Rechnen mit Termen: Unterschied zwischen den Versionen
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| + | Bei der Division von Termen müssen die Rechenregeln beim Rechnen mit [[Potenzen]] berücksichtigt werden. | ||
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| + | Beim Rechnen mit Termen gelten die üblichen Rechenregeln wie beim Rechnen mit reellen Zahlen. Zuerst werden die Klammern vereinfacht, anschließend die Potenzen berechnet. Danach folgen die Punktrechnungen vor den Strichrechnungen. | ||
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| + | Doppelbrüche werden vereinfacht, indem der Bruch im Zähler des Doppelbruchs durch den Bruch, der im Nenner des Doppelbruchs steht, dividiert wird. | ||
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| + | =Vereinfachungen= | ||
| + | ==Kürzen== | ||
| + | {{Vorlage:Merke|1='''Kürzen von Brüchen''' | ||
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| + | Es darf nie über ein Plus oder ein Minus gekürzt werden. Am einfachsten ist es, wenn nur bei der Multiplikation von Brüchen gekürzt wird. Vergleiche auch die Rechenregeln von [[Potenzen]]. | ||
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| + | ===Musterbeispiele=== | ||
| + | Berechne:<br />{{Vorlage:Beispiel|1= $\frac {x^2} {y} \cdot \frac {y^3} {x^3}=$<br />|2= $$\frac {x^2} {y} \cdot \frac {y^3} {x^3}= \frac {y^2} {x}$$}} | ||
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| + | Berechne:<br />{{Vorlage:Beispiel|1= $\frac {x^2} {(x+y)^2} \cdot \frac {x+y} {x}=$<br />|2= $$\frac {x^2} {(x+y)^2} \cdot \frac {x+y} {x}=\frac {x} {x+y}$$ '''Achtung:''' Weiter kann hier nicht gekürzt werden, da im Nenner $x+y$ steht und beim Kürzen dabei über das Plus gekürzt würde!}} | ||
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| + | ==Herausheben== | ||
| + | {{Vorlage:Merke|1='''Herausheben''' | ||
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| + | Das Herausheben ist das Gegenteil der Multiplikation von Termen. | ||
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| + | ===Musterbeispiele=== | ||
| + | Hebe heraus:<br />{{Vorlage:Beispiel|1= $3a+9=$<br />|2= $3a+9=3\cdot (a+3)$}} | ||
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| + | Hebe heraus:<br />{{Vorlage:Beispiel|1= $a^2 b^3+a^3 b^2=$<br />|2= $a^2 b^3+a^3 b^2=a^2 b^2 \cdot (b+a)$}} | ||
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| + | Hebe heraus:<br />{{Vorlage:Beispiel|1= $a^3+a^2=$ <br />|2= $a^3+a^2=a^2 \cdot (a+1)$ }} | ||
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| + | ==Binomische Formeln== | ||
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| + | Die binomischen Formeln ergeben sich aus der Multiplikation von zwei [[Binom|Binomen]]. | ||
| + | <br />{{Vorlage:Merke|1='''Binomische Formeln''' | ||
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| + | # $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ | ||
| + | # $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$ | ||
| + | # $(a+b)\cdot (a-b)=a^2-b^2$ | ||
