Lineare Ungleichungen mit 2 Variablen: Unterschied zwischen den Versionen

1. Zuerst stellen wir die Ungleichung frei: $$2x-y\leq -1 \ \ \vert -2x$$ $$-y\leq -2x-1 \ \ \vert \cdot (-1)$$

Achtung! Bei der Multiplikation und Division mit negativen Zahlen ändert sich das Ungleichheitszeichen!! (siehe Ungleichung)

$$y\geq 2x+1$$

2. Nun zeichnen wir zuerst die Gerade für $y=2x+1$ (siehe lineare Funktionen)

Graph der Geraden $y=2x+1$

3. Wir wissen, dass die Lösungsmenge eine der Halbebenen oberhalb oder unterhalb der Geraden ist. Diese zwei Fälle sind möglich:

1. Möglichkeit: untere Halbebene $\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $ 2. Möglichkeit: obere Halbebene

Um herauszufinden, welche dieser Halbebenen die richtige ist, gibt es nun 2 Möglichkeiten:

a) Einsetzen eines beliebigen Punktes auf einer der Halbebenen in die Ungleichung Hierzu nehmen wir einen beliebigen Punkt (z.B.: (0,0) oder (1,4) ) überprüfen, ob dieser Punkt die Ungleichung erfüllt. Erhalten wir eine wahre Aussage, so liegt der Punkt auf der entsprechenden Halbebene. Erhalten wir eine falsche Aussage, so liegt der Punkt nicht auf der Halbebene womit die Lösungsmenge die Halbebene gegenüber vom Punkt sein muss.

Einsetzen von (0,0) in $y\geq 2x+1$ ein	Einsetzen von (1,4) in $y\geq 2x+1$ ein
$$y\leq 2x+1$$ $$0 \leq 2\cdot 0+1$$ $$0\leq 0+1$$ $$ 0\leq 1\ \textrm{wahre Aussage}$$ Somit liegt der Punkt (0,0) in der Halbebene. Dadurch wissen wir, dass die untere Halbebene die Lösungsmenge sein muss. Das Einsetzen des Punktes (0,0) führt zu einer wahren Aussage. Somit muss (0,0) auf der Halbebene liegen.	$$y\leq 2x+1$$ $$4 \leq 2\cdot 1+1$$ $$4\leq 2+1$$ $$ 4\leq 3\ \textrm{falsche Aussage}$$ Somit liegt der Punkt (1,4) NICHT in der Halbebene. Dadurch wissen wir, dass die untere Halbebene die Lösungsmenge sein muss. Das Einsetzen des Punktes (1,4) führt zu einer falschen Aussage. Somit kann (1,4) nicht auf der Halbebene liegen.

b) Richtiges Deuten des Ungleichheitszeichens

Die Ungleichung $y\leq 2x+1$ bedeutet, dass die y-Koodinate immer kleiner oder gleich dem Wert $2x+1$ sein muss. Somit muss die y-Koordinate immer unterhalb der Gerade sein muss. Somit muss die untere Halbebene unterhalb der Geraden sein.