Lineare Ungleichungen mit 2 Variablen: Unterschied zwischen den Versionen

1. Zuerst stellen wir $y$ in der Ungleichung frei: $$2x-y\geq -1 \ \ \vert -2x$$ $$-y\geq -2x-1 \ \ \vert \cdot (-1)$$

Achtung: Bei der Multiplikation und Division mit negativen Zahlen ändert sich das Ungleichheitszeichen! (siehe Ungleichung)

$$y\leq 2x+1$$

2. Nun zeichnen wir zuerst die Gerade für $y=2x+1$ (siehe lineare Funktionen)

Graph der Geraden $y=2x+1$

3. Wir wissen, dass die Lösungsmenge eine der Halbebenen oberhalb oder unterhalb der Geraden ist. Diese zwei Fälle sind möglich:

1. Möglichkeit: untere Halbebene $\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $ 2. Möglichkeit: obere Halbebene

Um herauszufinden, welche dieser Halbebenen die richtige ist, gibt es nun $2$ Möglichkeiten:

a) Einsetzen eines beliebigen Punktes auf einer der Halbebenen in die Ungleichung

Hierzu nehmen wir einen beliebigen Punkt (z. B. $(0,0)$ oder $(1,4)$) und überprüfen, ob dieser Punkt die Ungleichung $y\geq 2x+1$ erfüllt. Dies geschieht, indem wir ihn in die Ungleichung einsetzen.

Erhalten wir eine wahre Aussage, so liegt der Punkt auf der entsprechenden Halbebene. Erhalten wir eine falsche Aussage, so liegt der Punkt nicht auf der Halbebene, womit die Lösungsmenge die Halbebene gegenüber vom Punkt sein muss.

Einsetzen von $(0,0)$ in $y\leq 2x+1$ ein	Einsetzen von $(1,4)$ in $y\leq 2x+1$ ein
$$y\leq 2x+1$$ $$0 \leq 2\cdot 0+1$$ $$0\leq 0+1$$ $$ 0\leq 1\ \textrm{wahre Aussage}$$ Somit liegt der Punkt $(0,0)$ in der Halbebene. Dadurch wissen wir, dass die untere Halbebene die Lösungsmenge sein muss. Das Einsetzen des Punktes $(0,0)$ führt zu einer wahren Aussage. Somit muss $(0,0)$ auf der Halbebene liegen.	$$y\leq 2x+1$$ $$4 \leq 2\cdot 1+1$$ $$4\leq 2+1$$ $$ 4\leq 3\ \textrm{falsche Aussage}$$ Somit liegt der Punkt $(1,4)$ NICHT in der Halbebene. Dadurch wissen wir, dass die untere Halbebene die Lösungsmenge sein muss. Das Einsetzen des Punktes $(1,4)$ führt zu einer falschen Aussage. Somit kann $(1,4)$ nicht auf der Halbebene liegen.

Hinweis:

1. Selbstverständlich reicht es, nur einen Punkt in die Ungleichung einzusetzen.
2. Achte darauf, dass der eingesetzte Punkt nicht auf der Geraden liegt! Er sollte immer eindeutig in einer der beiden Halbebenen liegen.

b) Richtiges Deuten des Ungleichheitszeichens

Anstelle des Einsetzens eines Punktes, können wir auch durch richtiges Deuten des Ungleichheitszeichens die entsprechende Halbebene herausfinden:

Die Ungleichung $y\leq 2x+1$ bedeutet, dass die $y$-Koordinate (= vertikale Koordinate) immer kleiner oder gleich dem Wert $2x+1$ sein muss. Somit muss die $y$-Koordinate immer unterhalb der Geraden sein. Demzufolge muss die gesuchte Halbebene unterhalb der Geraden sein.

Von den angeführten Beispielen muss nur b) $3x+2y\leq 50$ umgeformt werden:

a) $\quad y\geq 0$

b) $\quad 3x+2y\leq 50 \rightarrow 2y\leq -3x+50 \rightarrow$ $y\leq -\frac{3}{2}x+25$

c) $\quad x<15$

d) $\quad y<10$

2. Schritt: Zeichnen der Geraden

• 

  a) Die Gerade $y=0$ ist waagrecht und schneidet die $y$-Achse bei $0$.

• 

  b) Die Gerade $y=-\frac{3}{2}x+25$ wird mithilfe des Steigungsdreieckes eingezeichnet.

• 

  c) $x=15$ ist eine senkrechte Gerade, die bei $15$ die $x$-Achse schneidet.