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| + | ===Musterbeispiele=== | ||
| + | Berechne:<br />{{Vorlage:Beispiel|1= $(3x+4y)^2=$<br />|2= $(3x+4y)^2=9x^2+24xy+16y^2$}} | ||
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| + | Berechne:<br />{{Vorlage:Beispiel|1= $(2m-3n)^2=$<br />|2= $(2m-3n)^2=4m^2-12mn+9n^2$}} | ||
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| + | Berechne:<br />{{Vorlage:Beispiel|1= $(3c+4d)\cdot (3c-4d)=$<br />|2= $(3c+4d)\cdot (3c-4d)=9c^2-16d^2$}} | ||
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| + | {{Vorlage: Video|1=EYbvhWEG6kE}} | ||
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| + | =Übungs- und Maturaaufgaben= | ||
| + | ==Weitere Übungen== | ||
* [[Theorie lineare Gleichungen mit einer Variable (2.4.)]] | * [[Theorie lineare Gleichungen mit einer Variable (2.4.)]] | ||
* [[Formeln]] | * [[Formeln]] | ||
| + | <br> | ||
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| + | ==Maturaaufgaben== | ||
| + | * [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color: #7cfc00;">$Bifie$</span>]]: [http://aufgabenpool.srdp.at/bhs/download.php?qid=94&file=Regenrinne.pdf Regenrinne] (Bifie-Aufgabe: mittel-schwer-leicht) | ||
| + | *: Welche Inhalte werden hier noch gefragt: [[Funktionen]]. | ||
| + | * [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color: #7cfc00;">$Bifie$</span>]]: [http://aufgabenpool.srdp.at/bhs/download.php?qid=95&file=Elektrischer_Widerstand_eines_Drahtes.pdf Elektrischer Widerstand] (Bifie-Aufgabe: leicht) | ||
| + | *: Welche Inhalte werden hier noch gefragt: [[Funktionen]]. | ||
| + | * [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color: #7cfc00;">$Bifie$</span>]]: [http://aufgabenpool.srdp.at/bhs/download.php?qid=96&file=Wasserverbrauch.pdf Wasserverbrauch] (Bifie-Aufgabe: leicht) | ||
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| + | =Weiterführende Themenbereiche= | ||
| + | * [[Potenzen]] | ||
| + | * [[Gleichung]] und [[Äquivalenzumformungen]] | ||
| + | * [[Ungleichung]] | ||
[[Kategorie: Algebra und Geometrie]] | [[Kategorie: Algebra und Geometrie]] | ||
Aktuelle Version vom 2. Februar 2021, 18:15 Uhr
|
Ein Term ist ein sinnvoller mathematischer Ausdruck, der Zahlen, Variablen, mathematische Verknüpfungen (wie $+,\cdot$ ) und Klammern beinhalten kann. |
Beispiele
- $5+x$
- $(a+b)^2 $
|
Ein Monom ist ein eingliedriger Term, der weder ein Plus noch ein Minus als Rechenzeichen enthält. |
Beispiele
- $5x$
- $(ab)^2 $
|
Ein Binom ist ein zweigliedriger Term, der ein Plus oder ein Minus als Rechenzeichen enthält. |
Beispiele
- $5+x$
- $a-b$
- $a^2-2b^3$
Inhaltsverzeichnis
Addition und Subtraktion
|
Regel
Gleiche Variablen mit gleicher Hochzahl können addiert werden, während unterschiedliche Variablen nicht zusammengefasst werden können. |
Musterbeispiele
Berechne:
$x+x=$
$x+x=2 \cdot x= 2x$
Berechne:
$a+b+a+b+a=$
$a+b+a+b+a=3a+2b$
Achtung: Weiter kannst du diesen Term nicht zusammenfassen, da $a$ und $b$ unterschiedliche Variablen sind.
