Differenzengleichungen
Differenzengleichungen
Differenzengleichungen ermöglichen es, praktische Fragestellungen aus der Finanzmathematik (Zinseszins-, Renten- und Tilgungsrechnung), der Populationsdynamik (Entwicklung einer Population) sowie aus vielen weiteren wissenschaftlichen Disziplinen der Wirtschaft, Medizin, Technik usw. mathematisch zu beschreiben.
Bei einer Differenzengleichung (auch Rekursionsgleichung genannt) handelt es sich um eine rekursive Folge, also um eine Aufzählung von Zahlen. Besteht eine Folge aus den Zahlen $x_0, x_1, x_2, x_3, …$, so heißen diese Zahlen Glieder der Folge, wobei $x_0$ das 0. Folgeglied, $x_1$ das 1. Folgeglied usw. bezeichnet.
Rekursiv bedeutet, dass man unter Kenntnis eines Folgeglieds immer das nächste Folgeglied ermitteln kann.
Es gelte $y_0=4$ und $y_(n+1)=y_n-2$.
Ermitteln Sie $y_n$ für $n=1, 2, 3$.
$y_0$ … Anfangs- bzw. Startwert (erste Zahl der Zahlenfolge)
$y_n$ … Wert nach $n$ Einheiten ($n$-tes Folgeglied)
$y_(n+1)$ … Wert nach $(n+1)$ Einheiten ($(n+1)$-tes Folgeglied bzw. Nachfolger von $y_n$)
Anmerkungen: Anstelle der Schreibweise $y_0, y_n$ bzw. $y_(n+1)$ wird auch häufig die Form $y(0), y(n)$ bzw. $y(n+1)$ verwendet. Beachte, dass $n$ immer nur eine natürliche Zahl sein kann (d. h. $n=0, 1, 2, 3, …$). Denn es macht keinen Sinn das $-1$-te Folgeglied oder etwa das $1.5$-te Folgeglied zu berechnen.
Der Anfangswert der Zahlenfolge ist $4$. Jedes weitere Folgeglied ist um $2$ kleiner als das vorige. Somit erhalten wir $y_1$ indem wir vom Anfangswert $2$ abziehen, es gilt:
$\bm{y_1}=y_0-2 \Rightarrow y_1=4-2=\bm{2}$
Das 2. Folgeglied $y_2$ erhalten wir nun, indem wir vom aktuellen Folgeglied $y_1$ erneut $2$ abziehen.
$\bm{y_2}=y_1-2\Rightarrow y_2=2-2=\bm{0}$
Analog resultiert für das 3. Folgeglied $\bm{y_3=-2}$.
Verständnisfrage: Warum wird durch die alleinige Angabe von $y_(n+1)=y_n-2$ für alle $n\in \mathbb{N}$ keine Folge eindeutig definiert?
Es ist also unbedingt erforderlich, die Anfangsbedingung immer mit anzugeben.
Grundsätzlich unterscheidet man bei Differenzengleichungen zwei Grundformen:
Lineare Differenzengleichung (arithmetische Folge)
Für ein lineares Wachstum ist eine konstante Zunahme in gleichen Zeitspannen charakteristisch.
Bei einer linearen Differenzengleichung wächst bzw. sinkt der angegebene Wert mit jedem Folgeglied um einen festen Betrag. Ein Beispiel dafür ist obige Folge $y_(n+1)=y_n-2$, wo der Wert stets um $2$ gesunken ist.
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Lineare Differenzengleichung (Rekursive Darstellung) Bei linearem Wachstum bzw. linearer Abnahme gilt für einen Bestand $y_t$ nach $t$ Zeitschritten:
Anmerkung: Die Folge wurde hier mit der Variable $y$ festgelegt. Natürlich kann zur Beschreibung einer Folge jede beliebige andere Variable $a, b, h, z, …$ verwendet werden. |
{{Vorlage:Beispiel|1=Ein Produkt kostet $1000 €$ und wird jährlich um $40 €$ teurer. Stellen Sie eine geeignete Differenzengleichung (Rekursionsgleichung) auf, die diesen Sachverhalt modelliert.
|2=Lösung: Zunächst benennen wir die Folge mit einer beliebigen Variablen, beispielweise mit $a$.
Beim Ausgangswert handelt es sich um die ursprünglichen Kosten des Produkts, d. h. $a_0=1000 €$. Der Betrag erhöht sich jährlich um $40 €$, sprich $k=40€$.
Es gilt somit: $a_0=1000 €\quad , \quad a_(n+1)=a_n+40
Folglich beträgt die Differenz zwischen dem nächsten Jahr und dem aktuellen Jahr $40$, oder anders ausgedrückt $a_(n+1)-a_n=40$.
Die Aufgabe lässt sich nun auch noch grafisch darstellen: Zu Beginn kostet das Produkt $1000$. Dies entspricht dem Punkt $(0|1000)$ im Koordinatensystem. Nach einem Jahr kostet das Produkt $1040 €$ ($(1|1040)$), nach einem weiteren Jahr bereits $1080$ ($(2|1080)$) usw. Da nun alle eingezeichneten Punkte auf einer Linie liegen, handelt es sich dabei um eine lineare Differenzengleichung.
