Quadratische Funktionen

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Definition:

Die Funktionsgleichung einer quadratischen Funktion (auch Polynomfunktion 2. Grades genannt) lautet $$ y=a\cdot x^2+b\cdot x+c$$ mit $a,b,c\in$ $\mathbb{R} $ .

Hinweis:

• !Wichtig! Der Graph einer quadratischen Funktion ist IMMER eine Parabel und damit $\cup$- oder $\cap$-förmig (siehe Abbildungen rechts).
• Quadratische Funktionen haben immer genau einen Hoch- oder Tiefpunkt. Diesen nennt man Scheitelpunkt (oder Scheitel)
• Die Gleichung $ y=a\cdot x^2+b\cdot x+c$ wird als Normalform bezeichnet (sozusagen: im Normalfall ist die Funktion in dieser Form gegeben). Neben der Normalform gibt es auch noch die Scheitelpunktform $y=a\cdot (x-w)^2+s$

Graph, Parameter und Eigenschaften

Gegeben sei eine quadratische Funktion der Form $$f(x)= a\cdot x^2+b\cdot x+c$$

Dann haben die Parameter $a,\ b$ und $c$ folgende Auswirkungen auf den Graphen der quadratischen Funktion:

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$a$ gibt an, wie stark der Graph steigt oder fällt

• Ist $a>0$, so ist die Parabel nach oben offen.
• Ist $a<0$, so ist die Parabel nach unten offen.
• Je größer $|a|$ ist, desto steiler ist der Graph.
• $a$ kann abgelesen werden, indem man vom Scheitelpunkt aus eins nach rechts und dann senkrecht zum Graphen geht.

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$b$ verschiebt den den Scheitelpunkt entlang einer Kurve nach rechts oder links:

• Ist $b<0$, so liegt der Scheitelpunkt rechts (!) der y-Achse.
• Ist $b>0$, so liegt der Scheitelpunkt links (!) der y-Achse.

!Achtung! Merke dir:

• $b<0\rightarrow$ rechts
• $b>0\rightarrow$ links

Zusatz für Interessierte

Die Kurve, entlang derer die Parabel verschoben wird, ist die Spiegelung der Parabel parallel zur x-Achse.

Wer dies selbständig beweisen kann, warum dies so ist, dem ist der 1er so gut wie sicher.

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$c$ gibt den Schnittpunkt mit der y-Achse an (vgl. das d bei den linearen Funktionen).

• Ist $c>0$, so liegt der Schnittpunkt oberhalb der x-Achse.
• Ist $c=0$, so geht die Parabel durch den Koodrinatenurspruch.
• Ist $c<0$, so schneidet die Parabel die y-Achse unterhalb der x-Achse.

Arbeitsblatt: Im folgenden Arbeitsblatt kannst du noch einmal alle Parameter verschieben und die Auswirkungen auf den Graphen beobachten.

Nullstellen

Die Nullstellen einer quadratischen Funktion sind die Schnittpunkte der Parabel mit der x-Achse.

Je nachdem, wie die Parabel im Koordinatensystem liegt gibt es:

• 2 Nullstellen
• 1 Nullstelle (=Scheitelpunkt liegt auf der x-Achse)
• 0 Nullstellen.

aufgabe: Gegeben sei die quadratische Funktion $f(x)=a\cdot x^2+c$. Wie müssen die Parameter a und c gewählt werden, damit die Parabel keine Nullstellen hat. 

siehe auch qudratische Gleichungen

Scheitelpunktform

Neben der Normalform ($f(x)=ax^2+bx+c$) gibt es auch noch die sogenannte Scheitelpunktform der Parabel: $$\textrm{Scheitelpunktform: } f(x)=a\cdot (x-w)^2+s$$

$w$... waagrechte Verschiebung des Scheitelpunktes vom Ursprung $s$... senkrechte Verschiebung des Scheitelpunktes vom Ursprung $a$... gibt die Steigung (genauso wie bei der Normalform) an.

