendet man die Normalform und stellt mithilfe von 3 Punkten insgesamt 3 Gleichungen auf, indem man die Punkte in die Funktionsgleichung $y=a\cdot x^2+b\cdot x+c$ einsetzt.
Musterbeispiel
| Normalform $y=a\cdot x^2+b\cdot x+c$ | Scheitelpunktform $ y=a\cdot(x-w)^2+s$ |
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Wird verwendet, wenn:
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Wird verwendet, wenn:
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Berechnung der Parameter
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Berechnung der Parameter
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| Typische Aufgabenstellung:
Bestimmen Sie die Funktionsgleichung der abgebildeten Graphen | |
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Da der Scheitelpunkt nicht bekannt ist, setzen wir die drei Punkte in die Normalform $y=a\cdot x^2+b\cdot x+c$ ein:
Daraus ergibt sich das folgende Gleichungssystem: $$I:\ 0\cdot a+0\cdot b+c=3$$ $$II: \ 1\cdot a+1\cdot b+c=1$$ $$III:\ 16\cdot+4\cdot b+c=0$$ Löst man dieses, so erhält man: $a=0.42,\ b=-2.42$ und $c=3$ $$\rightarrow \underline{\underline{y=0.42x^2-2.24x+3}}$$ |
Der Scheitelpunkt hat die Koordinaten $S(2|-1)$. Somit gilt: $w=2$, da der Graph um 2 nach rechts verschoben wurde $s=-1$, da der Graph um 1 hinunter verschoben wurde $$\rightarrow y=a\cdot(x-2)^2-1$$ Um $a$ zu berechnen, setzen wir nun den Punkt (0,3) ein und erhalten: $$3=a\cdot (0-2)^2-1$$ $$3=a\cdot 4-1$$ $$4=4\dot a$$ $$a=1$$ $$\rightarrow \underline{\underline{y=1\cdot(x-2)^2-1}}$$
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