Ableitung bestimmen

Applet zum Differenzen- und Differentialquotienten > Differenzen- und Differentialquotient > Vorlage:Gadget-state/deprecation > Datei:Hyperbel.png > Ableitung bestimmen

In diesem Artikel geht es darum, die erste Ableitung f'(x) einer Funktion f(x) zu bestimmen.

Hinweis: Im Folgenden sei f(x) auf ihrem Definitionsbereich immer differenzierbar (d.h. f'(x) existiert). Dies muss streng mathematisch vorausgesestzt werden)

Was ist $f'(x)$

füge noch besseres Bild ein!

Der Differentialquotient berechnet die Steigung der Tangente t.

Definition

Die Ableitungsfunktion $f'(x)$ ist der sogenannte Differentialquotient von $f(x)$.

$$ f'(x)={k}=\lim_{\Delta x\rightarrow 0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{(x+\Delta x)- x} $$

und gibt die momentane Steigung der Funktion $f$ an der Stelle x an.

$f'(x)$ wird auch als 1. Ableitung von f(x) bezeichnet.

Graphisches Bestimmen der 1. Ableitung

Merke

$f'(x)$ gibt die Steigung von $f(x)$ an. Somit muss gelten:

$f(x)$	$f'(x)$
1. $f(x)$ hat bei $a$ eine Extremstelle	$\rightarrow$ Hier ist die Steigung $f'(x)=0$
2. $f(x)$ hat bei $b$ einen Wendepunkt	$\rightarrow$ Hier ist der Graph lokal am steilsten oder am flachsten $\rightarrow$ die Steigung $f'$ hat hier einen Hoch- oder Tiefpunkt.
3. $f(x)$ ist monoton wachsend	$\rightarrow$ $f'(x)$ ist positiv, d.h. oberhalb der x-Achse.
4. $f(x)$ ist monoton fallend	$\rightarrow$ $f'(x)$ ist negativ, d.h. unterhalb der x-Achse.

Skizzieren Sie zum gegebenen Graphen von $f(x)$ den Graphen von $f'(x)$!

Graph von f(x)

1. Schritt: Zeichne die Nullstellen von $f'(x)$ (=Extremwerte von $f(x)$ ein)	2. Schritt: Zeichne die Extremwerte von $f'(x)$ (=Wendepunkte von $f(x)$ ein. Die Höhen entprechen den Steigungen von $f(x)$ bei den Wendepunkten.
3. und 4. Schritt: Aufgrund des Monotonierverhaltens von $f(x)$ wissen wir, wann $f'(x)$ positiv oder negativ ist.	$f'(x)$ schön eingezeichnet