Lineare Ungleichungen mit 2 Variablen

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• Lösungsmenge einer linearen Ungleichung
• Ungleichungssysteme

Die Lösungsmenge einer linearen Ungleichung mit 2 Variablen ist eine Halbebene.

Lineare Ungleichungen setzten sich aus zwei Termen zusammen, die durch eines der vier Ungleichheitszeichen $\leq, <, \geq, >$ verbunden sind.

Beispiele: $$y\leq 2x+3$$ oder $$2x-y>3$$

Lösungsmenge einer linearen Ungleichung

Die Lösungsmenge einer linearen Ungleichung wird als sogenannte "Halbebene" im Koordinatensystem eingezeichnet.

Gib die Lösungsmenge der Ungleichung $2x-y\leq -1$ graphisch in einem Koordinatensystem an.

1. Zuerst stellen wir die Ungleichung frei: $$2x-y\leq -1 \ \ \vert -2x$$ $$-y\leq -2x-1 \ \ \vert \cdot (-1)$$

Achtung! Bei der Multiplikation und Division mit negativen Zahlen ändert sich das Ungleichheitszeichen!! (siehe Ungleichung)

$$y\geq 2x+1$$

2. Nun zeichnen wir zuerst die Gerade für $y=2x+1$ (siehe lineare Funktionen)

Graph der Geraden $y=2x+1$

3. Wir wissen, dass die Lösungsmenge eine der Halbebenen oberhalb oder unterhalb der Geraden ist. Diese zwei Fälle sind möglich:

1. Möglichkeit: untere Halbebene $\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $ 2. Möglichkeit: obere Halbebene

Um herauszufinden, welche dieser Halbebenen die richtige ist, gibt es nun 2 Möglichkeiten:

a) Einsetzen eines beliebigen Punktes auf einer der Halbebenen in die Ungleichung

Hierzu nehmen wir einen beliebigen Punkt (z.B.: (0,0) oder (1,4) ) und überprüfen, ob dieser Punkt die Ungleichung $y\geq 2x+1$ erfüllt. Dies geschieht, indem wir ihn in die Ungleichung einsetzen.

Erhalten wir eine wahre Aussage, so liegt der Punkt auf der entsprechenden Halbebene. Erhalten wir eine falsche Aussage, so liegt der Punkt nicht auf der Halbebene womit die Lösungsmenge die Halbebene gegenüber vom Punkt sein muss.

Einsetzen von (0,0) in $y\geq 2x+1$ ein	Einsetzen von (1,4) in $y\geq 2x+1$ ein
$$y\leq 2x+1$$ $$0 \leq 2\cdot 0+1$$ $$0\leq 0+1$$ $$ 0\leq 1\ \textrm{wahre Aussage}$$ Somit liegt der Punkt (0,0) in der Halbebene. Dadurch wissen wir, dass die untere Halbebene die Lösungsmenge sein muss. Das Einsetzen des Punktes (0,0) führt zu einer wahren Aussage. Somit muss (0,0) auf der Halbebene liegen.	$$y\leq 2x+1$$ $$4 \leq 2\cdot 1+1$$ $$4\leq 2+1$$ $$ 4\leq 3\ \textrm{falsche Aussage}$$ Somit liegt der Punkt (1,4) NICHT in der Halbebene. Dadurch wissen wir, dass die untere Halbebene die Lösungsmenge sein muss. Das Einsetzen des Punktes (1,4) führt zu einer falschen Aussage. Somit kann (1,4) nicht auf der Halbebene liegen.

Hinweis:

1. Selbstverständlich reicht es, nur einen Punkt in die Ungleichung einzusetzen.
2. Achte darauf, dass der eingesetzte Punkt nicht auf der Geraden liegt! Er sollte immer eindeutig in einer der beiden Halbebenen liegen.

b) Richtiges Deuten des Ungleichheitszeichens

Die Ungleichung $y\leq 2x+1$ bedeutet, dass die y-Koodinate immer kleiner oder gleich dem Wert $2x+1$ sein muss. Somit muss die y-Koordinate immer unterhalb der Gerade sein muss. Somit muss die untere Halbebene unterhalb der Geraden sein.

