Ableitung bestimmen
In diesem Artikel geht es darum, die erste Ableitung $f'(x)$ einer Funktion $f(x)$ zu bestimmen.
Vorausgesetzt sei im Folgenden, dass die Funktion $f(x)$ auf ihrem Definitionsbereich immer differenzierbar ist (d.h. f'(x) existiert). Dies muss, streng mathematisch genommen, vorausgesestzt werden)
Inhaltsverzeichnis
Was ist $f'(x)$?
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Die Ableitungsfunktion $f'(x)$ ist der sogenannte Differentialquotient von $f(x)$.
$$ f'(x)={k}=\lim_{\Delta x\rightarrow 0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{(x+\Delta x)- x} $$ und gibt die momentane Steigung der Funktion $f$ an der Stelle x an.
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Graphisches Bestimmen der 1. Ableitung
Die Ableitungsfunktion $f'(x)$ kann allein durch betrachtung der ursprünglichen Funktion $f(x)$ bestimmt werden.
$Aha!$ Dieses GeoGebra-Applet zeigt dir, wie das funktioniert..
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$f(x)$ |
Skizzieren Sie zum gegebenen Graphen von $f(x)$ den Graphen von $f'(x)$!
$Aha!$ Dieses Applet zeigt noch einmal die schrittweise Bestimmung der Ableitungsfunktion
? Ableitungsquiz
//* * http://geogebratube.org/material/show/id/43313
Rechnerisches bestimmen von $f'(x)$ - Ableitungsregeln
Grundlegende Regeln
| Regel | $f(x)$ | $f'(x)$ | Bemerkung |
|---|---|---|---|
| Potenzregel | $x^n$ | $n\cdot x^{n-1}$ | Exponent kommt herunter, dann wird Hochzahl um 1 vermindert. |
| Konstantenregel
$c\in \mathbb{R}$ |
c | 0 | konstante Funktionen haben Steigung $= 0$ |
| Faktorregel
$a\in \mathbb{R}$ |
$a\cdot f(x)$ | $a\cdot f'(x)$ | Ein konstanter Faktor ist von der Ableitung nicht betroffen. |
| Summenregel | $f(x)+g(x)$ | $f'(x)+g'(x)$ | Eine Summe wird abegeleitet, indem jeder einzelne Summand einzeln abgeleitet wird. |
| $e$-Funktion | $e^x$ | $e^x$ | Die bsondere Eigenschaft von $e^x$ ist, dass es durch Ableiten nicht verändert wird
(d.h. Funktionswert bei x =Steigung bei x) |
| Logarithmus | $ln|x|$ | $\frac{1}{x}$ | |
| Trigonometrische Funktionen | $sin(x)$ $cos(x)$ | $cos(x)$ $-sin(x)$ |
Bestimme zu den folgenden Funktionen die Ableitungsfunktion:
- $f(x)=x^3$
- $f(x)=4x$
- $f(x)=3$
- $f(x)=5\cdot x^2$
- $x^3+5x^2-4x+3$
- $x+\frac{1}{x}-\frac{1}{x^3}+\sqrt[5]{x^2}$
- $f(x)=\frac{x^4}{5}+2\cdot e^x-ln\vert x\vert $
- $f(x)=x^3 \rightarrow f'(x)\underbrace{=}_{Potenzregel} 3\cdot x^{3-1}=3\cdot x^2$
- $f(x)=4\cdot x=4\cdot x^1 \rightarrow f'(x)\underbrace{=}_{Potenzregel} 4\cdot 1\cdot x^{1-1}=4\cdot x^0=4\cdot 1=4$
- $f(x)=3 \rightarrow f'(x)\underbrace{=}_{Konstantenregel} 0$
- $f(x)=5\cdot x^2\rightarrow f'(x)\underbrace{=}_{Faktorregel}5\cdot (x^2)' \underbrace{=}_{Potenzregel}=5\cdot 5\cdot 2\cdot x^{2-1}=10\cdot x$
- $x^3+5x^2-4x+3\rightarrow f'(x)\underbrace{=}_{Summenregel}(x^3)'+(5x^2)'-(4x)'+(3)' \underbrace{=}_{Potenzregel}3x^2+10x-4+0$
- $x+\frac{1}{x}-\frac{1}{x^3}+\sqrt[5]{x^2}\underbrace{=}_{umformen} x+x^{-1}-x^{-3}+x^{\frac{2}{5} }$
$$\rightarrow f'(x)\underbrace{=}_{Potenzregel}1\cdot x^0+(-1)\cdot x^{-2}-(-3)\cdot x^{-4}+\frac{2}{5}\cdot x^{(\frac{2}{5}-1)}=$$ $$=1-x^{-2}+3\cdot x^{-4}+\frac{2}{5}\cdot x^{-\frac{3}{5} }$$ $$=1+\frac{1}{x^2}+\frac{3}{x^4}+\frac{2}{5\sqrt[5]{x^3} }$$
- $f(x)=\frac{x^4}{5}+2\cdot e^x-ln \vert x \vert \rightarrow f'(x)\underbrace{=}_{Potenzregel/Faktorregel,\ e-\ und\ ln-Regel}\frac{4x^3}{5}+2\cdot e^x-\frac{1}{x}$
Produktregel
Quotientenregel
Kettenregel
Matura-Aufgaben
- $Bifie$ : Leistungskurve
- hier musst du die Ableitungsfunktion graphisch bestimmen!
