Ungleichung: Unterschied zwischen den Versionen
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| $\mathbb{L}=\{x\in \mathbb{R}\vert x\leq -1\}$ | | $\mathbb{L}=\{x\in \mathbb{R}\vert x\leq -1\}$ | ||
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Version vom 12. Januar 2019, 12:35 Uhr
Inhaltsverzeichnis
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Im Gegensatz zu einer Gleichung hat eine Ungleichung anstelle eines $=$ eines der folgenden $4$ Ungleichheitszeichen: $<$... (eindeutig) kleiner |
Beispiele:
- $5<3$
- $2x+3 \geq 11$
Angabe der Lösungsmenge
Die Lösungsmenge von Ungleichungen können wir auf drei verschiedene Arten angeben:
Graphisch am Zahlenstrahl
Geben wir die Lösungsmenge graphisch an, so markieren wir all jene Werte, die die Ungleichung erfüllen, auf dem Zahlenstrahl.
Geben Sie die Lösungsmenge der folgenden Ungleichung graphisch an.
a) $x<2$
b) $x\geq -2.5$
c) $-2.5\leq x<2$
| $x<2$ | $x\geq -2.5$ | $-2.5\leq x <2$ |
|---|---|---|
| Alle Zahlen kleiner als $2$ sind eine Lösung für $x$. Die Zahl zwei gehört gerade nicht mehr zur Lösung. Aus diesem Grund zeichnen wir bei $2$ einen offenen Kreis ein. | Alle Zahlen größer gleich $-2.5$ gehören zur Lösung. Da $-2.5$ zur Lösung gehört, malen wir hier einen vollen (geschlossenen) Punkt. | Die Lösungsmenge befindet sich zwischen $-2.5$ und $2$. Da $-2.5$ zur Lösung gehört, zeichnen wir hier einen geschlossenen Punkt. Dagegen gehört $2$ wegen dem $<$ nicht mehr zur Lösung, weshalb wir hier einen offenen Punkt einzeichnen. |
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$\\ $
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Intervallschreibweise
|
Wir unterscheiden zwischen $3$ Arten von Intervallen:
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Geben Sie die Lösungsmenge der folgenden Ungleichung als Intervall an.
a) $x<2$
b) $x\geq -2.5$
c) $-2.5\leq x<2$
in Worten: alle Zahlen zwischen $-\infty$ und $2$, wobei $2$ nicht mehr zur Lösung gehört.
b) $x\geq -2.5\rightarrow$ Intervall: $ [-2.5;\infty)$
c) $-2.5\leq x<2 \rightarrow$ Intervall: $ [-2.5;2)$
in Worten: alle Zahlen zwischen $-2.5$ und $2$, wobei die Grenze $2$ nicht zur Lösung gehört.
Mengenschreibweise
Die Mengenschreibweise ist die einfachste Darstellung der Lösungsmenge, da sie nur die Grundmenge und die (vereinfachte) Ungleichung angibt, wie an folgenden Musterbeispielen leicht zu erkennen ist:
Geben Sie die Lösungsmenge der folgenden Ungleichung in der Mengenschreibweise an.
a) $x<2$
b) $x\geq -2.5$
c) $-2.5\leq x<2$
in Worten: "die Lösungsmenge beinhaltet alle reellen Zahlen $x$, die kleiner als $2$ sind."
b) $x\geq -2.5\rightarrow$ Lösungsmenge: $ \mathbb{L}=\{x\in \mathbb{R}\vert x\geq -2.5\} $
c) $-2.5\leq x<2 \rightarrow$ Lösungsmenge: $\mathbb{L}=\{x\in \mathbb{R}\vert -2.5\leq x<2\}$
in Worten: "die Lösungsmenge beinhaltet alle reellen Zahlen $x$, die größer gleich $-2.5$ und kleiner als $2$ sind."
Lösung von Ungleichungen mit einer Variable
Eine lineare Ungleichung löst man ähnlich wie eine Gleichung mithilfe von Umformungen:
Löse die Ungleichung $3x+1<7$ über der Grundmenge der reellen Zahlen $\mathbb{R}$.
$$3x+1<7 \ \ \vert -1$$ $$3x<6 \ \ \vert :3$$ $$x<2$$
| graphisch | Intervall | Mengenschreibweise | ||
|---|---|---|---|---|
| $\ ( -\infty ;2)\$ oder $]-\infty ;2[$
|
$\mathbb{L}=\{x\in \mathbb{R}\vert x<2\}$
|}
{| border ="1" cellpadding="10"
|
{|
!| '''Merke'''
|-
| [[Datei:Rotes rufezeichen.png|center]]
|}
|Der wichtigste Unterschied beim Umformen zwischen Gleichung und Ungleichung:
Wird eine Ungleichung mit einer '''negativen Zahl multipliziert oder dividiert''', so ändert sich die Richtung des Ungleichungszeichens!
|}
'''Hinweis!'''
[[Datei:Bsp.png|left]]
'''Beweisidee:'''
Nehmen wir die Ungleichung
UNIQce51ff2b0d8499d0-MathJax-4-QINU
und multiplizieren wir links und rechts mit $(-1)$:
UNIQce51ff2b0d8499d0-MathJax-5-QINU
UNIQce51ff2b0d8499d0-MathJax-6-QINU
Damit die Ungleichung immer noch stimmt, muss man nun das Ungleichungszeichen ändern, weil $-3$ größer ist als $-5$
(schau dir das am Zahlenstrahl an!)
UNIQce51ff2b0d8499d0-MathJax-7-QINU
Somit hat sich das Ungleichungszeichen umgedreht!
Bestimme die Lösungsmenge der Ungleichung
UNIQce51ff2b0d8499d0-MathJax-8-QINU über der Grundmenge der [[Zahlenmengen#die_reellen_Zahlen_.24.5Cmathbb.7BR.7D.24|reellen Zahlen $\mathbb{R}$]].
UNIQce51ff2b0d8499d0-MathJax-9-QINU
Zuerst lösen wir den Bruch auf, indem wir mit $(-2)$ multiplizieren:
UNIQce51ff2b0d8499d0-MathJax-10-QINU
UNIQce51ff2b0d8499d0-MathJax-11-QINU
Beachte, dass sich das Ungleichungszeichen gedreht hat!
Nun bringen wir alle $x$ auf eine Seite:
UNIQce51ff2b0d8499d0-MathJax-12-QINU
UNIQce51ff2b0d8499d0-MathJax-13-QINU
[[Grundmenge, Definitionsmenge, Lösungsmenge|Lösungsmenge]]:
{| border=1
!graphisch !!Intervall !!Mengenschreibweise
|-
| [[Datei:Bspx -1.png|thumb|graphische Darstellung der Lösung für $x\leq -1$]]
| $\ (-\infty ;-1]\$ oder $]-\infty;1]$
| $\mathbb{L}=\{x\in \mathbb{R}\vert x\leq -1\}$
|}
== Fallunterscheidung bei Multiplikation mit $x$ == kommt bald
Ungleichungssysteme mit einer VariablenTheorie kommt bald Aufgaben
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