Gleichungssysteme (2.7.)

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Definition
Grün rufezeichen.png
 Ein lineares Gleichungssystem besteht aus mehreren linearen Gleichungen mit mehreren Variablen.


Beispiel für ein Gleichungssystem mit 2 Gleichungen und 2 Variablen:

$$ I: x+y=35 $$ $$ II: 2x+4y=94 $$






Gleichungssysteme mit 2 Variablen

Beispiel: $$ I: x+y=35 $$ $$ II: 2x+4y=94 $$ Hierbei sind $x$ und $y$ die Variablen. Um die Lösungsmenge eines Gleichungsystems mit 2 Variablen zu berechnen, braucht es in der Regel genau 2 linear unabhängige Gleichungen.


Lösungsmenge $\mathbb{L}$

Die Lösung eines solchen Gleichungssystems ist jener Punkt (x|y), der sowohl die erste Gleichung als auch die zweite Gleichung löst.



Bsp.png

Zeige, dass der Punkt $(12\vert 23)$ das folgende Gleichungssystem löst: $ \begin{align} I: \ x&+&y &=& 35& \textrm{ } \\ II:\ 4x&+&2y&=&94& \end{align}$

Begründung: Setze den Punkt $(12\vert 23)$ in die beiden Gleichungen ein, wobei $x=12$ und $y=23$ ist:

$$ I: \underbrace{12+23}_{35}=35\ \ \textrm{ wahre Aussage}$$ $$ II: \underbrace{4\cdot 12+2\cdot 23}_{\underbrace{48+46}_{94} }=94 \textrm{ wahre Aussage} $$

Somit ist $(12\vert 23)$ eine Lösung des Gleichungssystems



Um ein Gleichungssystem zu lösen, gibt es mehrere Verfahren:



Lösungsverfahren

Additionsverfahren (Eliminationsverfahren)

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Rotes rufezeichen.png
 Methode des Additionsverfahrens
  1. Forme beide Gleichungen auf die Form $ax+by=c$ (Variablen links, Konstante rechts).
  2. Multipliziere eine oder beide Gleichungen mit einer Zahl, sodass in beiden Gleichungen die Koeffizienten vor der Unbekannten x oder vor der Unbekannten y gleich sind.
  3. Addiere (oder subtrahiere) die beiden Gleichungen!
  4. Du erhältst eine Gleichung mit einer Unbekannten. Löse die Gleichung mit einer Unbekannten durch Umformen der Gleichung.



Bsp.png

Bestimme mithilfe des Additionsverfahrens die Lösungsmenge des Gleichungssystems: $ \begin{align} I: \ x&+&y &=& 35& \textrm{ } \\ II:\ 4x&+&2y&=&94& \end{align}$

1. Schritt: Umformen auf $ax+by+c$ (hier nicht nötig):

$ \begin{align} x&+&y &=& 35& \textrm{ } \\ 4x&+&2y&=&94& \end{align}$


2. Schritt: Multipliziere eine der beiden Gleichung:

$ \begin{align} x&+&y &=& 35& \textrm{ } \vert \cdot (-2) \\ 4x&+&2y&=&94& \end{align}$


3. Schritt: Addiere oder subtrahiere die beiden Gleichungen:

$ \begin{align} -2x&-&2y &=& -70& \textrm{ } \vert +\ \ \\ 4x&+&2y&=&94& \\ \end{align}$



4. Schritt: Lösen der Gleichung mit einer Unbekannten:

$ \begin{align} 2x&+&0&=24 & \vert :2 \end{align}$

$ \begin{align} x&=&12 \end{align}$

Nun setzen wir $x=12$ in eine der Gleichungen (z.B. in die erste) ein und erhalten: $$ \begin{align} 12+y=35 \Rightarrow y=23 \end{align}$$ Damit ist die Lösungsmenge $\mathbb{L}$ $= \{ (12\vert 23) \} $




Wichtig Das Additionsverfahren eignet sich nur für lineare Gleichunggsysteme. Kommen nichtlineare Terme wie $x^2$, $x^3$ oder $x\cdot y$ in Gleichungen vor, so funktioniert das Additionsverfahren nicht.


