Rechnen mit Termen: Unterschied zwischen den Versionen

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* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color: #7cfc00;">$Bifie$</span>]]: [http://aufgabenpool.srdp.at/bhs/download.php?qid=96&file=Wasserverbrauch.pdf Wasserverbrauch] (Bifie-Aufgabe: leicht)
  
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=Weiterführende Themenbereiche=
 
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Aktuelle Version vom 2. Februar 2021, 18:15 Uhr

Definition
Grün rufezeichen.png
 Ein Term ist ein sinnvoller mathematischer Ausdruck, der Zahlen, Variablen, mathematische Verknüpfungen (wie $+,\cdot$ ) und Klammern beinhalten kann.


Beispiele

  • $5+x$
  • $(a+b)^2 $


Definition
Grün rufezeichen.png
 Ein Monom ist ein eingliedriger Term, der weder ein Plus noch ein Minus als Rechenzeichen enthält.


Beispiele

  • $5x$
  • $(ab)^2 $


Definition
Grün rufezeichen.png
 Ein Binom ist ein zweigliedriger Term, der ein Plus oder ein Minus als Rechenzeichen enthält.


Beispiele

  • $5+x$
  • $a-b$
  • $a^2-2b^3$


Addition und Subtraktion

Merke
Rotes rufezeichen.png
 Regel

Gleiche Variablen mit gleicher Hochzahl können addiert werden, während unterschiedliche Variablen nicht zusammengefasst werden können. 


Musterbeispiele

Berechne:

Bsp.png

$x+x=$


$x+x=2 \cdot x= 2x$


Berechne:

Bsp.png

$a+b+a+b+a=$


$a+b+a+b+a=3a+2b$

Achtung: Weiter kannst du diesen Term nicht zusammenfassen, da $a$ und $b$ unterschiedliche Variablen sind.


Berechne:

Bsp.png

$x+2y-4x+3y+3x=$


$x+2y-4x+3y+3x=5y$


Berechne:

Bsp.png

$x^2+2\cdot x^2=$


$x^2+2\cdot x^2=3 x^2$


Multiplikation

Merke
Rotes rufezeichen.png
 Multiplikation von identischen Variablen

Gleiche Variablen können multipliziert werden, indem die Rechenregeln der Potenzen berücksichtigt werden. 


Merke
Rotes rufezeichen.png
 Multiplikation unterschiedlicher Variablen

Unterschiedliche Variablen können multipliziert werden, indem sie hintereinander angeschrieben werden. 


Musterbeispiele

Berechne:

Bsp.png

$x \cdot x=$


$x \cdot x= x^2$


Berechne:

Bsp.png

$a \cdot b^2 \cdot a^3=$


$a \cdot b^2 \cdot a^3=a^4 b^2$



Merke
Rotes rufezeichen.png
 Multiplikation mit einem Monom

Bei der Multiplikation eines Termes mit einem Monom wird jedes einzelne Glied des Terms mit dem Monom multipliziert. 


Musterbeispiele

Berechne:

Bsp.png

$x \cdot x=$


$x \cdot x= x^2$


Berechne:

Bsp.png

$a \cdot (b^2+2a)=$


$a \cdot (b^2+2a)=ab^2+2a^2$



Merke
Rotes rufezeichen.png
 Multiplikation von Termen

Bei der Multiplikation zweier Terme wird jedes Glied des ersten Faktors mit jedem Glied des zweiten Faktors multipliziert. 


Musterbeispiele

Berechne:

Bsp.png

$(x+y) \cdot (2x+3y)=$


$(x+y) \cdot (2x+3y)=2x\cdot x+2x\cdot y+3y\cdot x+y\cdot 3y=2x^2+2xy+3xy+3y^2=2x^2+5xy+3y^2$


Division

Merke
Rotes rufezeichen.png
 Division von Termen

Bei der Division von Termen müssen die Rechenregeln beim Rechnen mit Potenzen berücksichtigt werden. 


Vorrangregeln

Merke
Rotes rufezeichen.png
 Vorrangregeln

Beim Rechnen mit Termen gelten die üblichen Rechenregeln wie beim Rechnen mit reellen Zahlen. Zuerst werden die Klammern vereinfacht, anschließend die Potenzen berechnet. Danach folgen die Punktrechnungen vor den Strichrechnungen.


Doppelbrüche

Merke
Rotes rufezeichen.png
 Doppelbruch

Doppelbrüche werden vereinfacht, indem der Bruch im Zähler des Doppelbruchs durch den Bruch, der im Nenner des Doppelbruchs steht, dividiert wird.


Merke
Rotes rufezeichen.png
 Doppelbruch

$$ \frac { \frac {a} {b} } {\frac {c} {d} } = \frac {a} {b} : \frac {c} {d} =\frac {a} {b} \cdot \frac {d} {c} = \frac {ad} {bc}$$


Kürzen

Merke
Rotes rufezeichen.png
 Kürzen von Brüchen

Es darf nie über ein Plus oder ein Minus gekürzt werden. Am einfachsten ist es, wenn nur bei der Multiplikation von Brüchen gekürzt wird. Vergleiche auch die Rechenregeln von Potenzen.  


Musterbeispiele

Berechne:

Bsp.png

$\frac {x^2} {y} \cdot \frac {y^3} {x^3}=$


$$\frac {x^2} {y} \cdot \frac {y^3} {x^3}= \frac {y^2} {x}$$


Berechne:

Bsp.png

$\frac {x^2} {(x+y)^2} \cdot \frac {x+y} {x}=$


$$\frac {x^2} {(x+y)^2} \cdot \frac {x+y} {x}=\frac {x} {x+y}$$ Achtung: Weiter kann hier nicht gekürzt werden, da im Nenner $x+y$ steht und beim Kürzen dabei über das Plus gekürzt würde!


Herausheben

Merke
Rotes rufezeichen.png
 Herausheben

Das Herausheben ist das Gegenteil der Multiplikation von Termen.  


Musterbeispiele

Hebe heraus:

Bsp.png

$3a+9=$


$3a+9=3\cdot (a+3)$


Hebe heraus:

Bsp.png

$a^2 b^3+a^3 b^2=$


$a^2 b^3+a^3 b^2=a^2 b^2 \cdot (b+a)$


Hebe heraus:

Bsp.png

$a^3+a^2=$


$a^3+a^2=a^2 \cdot (a+1)$


Binomische Formeln

Die binomischen Formeln ergeben sich aus der Multiplikation von zwei Binomen.

Merke
Rotes rufezeichen.png
 Binomische Formeln
  1. $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
  2. $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$
  3. $(a+b)\cdot (a-b)=a^2-b^2$ 


Musterbeispiele

Berechne:

Bsp.png

$(3x+4y)^2=$


$(3x+4y)^2=9x^2+24xy+16y^2$


Berechne:

Bsp.png

$(2m-3n)^2=$


$(2m-3n)^2=4m^2-12mn+9n^2$


Berechne:

Bsp.png

$(3c+4d)\cdot (3c-4d)=$


$(3c+4d)\cdot (3c-4d)=9c^2-16d^2$


Weitere Übungen


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