Rentenrechnung: Unterschied zwischen den Versionen

• B=?,
• nachschüssig,
• R=1000,
• n=16,
• i=5 % p.a. $\rightarrow$ r=1.05$\rightarrow$ v=0.95…

$$ B=R\cdot v\cdot \frac{v^{16}-1}{v-1} $$ $$\underline{\underline{B=10.837.77}}$$

TVM-Solver:

• N=16,
• i=5,
• PV=? $\rightarrow \underline{\underline{PV=10.837.77}}$
• PMT=-1000 (Minus, da sie 1000 abhebt),
• FV=0 (da € 0 auf dem Konto bleiben),
• P/Y=1,
• C/Y=1,
• End

!Achtung! Wenn mehrmals im Jahr abgehoben wird (=unterjährige Rente), brauchen wir beim händischen Rechnen den konformen Aufzinsungsfaktor $r_m$ In diesem Fall brauchen wir r_2, da jedes halbe Jahr abgehoben wird.

• B=10837.77
• R=2000
• n=?
• r=1.05 $\rightarrow r_2=\sqrt{1.05}=1.02469…\rightarrow v_2=\frac{1}{r_2}=0.975$…

$$B=R\cdot v_2\cdot \frac{(v_2)^n-1}{v_2-1} \ \ \rightarrow n=5.89$$

Somit kann sie 5 Vollraten abheben, für die 6. Rate reicht es gerade nicht mehr aus (dies sind die 0.89)

• N=? $\rightarrow N=5.89$
• i=5
• PV=10837.77 (Wert von vorher drinnen stehen lassen)
• PMT=-2000
• FV=0
• P/Y=2 (da 2mal im Jahr abgehoben wird)
• C/Y=1
• End

$$ 10837.77 = B_5 +\frac{ \textrm{Restbetrag}}{(r_2)^5}$$ Zusätzlich erhält man $B_5$ mithilfe der nachschüssigen Barwertformel $ B_5=R\cdot v_2 \cdot \frac{(v_2)^5-1}{v_2-1} $, wobei $R=2000$ und $v_2=0.975…$ (siehe oben) ist. Dadurch erhält man: $$ B_5=9299.82$$ Der Barwert aller Abhebungen in den 5 Semestern beträgt 9299.82. Daraus ergibt sich für den Restbetrag, dass $$ B=B_5+\frac{Restbetrag}{(r_2)^5} $$ $$ 10837.77= 9299.82+\frac{Restbetrag}{(r_2)^5} $$ $$ \frac{Restbetrag}{(r_2)^5} =1537.95 $$ $$\underline{\underline{Restbetrag=1737.46}}$$

Somit wird am Ende ein Restbetrag von zusätzlich € 1737.46 abgehoben.

Alternativ hätte auch alles auf das Ende des 5. Semesters aufgezinst werden können. Hier hätten wir ebenfalls 1737.46 erhalten.

Wir wollen also wissen, wie viel am Ende (=FV=Restbetrag) noch auf dem Konto bleibt, wenn wir 5 Mal (N=5) abgehoben haben:

• N=5
• i=5
• PV= 10837.77

PMT= -2000

• FV=? $\rightarrow FV=1737.46$
• P/Y=2
• C/Y=1
• End

Somit beträgt der Restbetrag noch € 1737.46, die mit der letzten Rate ebenfalls abgehoben werden.

Aus der der Graphik ergibt sich damit die folgende Gleichung:

$$21000\cdot r^3=5000 \cdot r^3+ \textrm{Endwert der 36 nachschüssigen Monatsraten} + 9000 $$ $$ 21000\cdot 1.03^3=5000 \cdot 1.03^3+ R\cdot\frac{r_{12}^{36}-1}{r_{12}-1} + 9000 $$ wobei $r_{12}=\sqrt[12]{1.03}=1.002466$ der monatliche Aufzinsungsfaktor ist.

Mithilfe des Solve-Befehls erhält man: $$\underline{\underline{R=225.64}}$$

A: Die monatliche Rate liegt bei € 225.64.

TVM-Solver:

• N=36,
• i=3,
• PV=-21000 + 5000 (da 21000 Schulden und 5000 sofort eingezahlt werden)
• PMT=? $\rightarrow \underline{\underline{PMT=225.64}}$
• FV=9000 (da € 9000 der Restwert ist),
• P/Y=12,
• C/Y=1,
• End