Kurvendiskussionen: Unterschied zwischen den Versionen
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$$ x_2=\frac{-6-4}{-2}=5$$ | $$ x_2=\frac{-6-4}{-2}=5$$ | ||
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Version vom 8. Februar 2014, 19:40 Uhr
Inhaltsverzeichnis
Überblick und Einleitung
Beim Thema Kurvendiskussionen geht es darum, Eigenschaften von Funktionen (bzw. Kurven) zu ermitteln. Für die Matura sind die folgenden Eigenschaften wichtig:
- * Nullstellen
- Extremwerte
- Krümmungsverhalten und Wendepunkte
Grundwissen über f(x), f'(x) und f''(x)
Die folgende Tabelle gibt dir an, was mit der Funktion f(x), ihrer 1. Ableitung und ihrer 2. Ableitung berechnet werden kann..
| $f(x)$ | $f'(x)$ | $f''(x)$ | |
|---|---|---|---|
| Gibt an ... | den Funktionswert an der Stelle x | die Steigung von f an der Stelle x | die Krümmung von f an der Stelle x (=Steigung der Steigung) |
| physikalische Interpretation | Entfernung vom Ursprung in einem Zeit-Weg-Diagramm
oder Höhe eines Objektes etc. |
momentane Änderungsrate/Geschwindigkeit an der Stelle x | Beschleunigung an der Stelle x |
| wenn $>0$ | Funktionswert ist positiv und oberhalb der x-Achse | $f'(x)>0 \rightarrow$ Funktion ist monoton steigend. | $f''(x)>0 \rightarrow$ die Funktion ist linksgekrümmt (U-förmig). Die Steigung nimmt zu. |
| wenn $<0$ | Funktionswert ist netagiv und unterhalb der x-Achse | $f '(x)>0 \rightarrow$ Funktion ist monoton fallend. Die Entfernung nimmt ab. | $f''(x)>0 \rightarrow$ die Funktion macht hier eine Rechtskurve (n-förmig)
Die Steigung nimmt ab. |
| wenn $=0$ | Nullstelle | Die Funktion steigt und fällt hier nicht. Möglicherweise befindet sich hier ein Extremum. | Möglicherweise befindet sich hier ein Wendepunkt.
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Nullstelle
| Definition: | Nullstellen sind jene Stellen (=x-Werte), an denen der Graph der Funktion die x-Achse schneidet (hier ist f(x)=0)
Formale Definition: Die Funktion f(x) hat bei $x_1$ eine Nullstelle, wenn gilt: f(x)=0 |
Berechnung von Nullstellen
Um die Nullstellen zu berechnen, müssen alle x berechnet werden, für die gilt, dass f(x)=0 ist. Je nach Funktionstyp von f(x) kann entweder x einfach freigestellt werden oder ein Lösungsverfahren ( große Lösungformel/Quadkom, graphisches Lösungsverfahren im TR, Solve-Befehl) verwendet werden.
Als Richtwert, kanns du dir aber folgende Regel merken:
- Bei linearen Gleichungen 0=kx+d: Nach x umformen.
- Bei quadratischen Gleichungen $0=ax^2+bx+c$: große Lösungformel/Quadkom
- Bei gleichungen mit Grad $\ge 3$: graphisches Lösungsverfahren im TR
Musterbeispiele
a) Bestimme die Nullstelle der linearen Funktion $f(x)=-2x+4$
b) Bestimme die Nullstelle der quadratischen Funktion $f(x)=-x^2+6x-5$
Lösung: $$0=-x^2 + 6 \cdot x - 5$$ Nun verwenden wir die große Lösungsformel mit a=-1, b=6 und c=-5 $$ x_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4\cdot a\cdot c}}{2\cdot a}$$
$$x_{1,2}=\frac{-6\pm \sqrt{6^2-4\cdot (-1)\cdot (-5)}}{2\cdot (-1)}$$ $$x_{1,2}=\frac{-6\pm \sqrt{36-20}}{-2}$$ $$ x_1=\frac{-6+4}{-2}=1$$ $$ x_2=\frac{-6-4}{-2}=5$$ Antwort: Der Graph der Funktion schneidet bei $N_1(1|0)$ und $N_2(5|0)$ die x-Achse.
a) Bestimme die Nullstelle der kubischen Funktion $f(x)=\frac{x^3}{3}-4x^2+7x+30$ (siehe Abbildung rechts oben.
Lösung mithilfe des graphischen Verfahrens oder dem Löse-Verfahren (GeoGebra) $x_1=-1.9,\ x_2=6$ und $ x_3=7.9$
