Potenz- und Polynomfunktionen

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Potenzfunktionen - Allgemeines

Definition

Eine Potenzfunktion ist eine Funktion der Form $f(x)=a\cdot x^n \ \ \ \textrm{mit} \ n\in \mathbb{Q} $

Wenn man den Schieberegler bewegt, kann man erkennen, dass Potenzfunktionen für verschiedene Hochzahlen n zum Teil sehr unterschiedliche Graphen liefern. Um die Eigenschaften der Potenzfunktionen genauer zu untersuchen, ist es hilfreich, die Potenzfunktionen Kategorien einzuteilen, die dieselben Eigenschaften haben:

• Potenzfunktionen mit natürlichen Exponenten $n \in \mathbb{N}$
  • Exponent ungerade
  • Exponent gerade

• Potenzfunktionen mit negativen ganzzahligen Exponenten
  • Exponent ungerade
  • Exponent gerade

• Potenzfunktionen mit "echt rationalen" Exponenten - Wurzelfunktionen

Graphen von Potenzfunktionen

Je nach Größe der Parameter a und n verändert sich der Graph. Im Folgenden werden die Auswirkungen der einzelnen Parameter auf den Graphen der Funktion besprochen:

$$f(x)=a\cdot x^n$$

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Bedeutung der Hochzahl n für den Funktionsgraphen

Um die Bedeutung des Hochzahl n für den Funktionsgraphen zu verstehen, lassen wir vorerst den Wert von a konstant bei 1 ($f(x)=x^n$)

Potenzfunktionen mit ungeraden natürlichen Exponenten
In diesem Fall ist der Graph monoton steigend. Je größer n ist, desto mehr "schmiegt" sich die Funktion im Bereich $[-1;1]$ der x-Achse an. Im gesamten übrigen Bereich steigt die Funktion hingegen stärker. Für negative x-Werte sind auch die zugehörigen Funktionswerte negativ.Diese Potenzfunktion haben immer genau eine reelle Nullstelle bei $x=0$.

Potenzfunktionen mit geraden natürlichen Exponenten
In diesem Fall ist der Graph im Intervall $] - \infty ; 0]$ monoton fallend und im Intervall $[0; \infty[ $ monoton steigend. Der Graph nimmt nur positive Funktionswerte an ("Minus mal Minus ergibt Plus"). Für $n=2$ nennt man den Funktionsgraph eine Parabel (siehe Quadratische Funktionen ). Auch dieser Typ von Potenzfunktionen hat genau eine reelle Nullstelle bei $x=0$.

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Potenzfunktionen mit ungeraden negativen Exponenten

In diesem Fall ist der Graph sowohl im Intervall $] - \infty ; 0[$ monoton fallend als auch im Intervall $[0; \infty[ $ monoton fallend. Die Funktion ist für $x=0$ nicht definiert, was sich durch die alternative Schreibweise $f(x)=x^-n = \frac{1}{x^n}$ (siehe Potenzregeln leicht erklären lässt, da es bei $x=0$ zu einer Division durch Null kommen würde. Deshalb besteht an der Stelle $x=0$ eine sogenannte "Sprungstelle". Der Graph nähert sich im negativen und im positiven Bereich immer mehr der x-Achse, berührt diese jedoch nie. Es gibt somit keine reellen Nullstellen.

Potenzfunktionen mit geraden negativen Exponenten

In diesem Fall ist der Graph im Intervall $] - \infty ; 0[$ monoton steigend und im Intervall $[0; \infty[ $ monoton fallend. Auch diese Funktion ist für $x=0$ nicht definiert und es gibt an der Stelle $x=0$ wiederum eine "Sprungstelle". Der Graph nimmt nur positive Funktionswerte an, da beispielsweise $f(x)=x^-2$ auch als $ \frac{1}{x^2}$ geschrieben werden kann und $x^2$ stets positive Werte liefert ("Minus mal Minus ergibt Plus"). Der Graph nähert sich im negativen und im positiven Bereich immer mehr der x-Achse, berührt diese jedoch nie. Es gibt somit keine reellen Nullstellen.

Bedeutung des Parameters a für den Funktionsgraphen

Das folgende GeoGebra-Applett soll dir helfen, die Bedeutung des Parameters a zu verstehen.

Aufgabenstellungen zum Applett

1. Untersuche, wie sich eine Änderung des Vorzeichens des Parameters a auf den Funktionsgraphen auswirkt. Variiere dazu den Schieberegler von a. Begründe, warum sich der Graph so verändert.
2. Stelle den Wert von n nun auf 1. Gib an, um welchen speziellen Funktionstyp es sich hier handelt und was der Wert von a angibt.
3. Stelle den Wert von n nun auf 2. Beobachte, wie sich die Veränderung von a auf den Funktionsgraphen auswirkt.

Polynomfunktionen

Definition

Polynomfunktionen sind Funktionen, die aus Potenzfunktionen zusammengesetzt werden. Die allgemeine Funktionsgleichung einer Polynomfunktion lautet: $$f(x)=a_n\cdot x^n+a_{n-1}\cdot x^{n-1}+a_{n-2}\cdot x^{n-2} +\dots + a_1\cdot x^1 + a_0\ \ \textrm{mit } a_i \in \mathbb{R}$$ oder in Kurzschreibweise: $$f(x)=\sum_{i=0}^n a_i \cdot x^i \ \textrm{mit } a_i \in \mathbb{R}$$ der höchste Exponent n gibt dabei den "Grad" des Polynoms an. $a_0$ ist der konstante Term (da keine Variable dabei steht) und gibt an, in welchem Abstand vom Ursprung die y-Achse geschnitten wird.

Beispiel:

• für eine Polynomfunktion 3. Grades (kubische Funktion): $f(x)=2\cdot x^3+x^2+3\cdot x+5$
• für eine Polynomfunktion 2. Grades (quadratische Funktion): $f(x)=x^2+2x-5$

typische Verläufe von Polynomfunktionen

Online-Übungen

? Übung zur Bestimmung des führenden Koeffizienten und des konstanten Terms