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(→‎Definition: Was ist eine Funktion und was ist keine Funktion)
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== Überblick ==
 
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== Definition: Was ist eine Funktion und was ist keine Funktion ==
 
== Definition: Was ist eine Funktion und was ist keine Funktion ==
 
{{Vorlage:Definition|1=  
 
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Eine Funktion ist eine '''eindeutige Zuordnung''', die jeden Wert aus einer Definitionsmenge einem Wert aus einer Wertemenge (Zielmenge) zuordnet.  
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Eine Funktion ist eine '''eindeutige Zuordnung''', die jedem Wert aus einer Definitionsmenge '''genau einen''' Wert aus einer Wertemenge (Zielmenge) zuordnet.  
  
 
* Die Elemente aus der Definitionmenge D werden meist mit x bezeichnet.  
 
* Die Elemente aus der Definitionmenge D werden meist mit x bezeichnet.  
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* Die Werte aus der Wertemenge W bezeichnet man mit y oder f(x)  ("''f von x''").}}
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* Die Werte aus der Wertemenge W bezeichnet man mit y oder f(x)  ("''f von x''").
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<!--Eine Funktion ist eine Zuordnung, die jedem Element einer Menge A genau ein Element der Menge B zuordnet-->
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'''Musterbeispiel einer Funktion: Der Lehrer verteilt die Mathematiknoten'''
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[[Datei:Definition funktion.png|miniatur|300px|zentriert|Jeder Schülerin wird ihre Note zugeordnet]]
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[[Datei:Definition funktion.png|miniatur|300px|zentriert|Beispiel einer Funktion: Die Lehrperson (= Funktion) weist jeder Schülerin geanu eine Note zu]]
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Im obigen Beispiel darf jede Schülerin nur eine Note erhalten ABER die mehrere Schülerinnen können dieselbe Note erhalten. Dies ist eine wichtige Eigenschaft von allen Funktionen! Verallgemeinert heißt dies:
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Jedem Element der Definitionsmenge (x) darf NUR EIN Element der Wertemenge (y) zugeordnet werden.
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Ein Element der Wertemenge (y) kann mehreren Elementen der Definitionsmenge (x) zugeordnet werden.
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(vgl. das Musterbeispiel der Schülerinnen (x, Definitionsmenge) und der Noten (y, Wertemenge). }}
  
  
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== Darstellung von Funktionen ==
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== Mathematische Funktionen und ihre Darstellungen ==
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In der Mathematik bestehen die Definitions- und Wertemenge in der Regel aus Zahlen (meist aus den [[Zahlenmengen#die_reellen_Zahlen_.24.5Cmathbb.7BR.7D.24| reellen Zahlen]].
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Somit weist die Funktion f jeder Zahl x einer Definitionsmenge eine andere Zahl y einer Wertemenge zu.
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Ein Beispiel für eine soche Zuweisung von Zahlen auf Zahlen siehst du im folgenden Applet. Beachte hierbei auch die verschiedenen Darstellungen der Funktion:
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a) '''Wertetabelle''': In einer Tabelle wird die Zuordnungen von x- und y-Werten angegeben.
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b) '''Graph''': Die x- und y-Werte aus der Wertetabelle können in einem [[Koordinatensystem]] als Punkte mit den Koordinaten (x,y) angegeben werden. Der Punkt (1,4) würde dann bedeuten, dass der Zahl 1 aus der Definitionsmenge die Zahl 4 in der Wertemenge zugeordnet wurde. Das entstehende Gebilde nennt man dann '''Graph der Funktion'''
  
 
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! Funktion - Wertetabelle - Graph
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!Darstellung: Funktion - Wertetabelle - Graph
 
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|<ggb_applet width="980" height="380" version="5.0" id="kmDfyxHN " />   
 
|<ggb_applet width="980" height="380" version="5.0" id="kmDfyxHN " />   
 
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| Falls dieses Applet nicht funktioniert, klicke [https://www.geogebra.org/m/kmDfyxHN hier]
 
