Potenz- und Polynomfunktionen
Inhaltsverzeichnis
Potenzfunktionen - Allgemeines
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Eine Potenzfunktion ist eine Funktion der Form $f(x)=a\cdot x^n \ \ \ \textrm{mit} \ n\in \mathbb{Q} $ |
Wenn man den Schieberegler bewegt, kann man erkennen, dass Potenzfunktionen für verschiedene Hochzahlen n zum Teil sehr unterschiedliche Graphen liefern.
Um die Eigenschaften der Potenzfunktionen genauer zu untersuchen, ist es hilfreich, die Potenzfunktionen Kategorien einzuteilen, die dieselben Eigenschaften haben:
- Potenzfunktionen mit natürlichen Exponenten $n \in \mathbb{N}$
- Exponent ungerade
- Exponent gerade
- Potenzfunktionen mit negativen ganzzahligen Exponenten
- Exponent ungerade
- Exponent gerade
- Potenzfunktionen mit "echt rationalen" Exponenten - Wurzelfunktionen
Graphen von Potenzfunktionen
Je nach Größe der Parameter a und n verändert sich der Graph. Im Folgenden werden die Auswirkungen der einzelnen Parameter auf den Graphen der Funktion besprochen:
$$f(x)=a\cdot x^n$$
Bedeutung der Hochzahl n für den Funktionsgraphen
Um die Bedeutung des Hochzahl n für den Funktionsgraphen zu verstehen, lassen wir vorerst den Wert von a konstant bei 1 ($f(x)=x^n$)
| Potenzfunktionen mit ungeraden natürlichen Exponenten | |
| In diesem Fall ist der Graph monoton steigend. Je größer n ist, desto mehr "schmiegt" sich die Funktion im Bereich $[-1;1]$ der x-Achse an. Im gesamten übrigen Bereich steigt die Funktion hingegen stärker. Für negative x-Werte sind auch die zugehörigen Funktionswerte negativ.Diese Potenzfunktion haben immer genau eine reelle Nullstelle bei $x=0$. | 
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| Potenzfunktionen mit geraden natürlichen Exponenten | |
| In diesem Fall ist der Graph im Intervall $] - \infty ; 0]$ monoton fallend und im Intervall $[0; \infty[ $ monoton steigend. Der Graph nimmt nur positive Funktionswerte an ("Minus mal Minus ergibt Plus"). Für $n=2$ nennt man den Funktionsgraph eine Parabel (siehe Quadratische Funktionen ). Auch dieser Typ von Potenzfunktionen hat genau eine reelle Nullstelle bei $x=0$. | 
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| Potenzfunktionen mit ungeraden negativen Exponenten | |
| In diesem Fall ist der Graph sowohl im Intervall $] - \infty ; 0[$ monoton fallend als auch im Intervall $[0; \infty[ $ monoton fallend. Die Funktion ist für $x=0$ nicht definiert, was sich durch die alternative Schreibweise $f(x)=x^-n = \frac{1}{x^n}$ (siehe Potenzregeln leicht erklären lässt, da es bei $x=0$ zu einer Division durch Null kommen würde. Deshalb besteht an der Stelle $x=0$ eine sogenannte "Sprungstelle". Der Graph nähert sich im negativen und im positiven Bereich immer mehr der x-Achse, berührt diese jedoch nie. Es gibt somit keine reellen Nullstellen. | 
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| Potenzfunktionen mit geraden negativen Exponenten | |
| In diesem Fall ist der Graph im Intervall $] - \infty ; 0[$ monoton steigend und im Intervall $[0; \infty[ $ monoton fallend. Auch diese Funktion ist für $x=0$ nicht definiert und es gibt an der Stelle $x=0$ wiederum eine "Sprungstelle". Der Graph nimmt nur positive Funktionswerte an, da beispielsweise $f(x)=x^-2$ auch als $ \frac{1}{x^2}$ geschrieben werden kann und $x^2$ stets positive Werte liefert ("Minus mal Minus ergibt Plus"). Der Graph nähert sich im negativen und im positiven Bereich immer mehr der x-Achse, berührt diese jedoch nie. Es gibt somit keine reellen Nullstellen. | 
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| Potenzfunktionen mit "echt rationalen" Exponenten | |
| Diese Funktionen können aufgrund der Rechenregeln Potenzregeln auch als Wurzelfunktionen angeschrieben werden: $\sqrt[n]{x^m}=x^{\frac{m}{n} }$. Wir beschränken uns hier auf die Diskussion der Quadratwurzelfunktion: $\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2} }$.
Die (Quadrat-)Wurzelfunktion ist nur für $ \mathbb{R}_0^+$ definiert. Sie ist im gesamten Intervall $[0; \infty[ $ monoton steigend. Die Steigung des Graphen ist am Anfang sehr groß, nimmt jedoch immer mehr ab. Die Steigung bleibt jedoch stets >0. Es gibt genau eine reelle Nullstellen bei x=0. |
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Füge im folgenden Applet zu jeder Graphik die passende Funktion hinzu
Bedeutung des Parameters a für den Funktionsgraphen
Das folgende GeoGebra-Applet soll dir helfen, die Bedeutung des Parameters a zu verstehen.