Um nichtlineare Gleichungssysteme zu lösen, verwendet man das Einsetzungs-, Gleichsetzungs- oder das graphische Verfahren:




Einsetzungsverfahren (Substitutionsverfahren)

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Rotes rufezeichen.png
 Methode des Einsetzungsverfahrens

1. Stelle in einer der Gleichungen eine der Variablen frei (siehe Gleichungen umformen)

2. Setze nun das Ergebnis aus der Umformung in die andere Gleichung ein. Du erhälst eine Gleichung mit einer Variable.

3. Löse nun diese Gleichung und setze die Lösung anschließend in die andere Gleichung ein, um die Lösung für die andere Variable zu erhalten.



Bsp.png

Bestimme mithilfe des Einsetzungsverfahrens die Lösungsmenge des Gleichungssystems: $ \begin{align} I: \ x&+&y &=& 35& \textrm{ } \\ II:\ 4x&+&2y&=&94& \end{align}$

1. Schritt: Umformen der Gleichung I $\rightarrow$ x freistellen:

$ \begin{align} I:\ \ &x+y &=& 35 \ \ \ \ \ \ \ \ \vert \ -x \\ I:\ \ &x &=&35-y \end{align}$


2. Schritt: Setze das Ergebnis in die Gleichung II ein:

$ \begin{align} II:\ \ 4\color{red}{x}&+&2y&=&94& \textrm{ }\ \ \ \ \vert I:\ \color{red}{x=(35-y)} \\ II:\ \ 4\cdot \color{red}{(35-y)}&+&2y&=&94& \end{align}$


3. Schritt: Lösen der Gleichung II (hier befindet sich nun nur noch die Variable y)

$ \begin{align} II:\ 4\cdot (35-y)+2y&=94& \\ II:\ 140-4y+2y&=94 & \\ 140-2y&=94&\ \vert -140\\ -2y&=-46&\ \vert emoticon-2)\\ y&=23 \end{align}$




Nun setzen wir $x=23$ in die umgeformte Gleichung I (siehe Schritt 1) ein und erhalten: $$ x=35-y \Rightarrow x=35-23 \rightarrow x=12$$ Damit ist die Lösungsmenge $\mathbb{L}$ $= \{ (12\vert 23) \} $



Graphisches Verfahren

Der Schnittpunkt S ist die Lösung des Gleichungssystems


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Rotes rufezeichen.png
 Methode:

1. Beide Gleichungen auf "$y=...$" umformen.

2. Einzeichnen der Geraden aus I. und II. in dasselbe Koordinatensystem (siehe Lineare Funktionen y=kx+d

3. Ermitteln des Schnittpunktes $\rightarrow$ dieser gibt die Lösungsmenge des Gleichungssystems an.







Bsp.png

Bestimme mithilfe des graphischen Verfahrens die Lösungsmenge des Gleichungssystems: $ \begin{align} I: \ x&+&y &=& 35& \\ II:\ 4x&+&2y&=&94& \end{align}$

1. Schritt: Beide Gleichungen auf "$y=...$" umformen.

$\begin{align} I: x+y=35 &\vert -x &\rightarrow & & \rightarrow &\underline{I:y=-x+35} \\ \\ II:4x+2y=94 &\vert -4x &\rightarrow &2y=-4x+94 \ \ \vert :2 & \rightarrow &\underline{II:y=-2x+47} \end{align}$


2. Schritt: Einzeichnen der Geraden $y=kx+d$ (siehe Geraden zeichnen)

Der Schnittpunkt der Geraden $I:y=-x+35$ (rot) und $II:y=-2x+47$ (blau) ist $S(12\vert 23)$

3. Schritt: Ermitteln des Schnittpunktes.

Wie man aus der obigen Graphik erkennt, hat der Schnittpunkt die Koordinaten $S(12\vert 23)$. Somit lautet die Lösungsmenge $\mathbb{L}$$={(12\vert 23)}$.


