Lineare Ungleichungen mit 2 Variablen

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Lineare Ungleichungen bestehen setzten sich aus zwei Termen zusammen, die durch eines der vier Ungleichheitszeichen $\leq, <, \geq, >$ verbunden sind.

Bsp: $$y\leq 2x+3$$ oder $$2x-y>3$$

Lösungsmenge

Die Lösungsmenge einer linearen Ungleichung wird als sogenannte "Halbebene" im Koordinatensystem eingezeichnet.

Gib die Lösungsmenge der Ungleichung $2x-y\leq -1$ graphisch in einem Koordinatensystem an.

1. Zuerst stellen wir die Ungleichung frei: $$2x-y\leq -1 \ \ \vert -2x$$ $$-y\leq -2x-1 \ \ \vert \cdot (-1)$$

Achtung! Bei der Multiplikation und Division mit negativen Zahlen ändert sich das Ungleichheitszeichen!! (siehe Ungleichung)

$$y\geq 2x+1$$

2. Nun zeichnen wir zuerst die Gerade für $y=2x+1$ (siehe lineare Funktionen)

Graph der Geraden $y=2x+1$

3. Wir wissen, dass die Lösungsmenge eine der Halbebenen oberhalb oder unterhalb der Geraden ist. Diese zwei Fälle sind möglich:

1. Möglichkeit: untere Halbebene $\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $ 2. Möglichkeit: obere Halbebene

Um herauszufinden, welche dieser Halbebenen die richtige ist, gibt es nun 2 Möglichkeiten:

a) Einsetzen eines beliebigen Punktes auf einer der Halbebenen in die Ungleichung Hierzu nehmen wir einen beliebigen Punkt (z.B.: (0,0) oder (1,4) ) überprüfen, ob dieser Punkt die Ungleichung erfüllt. Erhalten wir eine wahre Aussage, so liegt der Punkt auf der entsprechenden Halbebene. Erhalten wir eine falsche Aussage, so liegt der Punkt nicht auf der Halbebene womit die Lösungsmenge die Halbebene gegenüber vom Punkt sein muss.

Einsetzen von (0,0) in $y\geq 2x+1$ ein	Einsetzen von (1,4) in $y\geq 2x+1$ ein
$$y\leq 2x+1$$ $$0 \leq 2\cdot 0+1$$ $$0\leq 0+1$$ $$ 0\leq 1\ \textrm{wahre Aussage}$$ Somit liegt der Punkt (0,0) in der Halbebene. Dadurch wissen wir, dass die untere Halbebene die Lösungsmenge sein muss. Das Einsetzen des Punktes (0,0) führt zu einer wahren Aussage. Somit muss (0,0) auf der Halbebene liegen.	$$y\leq 2x+1$$ $$4 \leq 2\cdot 1+1$$ $$4\leq 2+1$$ $$ 4\leq 3\ \textrm{falsche Aussage}$$ Somit liegt der Punkt (1,4) NICHT in der Halbebene. Dadurch wissen wir, dass die untere Halbebene die Lösungsmenge sein muss. Das Einsetzen des Punktes (1,4) führt zu einer falschen Aussage. Somit kann (1,4) nicht auf der Halbebene liegen.

Hinweis:

1. Selbstverständlich reicht es, nur einen Punkt in die Ungleichung einzusetzen.
2. Achte darauf, dass der eingesetzte Punkt nicht auf der Geraden liegt! Er sollte immer eindeutig in einer der beiden Halbebenen liegen.

b) Richtiges Deuten des Ungleichheitszeichens

Die Ungleichung $y\leq 2x+1$ bedeutet, dass die y-Koodinate immer kleiner oder gleich dem Wert $2x+1$ sein muss. Somit muss die y-Koordinate immer unterhalb der Gerade sein muss. Somit muss die untere Halbebene unterhalb der Geraden sein.

Merke

Methode zum Skizzieren der Lösungsmenge: Forme die Ungleichungen zuerst nach y um. Beachte dabei, dass sich die Richtung des Ungleichheitszeichens bei der Multiplikation und Division mit negativen Zahlen ändert. Zeichne nun zuerst die Gerade der linearen Funktion in das Koordinatensystem. Beachte dabei, dass bei <,> die Gerade gestrichtelt gezeichnet wird und bei $leq, geq$ die Gerade ganz normal durchgehend gezeichnet wird. Nun streichen wir die passende Halbebene an: bei $<$ oder $\leq$ ist es die untere Halbebene/linke Halbebene und bei $>$ oder $\geq$ ist es die obere Halbebene/rechte Halbebene. Alternativ kannst du auch einen Punkt des Koordinatensystems in die Ungleichung einsetzen und überprüfen, ob dieser auf der Halbebene liegt. Wichtig: Der Punkt darf NICHT auf der Geraden liegen!

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Ungleichungssysteme

Definition

Ein Ungleichungssystem besteht aus mehreren Ungleichungen. Die Lösungsmenge eines Ungleichungssystem ist jener Bereich, der alle Ungleichungen erfüllt. Graphisch ist dies jener Bereich, der auf allen Halbebenen liegt.

Gib die Lösungsmenge des folgenden Ungleichungssystems graphisch an: I: $y\geq 0$ II: $3x+2y\leq 50$ III: $x<15$

Zuerst zeichnen wir die Lösungsmenge jeder einzelnen Ungleichung:

GeoGebra-Tipp: