Rechnen mit Termen

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Definition

Ein Term ist ein sinnvoller mathematischer Ausdruck, der Zahlen, Variablen, mathematische Verknüpfungen (wie $+,\cdot$ ) und Klammern beinhalten kann.

Beispiele

• $5+x$
• $(a+b)^2 $

Definition

Ein Monom ist ein eingliedriger Term, der weder ein Plus noch ein Minus als Rechenzeichen enthält.

Beispiele

• $5x$
• $(ab)^2 $

Definition

Ein Binom ist ein zweigliedriger Term, der ein Plus oder ein Minus als Rechenzeichen enthält.

Beispiele

• $5+x$
• $a-b$
• $a^2-2b^3$

Grundrechnungen

Addition und Subtraktion

Merke

Regel Gleiche Variablen mit gleicher Hochzahl können addiert werden, während unterschiedliche Variablen nicht zusammengefasst werden können.

Musterbeispiele: Berechne:

$x+x=$

$x+x=2 \cdot x= 2x$

Berechne:

$a+b+a+b+a=$

$a+b+a+b+a=3a+2b$

Achtung: Weiter kannst du diesen Term nicht zusammenfassen, da $a$ und $b$ unterschiedliche Variablen sind.

Berechne:

$x+2y-4x+3y+3x=$

$x+2y-4x+3y+3x=5y$

Berechne:

$x^2+2\cdot x^2=$

$x^2+2\cdot x^2=3 x^2$

Multiplikation

Merke

Multiplikation von identischen Variablen Gleiche Variablen können multipliziert werden, indem die Rechenregeln der Potenzen berücksichtigt werden.

Merke

Multiplikation unterschiedlicher Variable Unterschiedliche Variablen können multipliziert werden, indem sie hintereinander angeschrieben werden.

Musterbeispiele: Berechne:

$x \cdot x=$

$x \cdot x= x^2$

Berechne:

$a \cdot b^2 \cdot a^3$

$a \cdot b^2 \cdot a^3=a^4 b^2$

Merke

Multiplikation mit einem Monom Bei der Multiplikation eines Termes mit einem Monom wird jedes einzelne Glied des Terms mit dem Monom multipliziert.

Musterbeispiele: Berechne:

$x \cdot x=$

$x \cdot x= x^2$

Berechne:

$a \cdot (b^2+2a) $

$a \cdot (b^2+2a)=ab^2+2a^2$

Merke

Multiplikation von Termen Bei der Multiplikation zweier Terme wird jedes Glied des ersten Faktors mit jedem Glied des zweiten Faktors multipliziert.

Musterbeispiele: Berechne:

$(x+y) \cdot (2x+3y)=$

$(x+y) \cdot (2x+3y)=2x\cdot x+2x\cdot y+3y\cdot x+y\cdot 3y=2x^2+2xy+3xy+3y^2=2x^2+5xy+3y^2$

Division

Merke

Division von Termen Bei der Division von Termen müssen die Rechenregeln beim Rechnen mit Potenzen berücksichtigt werden.

Vorrangregeln

Merke

Vorrangregeln Beim Rechnen mit Termen gelten die üblichen Rechenregeln vom Rechnen mit reellen Zahlen. Zuerst werden die Klammern vereinfacht, anschließend die Potenzen berechnet. Danach folgen die Punktrechnungen vor den Strichrechnungen.

Doppelbrüche

Merke

Doppelbruch Doppelbrüche werden vereinfacht, indem der Bruch im Zähler des Doppelbruchs durch den Bruch, der im Nenner des Doppelbruchs steht, dividiert wird.

Merke

Doppelbruch $$ \frac { \frac {a} {b} } {\frac {c} {d} } = \frac {a} {b} : \frac {c} {d} =\frac {a} {b} \cdot \frac {d} {c} = \frac {ad} {bc}$$

Vereinfachungen

Kürzen

Merke

Kürzen von Brüchen Es darf nie über ein Plus oder ein Minus gekürzt werden. Am einfachsten ist es, wenn nur bei der Multiplikation von Brüchen gekürzt wird. Vergleiche auch die Rechenregeln von Potenzen.

Musterbeispiele: Berechne:

$$\frac {x^2} {y} \cdot \frac {y^3} {x^3}$$

$$\frac {x^2} {y} \cdot \frac {y^3} {x^3}= \frac {y^2} {x}$$

Berechne:

$$\frac {x^2} {(x+y)^2} \cdot \frac {x+y} {x}$$

$$\frac {x^2} {(x+y)^2} \cdot \frac {x+y} {x}=\frac {x} {x+y}$$ Achtung: Weiter kann hier nicht gekürzt werden, da im Nenner $x+y$ steht und beim Kürzen dabei über das Plus gekürzt würde!

Herausheben

Merke

Herausheben Das Herausheben ist das Gegenteil der Multiplikation von Termen.

Musterbeispiele: Hebe heraus:

$3a+9$

$3a+9=3\cdot (a+3)$

Hebe heraus:

$a^2 b^3+a^3 b^2$

$a^2 b^3+a^3 b^2=a^2 b^2 \cdot (b+a)$

Hebe heraus:

$a^3+a^2$

$a^3+a^2=a^2 \cdot (a+1)$

Binomische Formeln

Die binomischen Formeln ergeben sich aus der Multiplikation von zwei Binomen.

Merke

Binomische Formeln $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$ $(a+b)\cdot (a-b)=a^2-b^2$

Musterbeispiele: Berechne:

$(3x+4y)^2$

$(3x+4y)^2=9x^2+24xy+16y^2$

Berechne:

$(2m-3n)^2$

$(2m-3n)^2=4m^2-12mn+9n^2$

Berechne:

$(3c+4d)\cdot (3c-4d)$

$(3c+4d)\cdot (3c-4d)=9c^2-16d^2$

Matura-Aufgaben

• $Bifie$ Regenrinne (Bifie-Aufgabe: mittel-schwer-leicht)

  Welche Inhalte werden hier noch gefragt: Funktionen.

• $Bifie$ Elektrischer Widerstand (Bifie-Aufgabe: leicht)

  Welche Inhalte werden hier noch gefragt: Funktionen.

• $Bifie$ Wasserverbrauch (Bifie-Aufgabe: leicht)

siehe auch

• Theorie lineare Gleichungen mit einer Variable (2.4.)
• Formeln