| Falls dieses Applet nicht funktioniert, klicke [https://www.geogebra.org/m/kmDfyxHN hier]
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Zuletzt gibt es noch eine weite wichtige Darstellung einer Funktion, die
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c) '''Funktionsgleichung'''
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Hat man eine Funktion, die jedem Wert aus der Definitionsmenge seinen Doppelten Wert zuordnet, so kann man dies auch folgendermaßen schreiben:
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$$f: D\rightarrow W \textrm{ mit } y=2x$$
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wobei x im Definitionsbereich und y im Wertebereich liegt.
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Eine oft gebräuchlichere Schreibweise ist aber:
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$$f: D\rightarrow W \textrm{ mit } f(x)=2x  \textrm{ (gesprochen: f von x ist 2 mal x)}$$
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[[Datei:Gleichung-Wertetb-Graph.png|thumb|Im Bild sind alle 3 Darstellungsformen der Funktion f mit $f(x)=2x$ dargestellt: Funktionsgleichung - Wertetabelle - Graph]]
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Beispiele:
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! Funktionsgleichung !! gesprochen !! Bedeutung
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|$f(x)=x+1$  || f von x ist x plus 1 || Die Funktion f ordnet jedem x seine um 1 höhere Zahl x+1 zu.
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|$f(x)=2x$ || f von x ist 2 mal x || Die Funktion f ordnet jedem x ihr Doppeltes zu.
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|$f(x)=3x+1$ || f von x ist 3 mal x plus 1 || Die Funktion f ordnet jedem x jede Zahl zu, die man erhält wenn man vom Dreifachen von x eins abzieht.
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!Übung zur Darstellung von Funtkionen: Funktionsgleichung - Wertetabelle - Graph
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| Falls dieses Applet nicht funktioniert, klicke [https://www.geogebra.org/m/X4JD6Zde hier]
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{{Vorlage:Hinweis|1=
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# Anstelle von f können auch andere Buchstaben für eine Funktion verwendet werden. Z.B.: $g(x)=x+1$
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# Auch muss nicht immer x als Variable verwendet werden. So wird für die Zeit als Definitionsbereich meist der Buchstabe t verwendet. z.B.: $g(t)=t+1$.
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{{Vorlage:Merke|1=
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Wir kennen somit 3 wichtige Darstellungsformen einer Funktion
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# Funktionsgleichung
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# Wertetabelle
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# Graph einer Funktion
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}}
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Beispiele mit allen 3 Formen
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== Zusammenfassungsvideo ==
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{{Vorlage:Video|1=myLx0d5wmHw}}
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== Aufstellen einer Funktionsgleichung - Abhängige und unabhngige Variable ==
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Oft besteht die Aufgabe darin, aus einem Text eine passende Funktionsgleichung aufzustellen. Dabei muss zuerst überlegt werden, was die x- und was die y-Variable (oder f(x) ) sein soll. Dabei gilt folgende Grundregel:
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{{VorlageMerke|1=
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* x ist die unabhängige Variable
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* y/f(x) ist die von x Abnängige Variable
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}}
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Beispiele
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$\begin{align}
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f:&\mathbb{R}_{\geq 0} \longrightarrow \mathbb{R}_{\geq 0}  \\
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&\ \ x \ \ \ \longmapsto  y
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\end{align}$
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Weiteres Applet zu Definitions- und Bildbereich: https://www.geogebra.org/m/UWEnxpFJ
 
Weiteres Applet zu Definitions- und Bildbereich: https://www.geogebra.org/m/UWEnxpFJ
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== Eigenschaften von Funktionen ==
 
== Eigenschaften von Funktionen ==

Version vom 4. September 2016, 16:45 Uhr

Diese Seite handelt von der Definition und den grundlegenden Eigenschaften von Funktionen. Auf anderen Seiten werden wichtige Funktionstypen genauer behandelt:

Überblick

mind-map kommt bald

Definition: Was ist eine Funktion und was ist keine Funktion

Definition
Grün rufezeichen.png
 Eine Funktion ist eine eindeutige Zuordnung, die jedem Wert aus einer Definitionsmenge genau einen Wert aus einer Wertemenge (Zielmenge) zuordnet.
  • Die Elemente aus der Definitionmenge D werden meist mit x bezeichnet.
  • Die Werte aus der Wertemenge W bezeichnet man mit y oder f(x) ("f von x").


Musterbeispiel einer Funktion: Der Lehrer verteilt die Mathematiknoten

Beispiel einer Funktion: Die Lehrperson (= Funktion) weist jeder Schülerin geanu eine Note zu

Im obigen Beispiel darf jede Schülerin nur eine Note erhalten ABER die mehrere Schülerinnen können dieselbe Note erhalten. Dies ist eine wichtige Eigenschaft von allen Funktionen! Verallgemeinert heißt dies:


Merke
Rotes rufezeichen.png
 Jedem Element der Definitionsmenge (x) darf NUR EIN Element der Wertemenge (y) zugeordnet werden.

