Ungleichung
Inhaltsverzeichnis
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Im Gegensatz zu einer Gleichung hat eine Ungleichung anstelle eines = eines der folgenden 4 Ungleichheitszeichen: $<$... (eindeutig) kleiner |
Beispiele:
- $5<3$
- $2x+3 \geq 11$
Angabe der Lösungsmenge
Die Lösungsmenge von Ungleichungen wie $x<2$ oder $x\geq -2.5$ können wir auf drei verschiedene Arten angeben.
Graphisch am Zahlenstrahl
Geben wir die Lösungsmenge graphisch an, so markieren wir all jene Werte, die die Ungleichung erfüllen, auf dem Zahlenstrahl.
| $x<2$ | $x\geq -2.5$ | $-2.5\leq x <2$ |
|---|---|---|
| Alle Zahlen, die kleiner als 2 sind eine Lösung für $x$. Die Zahl zwei gehört gerade nicht mehr zur Lösung. Aus diesem Grund zeichnen wir bei 2 einen offenen Kreis ein. | Alle Zahlen, die größer gleich $-2.5$ sind gehören zur Lösung. Da $-2.5$ zur Lösung gehört, malen wir hier einen vollen (geschlossenen) Punkt. | Die Lösungsmenge befindet sich zwischen $-2.5$ und $2$. Da $-2.5$ zur Lösung gehört, zeichnen wir hier einen geschlossenen Punkt. Dagegegen gehört $2$ wegen dem $<$ nicht mehr zur Lösung, weshalb wir hier einen offenen Punkt einzeichnen. |
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$\\ $
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Intervall
Mengenschreibweise
Lösung von Ungleichungen mit einer Variable
Eine lineare Ungleichung löst man ähnlich wie eine Gleichung mithilfe von Umformungen:
Löse die Ungleichung $3x+1<7$ über der Grundmenge der reellen Zahlen $\mathbb{R}$.
$$3x+1<7 \ \ \vert -1$$ $$3x<6 \ \ \vert :3$$ $$x<2$$
| graphisch | Intervall | Mengenschreibweise |
|---|---|---|
| kommt bald | $$(-\infty ;2)$$
oder $$]-\infty ;2[$$ |
$\mathbb{L}=\{x\in \mathbb{R}\vert x<2\}$ |
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Der wichtigste Unterschied beim Umformen zwischen Gleichung und Ungleichung:
Wird eine Ungleichung mit einer negativen Zahl multipliziert oder dividiert, so ändert sich die Richtung des Ungleichungszeichens! |
Hinweis!
Nehmen wir die Ungleichung $$3<5$$ und multiplizieren wir links und rechts mit $(-1)$: $$3<5 \ \ \vert \cdot (-1)$$ $$-3\ \color{red}{?} -5\ \ \ $$ Damit die Ungleichung immer noch stimmt, muss man nun das Ungleichungszeichen ändern, weil -3 größer ist als -5 (schau dir das am Zahlenstrahl an!) $$-3>-5$$ Somit hat sich das Ungleichungszeichen umgedreht!
Bestimme die Lösungsmenge der Ungleichung
$$\frac{15-3x}{-2}\geq 2x-7$$ über der Grundmenge der reellen Zahlen $\mathbb{R}$.
$$\frac{15-3x}{-2}\geq 2x-7$$ Zuerst lösen wir den Bruch auf, indem wir mit (-2) multiplizieren: $$\frac{15-3x}{-2}\geq 2x-7\ \ \ \vert \cdot (-2)$$ $$15-3x\leq -4x+14\ \ \ \ \ \ \ $$ Beachte, dass sich das Ungleichungszeichen gedreht hat!!
Nun bringen wir alle x auf eine Seite: $$15-3x\leq -4x+14 \ \ \ \vert +4x\ und \ -15$$ $$x\leq -1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $$
| graphisch | Intervall | Mengenschreibweise |
|---|---|---|
| kommt bald | $$(-\infty ;-1]$$ | $\mathbb{L}=\{x\in \mathbb{R}\vert x\leq -1\}$ |
Fallunterscheidung bei Multiplikation mit x
kommt bald
Ungleichungssysteme mit einer Variablen
Theorie kommt bald