Beispiel

Die Scheitelpunktform hat den Vorteil, dass a) bei gegebener Funktionsgleichung direkt die Koordinaten des Scheitelpunktes bestimmt werden können bzw. b) bei gegebenem Graphen direkt mithilfe des Scheitelpunktes w uns s bestimmt werden können.

Umwandlung von der Scheitelpunktform in die Normalform

Umwandlung von der Normalform in die Scheitelpunktform - quadratisches Ergänzen

? Aufgabe zur Scheitelpunktform

Funktionsgleichung bestimmen

Typische Aufgabenstellung:

Bestimmen Sie die Funktionsgleichung der quadratischen Funktion, wenn einige Punkte auf der Parabel (=Graph der quadratischen Funktion) gegeben sind

Lösungsweg: Je nachdem, ob der Scheitelpunkt gegeben ist, gibt es zwei verschiedene Lösungswege:

a) Wenn der Scheitelpunkt gegeben ist verwendet man die Scheitelpunktform und bestimmt anhand der Koordinaten des Scheitelpunktes $w$ und $s$ und anschließend $a$

b) Wenn der Scheitelpunkt nicht gegeben ist, verwendet man die Normalform und stellt mithilfe von 3 Punkten insgesamt 3 Gleichungen auf, indem man die Punkte in die Funktionsgleichung $y=a\cdot x^2+b\cdot x+c$ einsetzt.

Musterbeispiel

Normalform $y=a\cdot x^2+b\cdot x+c$	Scheitelpunktform $ y=a\cdot(x-w)^2+s$
Wird verwendet, wenn: Scheitelpunkt nicht bekannt ist. 3 Punkte auf dem Graphen bekannt sind. Nullstellen berechnet werden müssen.	Wird verwendet, wenn: Scheitelpunkt bekannt oder ablesbar ist.
Berechnung der Parameter Man bestimmt 3 Punkte des Graphen und setzt sie in die Funktionsgleichung. Das daraus entstehende Gleichungssystem wird gelöst.	Berechnung der Parameter w und s können mithilfe des Scheitelpunktes $S=(w,s)$ bestimmt werden. a erhält man, entweder, indem man einen weiteren Punkt aus dem Graphen in die Funktionsgleichung einsetzt oder $a$ aus dem Graphen abliest (eins nach rechts, a hinauf/hinab)
Typische Aufgabenstellung: Bestimmen Sie die Funktionsgleichung:
Graphik Da der Scheitelpunkt nicht bekannt ist, setzen wir die drei Punkte in die Normalform $y=a\cdot x^2+b\cdot x+c$ ein: $$(0,3)\rightarrow \ 3=a\cdot 0^2+b\cdot 0+c$$ $$ (1,1)\rightarrow\ 1=a\cdot 1^2+b\cdot 1+c$$ $$ (4,0)\rightarrow\ 0=a\cdot 4^2+b\cdot 4+c$$ Daraus ergibt sich das folgende Gleichungssystem: $$I:\ 0\cdot a+0\cdot b+c=3$$ $$II: \ 1\cdot a+1\cdot b+c=1$$ $$III:\ 16\cdot+4\cdot b+c=0$$ Löst man dieses, so erhält man: $a=0.42,\ b=-2.42$ und $c=3$ $$\rightarrow y=0.42x^2-2.24x+3$$	$w=2$, da der Graph um 2 nach rechts verschoben wurde $s=-1$, da der Graph um 1 hinunter verschoben wurde $$\rightarrow y=a\cdot(x-2)^2-1$$ Um $a$ zu berechnen, setzen wir nun den Punkt (0,3) ein und erhalten: $$3=a\cdot (0-2)^2-1$$ $$3=a\cdot 4-1$$ $$4=4\dot a$$ $$a=1$$ $$\rightarrow y=1\cdot(x-2)^2-1$$ Hinweis: Dass $a=1$ ist, wäre auch einfacher aus dem Graphen ablesbar gewesen.