Merke

Methode zum Skizzieren der Lösungsmenge: 1. Schritt: Forme die Ungleichungen zuerst nach y um. Beachte dabei, dass sich die Richtung des Ungleichheitszeichens bei der Multiplikation und Division mit negativen Zahlen ändert. 2. Schritt: Zeichne nun zuerst die Gerade der linearen Funktion in das Koordinatensystem. Beachte dabei, dass bei <,> die Gerade gestrichtelt gezeichnet wird und bei $\leq, \geq$ die Gerade ganz normal durchgehend gezeichnet wird. 3. Schritt: Nun streichen wir die passende Halbebene an: bei $<$ oder $\leq$ ist es die untere Halbebene/linke Halbebene und bei $>$ oder $\geq$ ist es die obere Halbebene/rechte Halbebene. Alternativ kannst du auch einen Punkt des Koordinatensystems in die Ungleichung einsetzen und überprüfen, ob dieser auf der Halbebene liegt. Wichtig: Der Punkt darf NICHT auf der Geraden liegen!

Gib die Lösungsmengen der folgenden 3 Ungleichungen graphisch an. Zeichne dabei die Lösung jeder Ungleichung ein ein separates Koordinatensystem:

a) $y\geq 0$
b) $3x+2y\leq 50$
c) $x<15$
d) $y<10$

1. Schritt: Umformen der Ungleichungen (falls nötig):

Bei diesem Beispiel muss nur b) $3x+2y\leq 50$ umgeformt werden: a) $y\geq 0\rightarrow $

b) $3x+2y\leq 50 \rightarrow 2y\leq -3x+50 \rightarrow y\leq -\frac{3}{2}x+25 $

c) $x<15$

d) $y<10$

2. Schritt: Zeichnen der Geraden

• 

  a) Die Gerade $y=0$ ist waagrecht und schneidet die y-Achse bei 0.

• 

  b) Die Gerade $y=-\frac{3}{2}x+25$ wird mithilfe des Steigungsdreieckes eingezeichnet.

• 

  c) $x=15$ ist eine senkrechte Gerade, die bei 15 die x-Achse schneidet.

• 

  d) Die Gerade $y=10$ ist parallel zur x-Achse und schneidet bei 10 die y-Achse.

3. Schritt: Ermitteln der entsprechenden Halbebene durch Einsetzen eines Punktes (der Punkt (1,1) eignt sich hier für alle Ungleichungen) oder durch Beachten des Ungleichheitszeichens:

• 

  a) Aufgrund des $\geq$ ist die obere Halbebene der Lösungsbereich.

• 

  b) Aufgrund des $\leq$ ist die untere Halbebene die gesuchte Lösungsmenge.

• 

  c) Aufgrund des $<$ ist die linke Halbebene die Lösungsmenge. Zusätzlich muss die Gerade gestrichelt gezeichnet werden!

• 

  d) Aufgrund des $<$ ist die untere Halbebene die Lösungsmenge. Zusätzlich muss die Gerade gestrichelt gezeichnet werden!

Ungleichungssysteme

Definition

Die Lösungsmenge eines Ungleichunggsystems ist der Überlappungsbereich aller Ungleichungen. Ein Ungleichungssystem besteht aus mehreren Ungleichungen. Die Lösungsmenge eines Ungleichungssystem ist jener Bereich, der alle Ungleichungen erfüllt. Graphisch ist dies jener Bereich, der auf allen Halbebenen liegt.

Gib die Lösungsmenge des folgenden Ungleichungssystems graphisch an: $$I:\ y\geq 0$$ $$II:\ 3x+2y\leq 50 $$ $$III: x<15$$

Zuerst zeichnen wir die Lösungsmenge jeder einzelnen Ungleichung.

Anschließend markieren wir jenen Bereich, der von allen Ungleichungen überlappt wird.

Das folgende Applet zeigt dir diese 2 Schritte:

Antwort: Der Lösungsbereich ist somit jene unendlich große Fläche, der von allen 3 Ungleichungen begrenzt wird.

Textaufgaben, die zu Ungleichungssystemen führen

Merke

Ungleichungssysteme können auch in Form von Textaufgaben vorliegen. Um eine solche Aufgabe zu lösen, geht man wie folgt vor: Definiere die Unbekannten x bzw. y. Stelle mithilfe des Textes alle Ungleichungen auf. Zeichne in ein Koordinatensystem die Lösungsmenge jeder Ungleichung und markiere anschließend den Überlappungsbereich.