Aufgabenstellungen zum Applet
- Untersuche, wie sich eine Änderung des Vorzeichens des Parameters a auf den Funktionsgraphen auswirkt. Variiere dazu den Schieberegler von a. Begründe, warum sich der Graph so verändert.
- Stelle den Wert von n nun auf 1. Gib an, um welchen speziellen Funktionstyp es sich hier handelt und was der Wert von a angibt.
- Stelle den Wert von n nun auf 2. Beobachte, wie sich die Veränderung von a auf den Funktionsgraphen auswirkt.
Lösungen zu den Aufgabestellungen
- Eine Änderung des Vorzeichens bewirkt eine Spiegelung des Funktionsgraphen. Exemplarische Begründung: Angenommen die ursprüngliche Funktion ist $f(x)= 2 \cdot x^3$. Die Vorzeichenänderung führt zur Funktionsgleichung $f(x)= -2 \cdot x^3$. Das Minus macht also nichts anderes, als das Vorzeichen eines jeden Funktionswertes "umzudrehen".
- Funktionen der Form $f(x)= a \cdot x$ sind lineare Funktionen, bei denen "d"=0 ist. Der Parameter a gibt somit die Steigung der Geraden an.
- Wie du sicher bemerkt hast, handelt es sich hier um einen einfachen Fall von quadratischen Funktionen. Eine ausführliche Erklärung, wie sich die Veränderung des Parameters auf den Funktionsgraphen auswirkt, findest du hier.
Füge im folgenden Applet zu jeder Graphik die passende Funktion hinzu
Polynomfunktionen
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Polynomfunktionen sind Funktionen, die aus Potenzfunktionen zusammengesetzt werden. Die allgemeine Funktionsgleichung einer Polynomfunktion lautet:
$$f(x)=a_n\cdot x^n+a_{n-1}\cdot x^{n-1}+a_{n-2}\cdot x^{n-2} +\dots + a_1\cdot x^1 + a_0\ \ \textrm{mit } a_i \in \mathbb{R}$$ oder in Kurzschreibweise: $$f(x)=\sum_{i=0}^n a_i \cdot x^i \ \textrm{mit } a_i \in \mathbb{R}$$
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Beispiel:
- für eine Polynomfunktion 3. Grades (kubische Funktion): $f(x)=2\cdot x^3+x^2+3\cdot x+5$
- für eine Polynomfunktion 2. Grades (quadratische Funktion): $f(x)=x^2+2x-5$
Verwende im folgenden GeoGebra-Applett Schieberegler um verschiedene Polynomfunktionen zu erzeugen:
Das Applett zeigt, dass Polynomfunktionen sehr verschiedenartig aussehen können. Um etwas Ordnung in die "Polynoms-Vielfalt" zu bringen, werden wir uns die jeweils die wichtigsten Gemeinsamkeiten der Polynomfunktionen eines bestimmten "Grads" genauer anschauen:
Polynomfunktionen vom Grad 1
| Allgemeine Gleichung: $f(x)=a_1 \cdot x + a_0$ |
| In diesem Fall ist der Graph eine lineare Funktion. Bei diesen Funktionen werden anstatt der Variablen $a_1$ und $a_0$ meist k und d verwendet. Genaue Details zu den Eigenschaften linearer Funktionen findest du im Kapitel lineare Funktionen.
Aufgabe: Stelle im obigen GeoGebra-Applett die Schieberegler von $a_4, \ a_3$ und $a_2$ auf Null und überzeuge dich davon, dass du stets eine lineare Funktion erhältst. |
Polynomfunktionen vom Grad 2
| Allgemeine Gleichung: $f(x)=a_2 \cdot x^2 + a_1 \cdot x + a_0 $ |
| In diesem Fall ist der Graph eine quadratische Funktion. Genaue Details findest du im Kapitel quadratische Funktionen.
Aufgabe: Stelle im obigen GeoGebra-Applett die Schieberegler von $a_4$ und $a_3$ auf Null un überzeuge dich davon, dass du stets eine quadratische Funktion erhältst. Variiere nun die Schieberegler von $a_2$, $a_1$ und $a_0$ um unterschiedliche Funktionsgraphen zu erzeugen. |
Polynomfunktionen vom Grad 3
| Allgemeine Gleichung: $f(x)=a_3 \cdot x^3 + a_2 \cdot x^2 + a_1 \cdot x + a_0 $ |
| Aufgabe: Stelle im obigen GeoGebra-Applett die Schieberegler von $a_4$ auf Null ($a_3 \neq 0$) um eine Polynomfunktion vom Grad drei zu erhalten. Variiere nun die Schieberegler von $a_3$, $a_2$, $a_1$ und $a_0$ um unterschiedliche Funktionsgraphen zu erzeugen. |
| Polynomfunktionen vom Grad 3 haben stets mindestens eine Nullstelle. |
typische Verläufe von Polynomfunktionen
Online-Übungen
? Übung zur Bestimmung des führenden Koeffizienten und des konstanten Terms
