Rentenrechnung: Unterschied zwischen den Versionen

Version vom 27. Dezember 2013, 15:19 Uhr

Definition: Rente

Typische Beispiele einer Rente sind:

• Taschengeld (jeden Monat erhälst du denselben Betrag von deinen Eltern)
• Bausparer (jeden Monat oder jedes Jahr wird ein konstanter Betrag eingezahlt)
• "Rente" in der Pension (der Pensionist erhält monatlich einen fixen Betrag überwiesen)

Begriffe

Neben der Rate R (=Betrag, der regelmäßig eingezahlt wird) unterscheidet man folgende Punkte:

!Wichtig! Bei unterjährigen Renten muss der äquivalente Zinssatz berechnet werden.

Musterbeispiel

Anna schließt für sich einen Bausparvertrag mit 4% Verzinsung ab, bei dem sie am Ende jeden Jahres 1200 € einzahlt. Wie hoch ist der angesparte Betrag nach 5 Jahren(ohne staatliche Prämie)? Rechne mit einer KESt von 25%.

Lösung

1. Gegeben und Gesucht
   • Rate R=1200
   • nachschüssig (Zahlungen am Ende des Jahres)
   • ganzjährige Rente (Zahlungen einmal jährlich)
   • $i=4\%$
     $\begin{align} \rightarrow& i_{eff}=4\cdot 0.75 = 3\%\\ \rightarrow& r=1+\frac{i_{eff}}{100}=1.03 \end{align} $
   • Endwert E=? (Anna will wissen, wie viel sie am Ende angespart hat)
     
     
     
2. Berechnung $$ 1200\cdot 1.03^4 + 1200\cdot 1.03^3 + 1200\cdot 1.03^2 + 1200\cdot 1.03 + 1200 = E $$ $$ \underline{\underline{6370.96=E}} $$
   
3. Antwortsatz

   Nach 5 Jahren hat Anna einen Betrag von € 6370.96 angespart.

Formeln

Sei

$ n\dots$ die Anzahl der Einzahlungen

$ r\dots $ der (äuqivalente) Aufzinsungsfaktor

$ v\dots $ der (äquivalente) Abzinsungsfaktor $v=\frac{1}{r}$

Herleitung der Formeln

Hier siehst du die Herleitung der Formel für den nachschüssigen Endwert.$$E=R\cdot \frac{1-r^n}{1-r} $$. Die Herleitungen für die restlichen Formeln funktionieren ähnlich. Der Endwert setzt sich aus der Summe aller Einzahlungen zusammen. Nehmen wir an, wir berechnen den Endwert einer nachschüssigen Rente über n Jahre, dann gilt:

$$ E= R + R\cdot r+ R\cdot r^2 + R\cdot r^3+\dots + R\cdot r^{n-1} $$ wobei $R\cdot r^{n-1}$ die erste Zahlung ist, die $n-1$ Jahre aufgezinst werden muss und $R$ die letzte Zahlung ist.

Unter folgendem Link findest du die Herleitung der Formel $s_n=a_0\cdot \frac{1-q^n}{1-q} $, wobei $E=s_n$, $R=a_0$ und $r=q$ ist: Herleitung der Endwertformel

Musterbeispiel einer ganzjährigen Rente

Angabe: Frau Aah zahlt 15 Jahre lang am Anfang jedes Jahres € 1.000 auf ein mit 4% verzinstes Sparbuch ein.

a) Bestimme nach 15 Jahren angesparten Betrag. Beachte dabei die KESt von 25%.

b)Von dem ersparten Geld will sie 20 vorschüssige Jahresraten beheben, die 5 Jahre nach der letzten Einzahlung beginnen. Berechnen Sie die Höhe der Rate.

Lösung a)

• $R=1000$
• $i_{eff}=4\cdot 0.75=3\% \rightarrow r=1.03$
• $n=15$
• vorschüssig (da am Anfang vom Jahr eingezahlt wird)
• $E_{15} = $?

Mithilfe der vorschüssigen Endwertformel erhalten wir: $$ E_{15}=R\cdot r\cdot \frac{r^n-1}{r-1} $$ $$ E_{15}=1000 \cdot 1.03 \frac{1.03^{15}-1}{1.03-1} $$ $$\underline{\underline{E_{15}=19156.88}} $$

Somit hat Frau Aah nach 15 Jahren € 19156.88 angespart.