Berechne:
$x+2y-4x+3y+3x=$
$x+2y-4x+3y+3x=5y$
Berechne:
$x^2+2\cdot x^2=$
$x^2+2\cdot x^2=3 x^2$
Multiplikation
|
Multiplikation von identischen Variablen
Gleiche Variablen können multipliziert werden, indem die Rechenregeln der Potenzen berücksichtigt werden. |
|
Multiplikation unterschiedlicher Variablen
Unterschiedliche Variablen können multipliziert werden, indem sie hintereinander angeschrieben werden. |
Musterbeispiele
Berechne:
$x \cdot x=$
$x \cdot x= x^2$
Berechne:
$a \cdot b^2 \cdot a^3=$
$a \cdot b^2 \cdot a^3=a^4 b^2$
|
Multiplikation mit einem Monom
Bei der Multiplikation eines Termes mit einem Monom wird jedes einzelne Glied des Terms mit dem Monom multipliziert. |
Musterbeispiele
Berechne:
$x \cdot x=$
$x \cdot x= x^2$
Berechne:
$a \cdot (b^2+2a)=$
$a \cdot (b^2+2a)=ab^2+2a^2$
|
Multiplikation von Termen
Bei der Multiplikation zweier Terme wird jedes Glied des ersten Faktors mit jedem Glied des zweiten Faktors multipliziert. |
Musterbeispiele
Berechne:
$(x+y) \cdot (2x+3y)=$
$(x+y) \cdot (2x+3y)=2x\cdot x+2x\cdot y+3y\cdot x+y\cdot 3y=2x^2+2xy+3xy+3y^2=2x^2+5xy+3y^2$
Division
|
Division von Termen
Bei der Division von Termen müssen die Rechenregeln beim Rechnen mit Potenzen berücksichtigt werden. |
Vorrangregeln
|
Vorrangregeln
Beim Rechnen mit Termen gelten die üblichen Rechenregeln wie beim Rechnen mit reellen Zahlen. Zuerst werden die Klammern vereinfacht, anschließend die Potenzen berechnet. Danach folgen die Punktrechnungen vor den Strichrechnungen. |
Doppelbrüche
|
Doppelbruch
Doppelbrüche werden vereinfacht, indem der Bruch im Zähler des Doppelbruchs durch den Bruch, der im Nenner des Doppelbruchs steht, dividiert wird. |
|
Doppelbruch
$$ \frac { \frac {a} {b} } {\frac {c} {d} } = \frac {a} {b} : \frac {c} {d} =\frac {a} {b} \cdot \frac {d} {c} = \frac {ad} {bc}$$ |
Inhaltsverzeichnis
Kürzen
|
Kürzen von Brüchen
Es darf nie über ein Plus oder ein Minus gekürzt werden. Am einfachsten ist es, wenn nur bei der Multiplikation von Brüchen gekürzt wird. Vergleiche auch die Rechenregeln von Potenzen. |
Musterbeispiele
Berechne:
$\frac {x^2} {y} \cdot \frac {y^3} {x^3}=$
$$\frac {x^2} {y} \cdot \frac {y^3} {x^3}= \frac {y^2} {x}$$
Berechne:
$\frac {x^2} {(x+y)^2} \cdot \frac {x+y} {x}=$
$$\frac {x^2} {(x+y)^2} \cdot \frac {x+y} {x}=\frac {x} {x+y}$$ Achtung: Weiter kann hier nicht gekürzt werden, da im Nenner $x+y$ steht und beim Kürzen dabei über das Plus gekürzt würde!
Herausheben
|
Herausheben
Das Herausheben ist das Gegenteil der Multiplikation von Termen. |
Musterbeispiele
Hebe heraus:
$3a+9=$
$3a+9=3\cdot (a+3)$
Hebe heraus:
$a^2 b^3+a^3 b^2=$
$a^2 b^3+a^3 b^2=a^2 b^2 \cdot (b+a)$
Hebe heraus:
$a^3+a^2=$
$a^3+a^2=a^2 \cdot (a+1)$
Binomische Formeln
Die binomischen Formeln ergeben sich aus der Multiplikation von zwei Binomen.
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Binomische Formeln
|
Musterbeispiele
Berechne:
$(3x+4y)^2=$
$(3x+4y)^2=9x^2+24xy+16y^2$
Berechne:
$(2m-3n)^2=$
$(2m-3n)^2=4m^2-12mn+9n^2$
Berechne:
$(3c+4d)\cdot (3c-4d)=$
$(3c+4d)\cdot (3c-4d)=9c^2-16d^2$
Weitere Übungen
Maturaaufgaben
- $Bifie$: Regenrinne (Bifie-Aufgabe: mittel-schwer-leicht)
- Welche Inhalte werden hier noch gefragt: Funktionen.
- $Bifie$: Elektrischer Widerstand (Bifie-Aufgabe: leicht)
- Welche Inhalte werden hier noch gefragt: Funktionen.
- $Bifie$: Wasserverbrauch (Bifie-Aufgabe: leicht)