• 

  d) Die Gerade $y=10$ ist parallel zur $x$-Achse und schneidet bei $10$ die $y$-Achse.

3. Schritt: Ermitteln der entsprechenden Halbebene durch Einsetzen eines Punktes (der Punkt $(1,1)$ eignet sich hier für alle Ungleichungen) oder durch Beachten des Ungleichheitszeichens:

• 

  a) Aufgrund des $\geq$ ist die obere Halbebene der Lösungsbereich.

• 

  b) Aufgrund des $\leq$ ist die untere Halbebene die gesuchte Lösungsmenge.

• 

  c) Aufgrund des $<$ ist die linke Halbebene die Lösungsmenge. Zusätzlich muss die Gerade gestrichelt gezeichnet werden!

• 

  d) Aufgrund des $<$ ist die untere Halbebene die Lösungsmenge. Zusätzlich muss die Gerade gestrichelt gezeichnet werden!

Anschließend markieren wir jenen Bereich, der von allen Ungleichungen überlappt wird.

Das folgende Applet zeigt dir diese $2$ Schritte:

Antwort: Der Lösungsbereich ist somit jene unendlich große Fläche, der von allen $3$ Ungleichungen begrenzt wird.

Zusammenfassung

Zuerst zeichnet man die Lösungsmenge jeder einzelnen Ungleichung. Wenn du dies selbst machst, achte darauf, dass du alle Ungleichungen in EIN Koordinatensystem zeichnest!

Legt man nun alle Halbebenen übereinander, so erhält man den dunkelroten Überlappungsbereich.

a) Raimund will wissen, wie viele Liter jeder Sorte er herstellen kann. Stelle dazu alle zugehörigen Ungleichungen auf.

Zuerst definieren wir die Unbekannten $x$ und $y$. Da wir wissen wollen, wie viele Liter er von jeder Sorte herstellen kann, ist

$x$... Anzahl der Liter Fruchtgenuss
$y$... Anzahl der Liter Happy fruits

Nun stellen wir die zugehörigen Ungleichungen auf. Eine mögliche Hilfe kann das Erstellen einer Tabelle sein:

Daraus lassen sich nun einfach die Ungleichungen herauslesen:
Zeile Äpfel: $2x+1y\leq 5$
Zeile Trauben: $1x+1y\leq 3$

Selbstverständlich gilt auch, dass $x$ und $y$ nur positiv sein dürfen, da wir ja nicht negative Liter herstellen können, somit erhalten wir das folgende Ungleichungssystem:
$$I: x\geq 0$$ $$II: y\geq 0$$ $$III: 2x+y\leq 5$$ $$IV: x+y\leq 3$$

b) Ermittle graphisch jenen Bereich, der Raimunds mögliche Produktionsmengen angibt.

Hierzu formen wir zuerst alle Ungleichungen auf $y$ um.

$$I: x\geq 0$$ $$II: y\geq 0$$ $$III: 2x+y\leq 5\ \ \rightarrow y\leq -2x+5$$ $$IV: x+y\leq 3\ \ \ \rightarrow y\leq -x+3$$

Dann zeichnen wir die Geraden ein und markieren jenen Bereich, der auf allen $4$ Halbebenen liegt und erhalten:

Die Lösungsmenge eines Ungleichunggsystems ist der Überlappungsbereich aller Ungleichungen.

Der rot markierte Bereich gibt uns nun alle möglichen Produktionsmengen an.

c) Begründe, ob es für Raimund möglich ist, einen Liter „Fruchtgenuss“ und $2.5$ Liter „Happy fruits“ zu produzieren?
Antwort: Es ist nicht möglich $x=1$ Liter „Fruchtgenuss“ und $y=2.5$ Liter „Happy fruits“ zu produzieren, da der Punkt $(1,2.5)$ nicht in der Lösungsmenge liegt.

Der Punkt (1,2.5) liegt nicht im Planungsfeld.

Hinweis: Eine alternative Argumentation wäre gewesen, dass wir nicht genug Trauben zur Verfügung haben. Raimund bräuchte hier nämlich insgesamt $3.5 kg$ Trauben.

d) Gib zwei mögliche Produktionsmengen für die beiden Sorten an.

Alle Punkte die im oder am Rand des Planungsfeldes liegen sind passende Lösungen.

Z. B.:

• Punkt $(1,1)$: Ein Liter „Fruchtgenuss“ und ein Liter „Happy fruits“.
• Punkt $(2,1)$: Ein Liter „Fruchtgenuss“ und ein Liter „Happy fruits“.