Lösung b) Der Satz "die 5 Jahre nach der letzten Einzahlung beginnen" sagt uns, dass der Betrag $E_{15}$ fünf Jahre lang auf der Bank liegen bleibt. Durch Aufzinsen erhalten wir nun den Betrag nach diesen 5 Jahren (d.h. nach insgesamt 20 Jahren von Beginn weg): $$ E_{20}=E_{15}\cdot r^5$$ $$ E_{20}=19156.88\cdot 1.03^5$$ $$ E_{20}=22208.07$$

Nach 20 Jahren liegen somit € 22208.07 auf der Bank. Nun will Frau Aah von diesem Betrag 20 vorschüssige Jahresraten abheben. Das Angesparte Geld $E_{20}$ ist jener Wert am ANFANG der Auszahlungen. Somit ist $E_{20}=B$, der neue Barwert.

• $B=E_{20}=22208.07$
• $n=20$
• $r=1.03 \rightarrow v=0.97087\dots $
• $R=?$
• vorschüssig

Mit der Formel für den vorschüssigen Barwert erhalten wir: $$ B=R\cdot \frac{v^{20}-1}{v-1} $$ $$ B\cdot (v-1)=R\cdot (v^{20}-1) $$ $$ \frac{B\cdot (v-1)}{(v^{20}-1)}=R FN (N =20, I% = 4, PV =Ergebnis von a) aufgezinst, PMT = solve, FV = 0, P/Y = 1, C/Y = 1, Beginn) == Musterbeispiel einer unterjährigen Rente == Wichtig!! Wenn die Raten mehrmals im Jahr eingezahlt werden, muss mit dem [[Zins- und Zinseszinsrechnung#äquivalenter Zinssatz | äquivalenter Zinssatz]] gerechnet werden. '''Angabe:''' Frau Des nimmt einen Kredit von € 15.000,‐ mit einer Laufzeit von 10 Jahren auf, den sie in nachschüssigen Monatsraten zurückzahlen will (i = 5%). Berechnen Sie die Höhe der Raten.
'''Lösung''' *$B=15000$ *$n=10\cdot 12=120$ *$i=5\% \rightarrow r_1=1.05 \rightarrow r_{12}=\sqrt[12]{1.05} \rightarrow r_{12}=1.00407\dots \rightarrow v_{12}=0.99594\dots$ *nachschüssig *$R=$? Durch Verwendung der [[Rentenrechnung#Formeln |nachschüssigen Barwertformel]] ergibt sich: $\begin{align} B&=R\cdot v\cdot \frac{v^{120}-1}{v-1} & & |\cdot (v-1) & \textrm{und} v\cdot (v^{120}-1))\\ \end{align}$ $\begin{align} \frac{B\cdot (v-1)}{v\cdot(v^{120}-1)}&=R &&\\ \end{align}$ $$ \underline{\underline{158.29=R}} $$

Antwort: Sie muss monatilich € 158.29 einzahlen.

FN (N = 120, I% =100(1,05^(1/12)‐1), PV = 0, PMT = solve, FV =0, P/Y = 1, C/Y= 1, END) 158.29 Achtung: P/Y bezeichnet die Einzahlungen pro Zinsperiode. Diese ist nun aber 1! (Alternative: FN (N = 120, I% =5, PV = 0, PMT = solve, FV =0, P/Y = 12, C/Y= 1, END) 158.29 … Y ist das Jahr)

TVM-Solver (Rechnen im TR)

Im Ti 82 kannst du die Beispiele auch im Taschenrechner mit dem TVM-Solver lösen.

Hier findest du eine Erklärung des Programms !! interner Hinweis: Diese Datei muss noch aktualisiert werden !!

Beispiele

Sparkonto (Bifie-Aufgabe)

Kreditkonditionen (Bifie-Aufgabe)

Bausparen (Bifie-Aufgabe)

Immobilienhandel (Bifie-Aufgabe mit Schuldentilgung) Siehe Schuldentilgung

Rücklage (Bifie-Aufgabe)