Kosten- und Preistheorie: Unterschied zwischen den Versionen
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| − | {{Vorlage:Definition|Der Gesamterlös E (auch Umsatz genannt) ergibt sich aus dem Produkt der verkauften Menge und dem dezugehörigen Preis: | + | {{Vorlage:Definition|1=Der Gesamterlös E (auch Umsatz genannt) ergibt sich aus dem Produkt der verkauften Menge und dem dezugehörigen Preis: |
$$E(x)=x\cdot p(x)$$ | $$E(x)=x\cdot p(x)$$ | ||
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{{Vorlage:Beispiel|1= Gegeben ist die Preisfunktion p mit $p(x)=-0.25x+5$ | {{Vorlage:Beispiel|1= Gegeben ist die Preisfunktion p mit $p(x)=-0.25x+5$ | ||
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$$ E‘‘(10)=-0.5<0 \ \ \ \rightarrow HP$$ | $$ E‘‘(10)=-0.5<0 \ \ \ \rightarrow HP$$ | ||
Somit befindet sich bei $x=10$ ein Hochpunkt und der Erlös an dieser Stelle beträgt $E(10)=25$ | Somit befindet sich bei $x=10$ ein Hochpunkt und der Erlös an dieser Stelle beträgt $E(10)=25$ | ||
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=== Grenzerlös === | === Grenzerlös === | ||
Der Grenzerlös ist definiert als $E‘(x)$ und gibt die (ungefähre) Steigung des Erlöses an, wenn eine weitere Mengeneinheit produziert wird. | Der Grenzerlös ist definiert als $E‘(x)$ und gibt die (ungefähre) Steigung des Erlöses an, wenn eine weitere Mengeneinheit produziert wird. | ||
Version vom 5. Januar 2015, 17:45 Uhr
Preisfunktion der Nachfrage
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Die Preisfunktion der Nachfrage, auch "Nachfragefunktion" oder "Preis-Absatz-Funktion" genannt, gibt den Preis p in Anhängigkeit der produzierten Menge x an. |
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$ $
$$p_h=p(0)$$
$$p(x_S)=0$$
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Bild
Eine Firma kann von ihrem Produkt 5 Mengeneinheiten verkaufen, wenn sie den Preis auf € 3,75 pro Stück festlegt. Senkt sie den Preis auf € 2,50 pro Stück, so kann sie 10 Mengeneinheiten des Produktes verkaufen.
- Modellieren sie die lineare Preisfunktion.
- Ermitteln Sie daraus den Höchstpreis und die Sättigungsmenge.
1. Variante: Wir setzen die Punkte $(5\vert 3.75)$ und $(10\vert 2.50)$ die Funktionsgleichung ein und berechnen k und d, indem wir das Gleichungssystem (hierbei eignet sich z.B. das Additionsverfahren) lösen: $$p(x)=k\cdot x+d$$
- 1. Punkt: $I:\ \ 3.75= k\cdot 5+d$
- 2. Punkt: $\underline{II:2.50=k\cdot 10+d\ \ "-"}$
$$1.25=-5\dot k\ \ \ \rightarrow k=-0.25 \rightarrow d=5$$ Somit erhalten wir die Preisfunktion p mit $$p(x)=-0.25x+5$$
Graphik mit den Punkten (weiter oben einfügen
2. Variante: Da es sich um eine lineare Funktion handelt, kann k auch mithilfe dem Steigungsdreieck der Punkte $(5\vert 3.75)$ und $(10\vert 2.50)$ ermittelt werden: $$k=\frac{\Delta y}{Delta x}=\frac{Höhenunterschied}{Längenunterschied}=\frac{2.50-3.75}{10-5}=-0.25$$ Somit ist $k=-0.25$. Um das d nun noch zu berechnen, setzt man einen der beiden Punkte und k in die Funktionsgleichung ein: Punkt $(5\vert 3.75)$ und $k=-0.25$ in $p(x)=k\cdot x+d$ eingesetzt ergeben: $$3.75=-0.25\cdot 5+d\rightarrow 3.75+1.25=d \rightarrow d=5$$ Somit erhalten wir: $$p(x)=-0.25\cdot x+5$$
Graphik mit den Steigungsdreiecken
- Nun bestimmen wir mit der Preisfunktion den Höchstpreis und die Sättigungsmenge:
- Höchstpreis: $p(0)=d=5$. Der Höchstpreis beträgt 5 Euro pro Mengeneinheit.
- Sättigungsmenge: $p(x)=0$
$$0=-0.25x+5$$ $$-5=-0.25x$$ $$x=20$$
- Die Sättigungsmenge beträgt somit 20 Mengeneinheiten.
Graphik der Preisfunktion einfügen
Erlösfunktion
Allgemein
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Der Gesamterlös E (auch Umsatz genannt) ergibt sich aus dem Produkt der verkauften Menge und dem dezugehörigen Preis:
$$E(x)=x\cdot p(x)$$ |
Gegeben ist die Preisfunktion p mit $p(x)=-0.25x+5$
- Stellen Sie die dazugehörige Erlösfunktion auf.
- Bestimmen Sie die sogenannten Erlösgrenzen, dies sind die Nullstellen der Erlösfunktion.
- Berechnen Sie den maximalen Erlös.
$$E(x)=x\cdot p(x)$$ $$E(x)=x\cdot (-0.25x+5$$ $$E(x)=-0.25x^2+5x$$
Bild der Erlösfunktion.
- Die Nullstellen ermitteln wir, indem wir die Erlösfunktion nullsetzen:
$$0=E(x)$$ $$0=-0.25x^2+5x$$ Durch herausheben von x, Quadkom oder den Löse-Befehl erhalten wir $x_1=0$ und $x_2=20UNIQ4857314f2a33a6bd-MathJax-18-QINUx_{max}=\frac{0+20}{2}=10UNIQ4857314f2a33a6bd-MathJax-19-QINUE‘(x)=-0.5x+5UNIQ4857314f2a33a6bd-MathJax-20-QINU0=-0.5x+5\ \ \ \rightarrow x=10UNIQ4857314f2a33a6bd-MathJax-21-QINUE‘‘(x)=-0.5UNIQ4857314f2a33a6bd-MathJax-22-QINU E‘‘(10)=-0.5<0 \ \ \ \rightarrow HP$$ Somit befindet sich bei $x=10$ ein Hochpunkt und der Erlös an dieser Stelle beträgt $E(10)=25$
