Potenz- und Polynomfunktionen

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Potenzfunktionen - Allgemeines

Definition

Eine Potenzfunktion ist eine Funktion der Form $f(x)=a\cdot x^n \ \ \ \textrm{mit} \ n\in \mathbb{Q} $

Wenn du den Schieberegler bewegst, kannst du erkennen, dass Potenzfunktionen für verschiedene Hochzahlen n zum Teil sehr unterschiedliche Graphen liefern. Um die Eigenschaften der Potenzfunktionen genauer zu untersuchen, ist es hilfreich, die Potenzfunktionen Kategorien einzuteilen, die dieselben Eigenschaften haben:

• Potenzfunktionen mit natürlichen Exponenten $n \in \mathbb{N}$
  • Exponent ungerade
  • Exponent gerade

• Potenzfunktionen mit negativen ganzzahligen Exponenten
  • Exponent ungerade
  • Exponent gerade

• Potenzfunktionen mit "echt rationalen" Exponenten - Wurzelfunktionen

Graph der Potenzfunktion

Je nach Größe der Parameter a und n verändert sich der Graph. Im Folgenden werden die Auswirkungen der einzelnen Parameter auf den Graphen der Funktion besprochen:

$$f(x)=a\cdot x^n$$

---

Um die Bedeutung des Hochzahl n für den Funktionsgraphen zu verstehen, lassen wir vorerst den Wert von a konstant bei 1 ($f(x)=x^n$)

Potenzfunktionen mit ungeradem natürlichen Exponenten
Für $a=1$ und $n \in \mathbb{N}_g $	ist der Graph monoton steigend. Je größer n ist, desto mehr "schmiegt" sich die Funktion im Bereich $[-1;1]$ der x-Achse an. Im gesamten übrigen Bereich steigt die Funktion hingegen stärker. Diese Potenzfunktion haben immer genau eine reelle Nullstelle. Für negative x-Werte sind auch die zugehörigen Funktionswerte negativ.
Potenzfunktionen mit geradem natürlichen Exponenten
Für $a=1$ und $n \in \mathbb{N}_u $		ist der Graph im Intervall $] - \infty ; 0] [[Monotonie | monoton fallend]]$ und im Intervall $[0; \infty ; 0] $ monoton steigend. Der Graph nimmt nur positive Funktionswerte an ("Minus mal Minus ergibt Plus"). Für $n=2$ nennt man den Funktionsgraph eine Parabel (siehe Quadratische Funktionen )

Polynomfunktion

Definition

Polynomfunktionen sind Funktionen, die aus Potenzfunktionen zusammengesetzt werden. Die allgemeine Funktionsgleichung einer Polynomfunktion lautet: $$a_n\cdot x^n+a_{n-1}\cdot x^{n-1}+a_{n-2}\cdot x^{n-2} +\dots + a_1\cdot x^1 + a_0\ \ \textrm{mit } a_i \in \mathbb{R}$$ der höchste Exponent n gibt dabei den "Grad" des Polynoms an. Die $a_0$ ist der konstante Term (da keine Variable dabei steht) und gibt immer den Schnittpunkt mit der y-Achse an. Kurzschreibweise mit dem Summenzeichen

Beispiel:

• für eine Polynomfunktion 3. Grades (kubische Funktion): $f(x)=2\cdot x^3+x^2+3\cdot x+5$
• für eine Polynomfunktion 2. Grades (quadratische Funktion): $f(x)=x^2+2x-5$

typische Verläufe von Polynomfunktionen

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Online-Übungen

? Übung zur Bestimmung des führenden Koeffizienten und des konstanten Terms