Ableitung bestimmen: Unterschied zwischen den Versionen
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Hinweis: Im Folgenden sei f(x) auf ihrem Definitionsbereich immer differenzierbar (d.h. f'(x) existiert). Dies muss streng mathematisch vorausgesestzt werden) | Hinweis: Im Folgenden sei f(x) auf ihrem Definitionsbereich immer differenzierbar (d.h. f'(x) existiert). Dies muss streng mathematisch vorausgesestzt werden) | ||
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$f'(x)$ wird auch als '''1. Ableitung von f(x)''' bezeichnet. }} | $f'(x)$ wird auch als '''1. Ableitung von f(x)''' bezeichnet. }} | ||
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== Graphisches Bestimmen der 1. Ableitung == | == Graphisches Bestimmen der 1. Ableitung == | ||
Version vom 6. September 2014, 10:32 Uhr
In diesem Artikel geht es darum, die erste Ableitung f'(x) einer Funktion f(x) zu bestimmen.
Hinweis: Im Folgenden sei f(x) auf ihrem Definitionsbereich immer differenzierbar (d.h. f'(x) existiert). Dies muss streng mathematisch vorausgesestzt werden)
Inhaltsverzeichnis
Was ist $f'(x)$?
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Der Differentialquotient berechnet die Steigung der Tangente t.
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Die Ableitungsfunktion $f'(x)$ ist der sogenannte Differentialquotient von $f(x)$.
$$ f'(x)={k}=\lim_{\Delta x\rightarrow 0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{(x+\Delta x)- x} $$ und gibt die momentane Steigung der Funktion $f$ an der Stelle x an.
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Graphisches Bestimmen der 1. Ableitung
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$f'(x)$ gibt die Steigung von $f(x)$ an. Somit muss gelten: |
| $f(x)$ | $f'(x)$ |
|---|---|
| 1. $f(x)$ hat bei $a$ eine Extremstelle | $\rightarrow$ Hier ist die Steigung $f'(x)=0$ |
| 2. $f(x)$ hat bei $b$ einen Wendepunkt | $\rightarrow$ Hier ist der Graph lokal am steilsten oder am flachsten $\rightarrow$ die Steigung $f'$ hat hier einen Hoch- oder Tiefpunkt. |
| 3. $f(x)$ ist monoton wachsend | $\rightarrow$ $f'(x)$ ist positiv, d.h. oberhalb der x-Achse. |
| 4. $f(x)$ ist monoton fallend | $\rightarrow$ $f'(x)$ ist negativ, d.h. unterhalb der x-Achse. |
Skizzieren Sie zum gegebenen Graphen von $f(x)$ den Graphen von $f'(x)$!
siehe noch:
- http://geogebratube.org/material/show/id/83408
- http://geogebratube.org/material/show/id/46089
- http://geogebratube.org/material/show/id/43313
- http://geogebratube.org/student/m46089
Rechnerishes Bestimmen von $f'(x)$ - Ableitungsregeln
Grundlegende Regeln
| Regel | $f(x)$ | $f'(x)$ |
|---|---|---|
| Potenzregel | $x^n$ | $n\cdot x^{n-1}$ |
| Konstantenregel
$c\in \mathbb{R}$ |
c | 0 |
| Multiplikativer Faktor | $a\cdot f(x)$ | $a\cdot f'(x)$ |
| Summenregel | $f(x)+g(x)$ | $f'(x)+g'(x)$ |
| $e$-Funktion | $e^x$ | $e^x$ |
| Logarithmus | $ln|x|$ | $\frac{1}{x}$ |
| Trigonometrische Funktionen | $sin(x)\\ cos(x)$ | $cos(x)\\ -sin(x)$ |