ABER Ein Element der Wertemenge (y) kann mehreren Elementen der Definitionsmenge (x) zugeordnet werden. (vgl. das Musterbeispiel der Schülerinnen (x, Definitionsmenge) und der Noten (y, Wertemenge).



Mathematische Funktionen und ihre Darstellungen

In der Mathematik bestehen die Definitions- und Wertemenge in der Regel aus Zahlen (meist aus den reellen Zahlen. Somit weist die Funktion f jeder Zahl x einer Definitionsmenge eine andere Zahl y einer Wertemenge zu. Ein Beispiel für eine soche Zuweisung von Zahlen auf Zahlen siehst du im folgenden Applet. Beachte hierbei auch die verschiedenen Darstellungen der Funktion:

a) Wertetabelle: In einer Tabelle wird die Zuordnungen von x- und y-Werten angegeben.

b) Graph: Die x- und y-Werte aus der Wertetabelle können in einem Koordinatensystem als Punkte mit den Koordinaten (x,y) angegeben werden. Der Punkt (1,4) würde dann bedeuten, dass der Zahl 1 aus der Definitionsmenge die Zahl 4 in der Wertemenge zugeordnet wurde. Das entstehende Gebilde nennt man dann Graph der Funktion

Darstellung: Funktion - Wertetabelle - Graph
Falls dieses Applet nicht funktioniert, klicke hier


Zuletzt gibt es noch eine weite wichtige Darstellung einer Funktion, die

c) Funktionsgleichung Hat man eine Funktion, die jedem Wert aus der Definitionsmenge seinen Doppelten Wert zuordnet, so kann man dies auch folgendermaßen schreiben: $$f: D\rightarrow W \textrm{ mit } y=2x$$ wobei x im Definitionsbereich und y im Wertebereich liegt. Eine oft gebräuchlichere Schreibweise ist aber: $$f: D\rightarrow W \textrm{ mit } f(x)=2x \textrm{ (gesprochen: f von x ist 2 mal x)}$$

Im Bild sind alle 3 Darstellungsformen der Funktion f mit $f(x)=2x$ dargestellt: Funktionsgleichung - Wertetabelle - Graph

Beispiele:

Funktionsgleichung gesprochen Bedeutung
$f(x)=x+1$ f von x ist x plus 1 Die Funktion f ordnet jedem x seine um 1 höhere Zahl x+1 zu. $f(x)=2x$ f von x ist 2 mal x Die Funktion f ordnet jedem x ihr Doppeltes zu. $f(x)=3x+1$ f von x ist 3 mal x plus 1 Die Funktion f ordnet jedem x jede Zahl zu, die man erhält wenn man vom Dreifachen von x eins abzieht.
Übung zur Darstellung von Funtkionen: Funktionsgleichung - Wertetabelle - Graph
Falls dieses Applet nicht funktioniert, klicke hier


Hinweis!

# Anstelle von f können auch andere Buchstaben für eine Funktion verwendet werden. Z.B.: $g(x)=x+1$
  1. Auch muss nicht immer x als Variable verwendet werden. So wird für die Zeit als Definitionsbereich meist der Buchstabe t verwendet. z.B.: $g(t)=t+1$.



Merke
Rotes rufezeichen.png
 Wir kennen somit 3 wichtige Darstellungsformen einer Funktion
  1. Funktionsgleichung
  2. Wertetabelle
  3. Graph einer Funktion


Beispiele mit allen 3 Formen

Zusammenfassungsvideo

Aufstellen einer Funktionsgleichung - Abhängige und unabhngige Variable

Oft besteht die Aufgabe darin, aus einem Text eine passende Funktionsgleichung aufzustellen. Dabei muss zuerst überlegt werden, was die x- und was die y-Variable (oder f(x) ) sein soll. Dabei gilt folgende Grundregel: Vorlage:VorlageMerke 

Beispiele


$\begin{align} f:&\mathbb{R}_{\geq 0} \longrightarrow \mathbb{R}_{\geq 0} \\ &\ \ x \ \ \ \longmapsto y \end{align}$



Weiteres Applet zu Definitions- und Bildbereich: https://www.geogebra.org/m/UWEnxpFJ


Eigenschaften von Funktionen

Übungen

Hierfür musst du Gleichungssysteme lösen.

Matura-Aufgaben

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