Raimund stellt mithilfe von Äpfeln und Trauben zwei Sorten von Fruchtsäften her.

• Für einen Liter der Sorte "Fruchtgenuss" braucht er 2 kg Äpfel und 1 kg Trauben.
• Für einen Liter der Sorte "Happy fruits" braucht er je ein kg Äpfel und Trauben.

Insgesamt hat Raimund 5 kg Äpfel und 3 kg Trauben.

a) Raimund will wissen, wie viele Liter jeder Sorte er herstellen kann. Stelle dazu das zugehörige Ungleichungssystem auf.
b) Ermittle graphisch jenen Bereich, der Raimunds mögliche Produktionsmengen angibt.
c) Begründe, ob es für Raimund möglich ist, einen Liter "Fruchtgenuss" und 2.5 Liter "Happy fruits" zu produzieren?
d) Gib zwei mögliche Produktionsmengen für die beiden Sorten an.

a) Raimund will wissen, wie viele Liter jeder Sorte er herstellen kann. Stelle dazu alle zugehörigen Ungleichungen auf.

Zuerst definieren wir die Unbekannten x und y. Da wir wissen wollen, wie viele Liter er von jeder Sorte herstellen kann ist

x... Anzahl der Liter Fruchtgenuss
y... Anzahl der Liter Happy fruits

Nun stellen wir die zugehörigen Ungleichungen auf. Eine mögliche Hilfe kann das erstellen einer Tabelle sein:

$\ $	$$x$$ $$\textrm{Fruchtgenuss}$$	$$y$$ $$\textrm{Happy fruits}$$	Maximum
Äpfel in kg	2	1	$\leq 5$
Trauben in kg	1	1	$\leq 3$

Daraus lassen sich nun einfach die Ungleichungen herauslesen:
Zeile Äpfel: $2x+1y\leq 5$
Zeile Trauben: $1x+1y\leq 3$

Selbstverständlich gilt auch, dass $x$ und $y$ nur positiv sein dürfen, da wir ja nicht negative Liter herstellen können, somit erhalten wir das folgende Ungleichungssystem: $$I: x\geq 0$$ $$II: y\geq 0$$ $$III: 2x+y\leq 5$$ $$IV: x+y\leq 3$$

b) Ermittle graphisch jenen Bereich, der Raimunds mögliche Produktionsmengen angibt.

Hierzu formen wir zuerst alle Ungleichungen auf y um. $I: x\geq 0$

$II: y\geq 0$

$III: 2x+y\leq 5\ \ \rightarrow y\leq -2x+5$

$IV: x+y\leq 3\ \ \ \rightarrow y\leq -x+3$

Dann zeichnen wir die Geraden ein und markieren jenen Bereich, der auf allen 4 Halbebenen liegt und erhalten:

Die Lösungsmenge eines Ungleichunggsystems ist der Überlappungsbereich aller Ungleichungen.

Der rot markierte Bereich gibt uns nun alle möglichen Porduktionsmengen an.

c) Begründe, ob es für Raimund möglich ist, einen Liter "Fruchtgenuss" und 2.5 Liter "Happy fruits" zu produzieren?
Antwort: Es ist nicht möglich x=1 Liter "Fruchtgenuss" und y=2.5 LIter "Happy fruits" zu produzieren, da der Punkt $(1,2.5) nicht in der Lösungsmenge liegt.

Der Punkt (1,2.5) liegt nicht im Planungsfeld.

Hinweis: Eine alternative Argumentation wäre gewesen, dass wir nicht genug Trauben zur Verfügung haben. Raimund bräuchte hier nämlich insgesamt 3.5 kg Trauben.

d) Gib zwei mögliche Produktionsmengen für die beiden Sorten an.

Alle Punkte die im oder am Rand des Planungsfeldes liegen sind passende Lösungen.

z.B.:

• Punkt (1,1): Ein Liter "Fruchtgenuss" und ein Liter "Happy fruits".
• Punkt (2,1): Ein Liter "Fruchtgenuss" und ein Liter "Happy fruits".