Achtung! Oft ist es schwer, den Schnittpunkt durch eine händische Zeichnung exakt zu ermitteln. Hier ist es dann oft sinnvoll Technologie einzusetzen. Entweder

Matrixverfahren (nur mit dem TR Ti-82)

siehe Matrixverfahren mit dem TR

Verfahren mit GeoGebra-CAS

kommt bald

Lösungsmöglichkeiten eines linearen Gleichungssystems

Betrachtet man ein lineares Gleichungssystem mit 2 Variablen graphisch, indem man die Geraden zeichnet (siehe graphischen Verfahren) so gibt es insgesamt drei Lösungsmöglichkeiten:

  1. Die Geraden schneiden sich im Schnittpunkt $S(x|y)\ \rightarrow$ es gibt eine Lösung: $\mathbb{L}={(x|y)}$
  2. Die Geraden sind parallel und es gibt keinen Schnittpunkt $\rightarrow$ es gibt keine Lösung: $\mathbb{L}=\{\ \}$
  3. Die Geraden überlappen sich und es gibt undendlich viele Schnittpunkte $\rightarrow$ es gibt undendlich viele Lösungen, die alle auf der Geraden liegen: $\mathbb{L}=\{ (x\vert y)\vert (x|y)\textrm{ erfüllt die Geradengleichung} \}$


Wie erkennen wir nun diese drei Fälle, wenn wir ein Lösungsverfahren verwenden? Die folgende Graphik zeigt dies genauer:

$\ $ 1. Fall: genau eine Lösung 2. Fall: keine Lösung 3. Fall: unendlich viele Lösungen
Beispiel: Die Gleichungen sind Linear unabhängig und widerspruchsfrei: $$I:-x+y=1$$ $$II:-x-y=2$$ widersprüchlich $$I:-x+y=1$$ $$II:-x+y=2$$ Linear abhängig (II ist ein Vielfaches von I):

$$I:-x+y=1$$ $$II:-2x+2y=2$$

Anzahl der Lösungen: Genau eine:

$x=-1.5$ und $y=-0.5$

keine Lösung Unendlich viele

z.B. $(0|1);(1|2);(3|4)...$

Lösungsmenge $$\mathbb{L}={(-1.5|-0.5)}$$ $$\mathbb{L}=\{\ \}$$ $$\mathbb{L}=\{ (x|y)|-x+y=1\}$$

d.h. alle Punkte $(x|y)$, die die Gleichung $-x+y=1$ erfüllen.

Graphisches Lösungsverfahren
Lösungsverfahren-schnittpkt.png
Lösungsverfahren-parallel.png
Lösungsverfahren-überlappend.png
Additions- und Einsetzungsverfahren $x=-1.5$ und $y=-0.5$ eine falsche Aussage wie $0=1$ oder $4=18$...

somit gibt es keine Werte als Lösung.

eine wahre Aussage wie $0=0$ oder $2=2$

somit ist jede Zahl (die eine der beiden Gleichungen erfüllt) eine Lösung.

Matrixverfahren
$1$ $0$ $-1.5$
$0$ $1$ $-0.5$
Die unterste Zeile besteht aus:
$0$ $0$ $1$

Somit gilt: $0x+0y=1$ und damit $0=1$ f.A. $\rightarrow$ es gibt keine Lösung.

Die unterste Zeile besteht aus:
$0$ $0$ $0$

Somit gilt: $0x+0y=0$ und damit $0=0$ w.A. $\rightarrow$ es gibt unendlich viele Lösungen.

Lösung mit GeoGebra-CAS $$x = -1.5,\ y = -0.5$$ $$\textrm{ ? }$$ $$x = y - 1, y = y$$

Lineare Gleichungssysteme mit 3 oder mehreren Variablen

Musterbeispiel: Das folgende lineare Gleichungssystem zeigt ein Gleichungssystem mit 3 Variablen (x, y und z) und 3 Gleichungen:

$\begin{align} I: &2x&+&y&-&3z&=&-4\\ II: &x&-&3y&-&z&=&-8\\ III: &-3x&+&y&+&z&=&\ \ 2 \end{align}$


Es gilt: Um ein lineares Gleichungssystem mit n Variablen eindeutig zu lösen, muss das Gleichungssystem aus n linear unabhängigen Gleichungen bestehen.

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