Differenzen- und Differentialquotient: Unterschied zwischen den Versionen

• $\Delta$ (=Delta (4. Buchstabe im griechischen Alphabet)) steht für "Unterschied". $\Delta x$ ist der Unterschied auf der x-Achse, $\Delta y$ der Unterschied auf der y-Achse.
• Wie aus der rechten Abbildung hervorgeht ist $\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{\textrm{Höhenunterschied}}{\textrm{Längenunterschied}}$
• Der Name Differenzenquotient kommt daher, dass er aus dem Quotienten (=Division) zweier Differenzen (=Subtraktionen) entsteht:

$$ \bar{k}=\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{(x+\Delta x)-\Delta x} $$

• $Aha!$ Hier findest du ein Arbeitsblatt zum Differenzenquotienten

Zuerst machen wir eine Wertetabelle :

Nun setzen wir ein: $$\bar{k}_{[4,8]}=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f(8)-f(4)}{8-4}=\frac{3.2-(-1.6)}{8-4}=\frac{4.8}{4}=\underline{\underline{1.2} }$$

b) Der Differenzenquotient ist die Steigung der Sekante durch die beiden Punkte $(4,-1.6)$ und $(8,3.2)$.

Der Differenzenquotient $\frac{\Delta y}{\Delta x}$ gibt die durchschnittliche Steigung zwischen den beiden Punkten an.

Der Differenzenquotient gibt die Steigung der Sekante an.

$$s(t)=0.1\cdot t^2$$ $$s(5)=0.1\cdot 5^2=2.5\ m$$ A: Nach 5 Sekunden hat das Fahrzeug einen Weg von 2.5 m zurückgelegt.

b) $s(t)=8.1$ m und gesucht ist das passende $t$: $$s(t)=0.1\cdot t^2$$ $$8.1=0.1\cdot t^2$$ $$81=t^2$$ $$\pm 9=t$$ A: Da die negative Lösung nicht infrage kommt (das Auto fährt an, somit betrachten wir nur positive Werte für die Zeit) hat das Fahrzeug nach 9 s eine Distanz von 8.1 m erreicht.

Graph von $s(t)$ samt der Sekante durch die beiden Punkte aus a) und b).

c) Die durchschnittliche Geschwindigkeit zwischen der 5. und 9. Sekunde entspricht der durchschnittlichen Steigung des Graphen von $s(t)$ im Intervall [5;9] (siehe Abbildung rechts).

Die durschnittliche Steigung kann mit dem Differenzenquotienten berechnet werden: $$\bar{k}_{[5;9]}=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{s(9)-s(5)}{9-5}\underbrace{=}_{\textrm{siehe a) und b)} } \frac{8.1-2.5}{9-4}=\frac{5.6}{5}=1.12\textrm{ m/s}$$

!!Achtung!! Da wir im Differenzenquotient die Meter (=im Zähler) durch die Sekunden (=im Nenner) dividiert haben, erhalten wir als Einheit "Meter pro Sekunde" (m/s).

Laut Angabe sind aber km/h gefordert, somit wandeln wir noch um: $$ 1.12\ m/s \underbrace{=}_{:1000}0.00112\ km/s \underbrace{=}_{\cdot 60\ \textrm{min}\cdot 60\ \textrm{sek} }4.032\ km/h$$ (Alternativ hätten wir die 1.12 m/s einfach mit $3.6=\frac{60\cdot 60}{1000}$ multiplizieren können)

Somit hat das Fahrzeug zwischen der 5. und 9. Sekunde eine durchschnittliche Geschwindigkeit von 4.032 km/h.

• Der Ausdruck $\lim_{\Delta x \rightarrow 0} $ bedeutet, dass der Abstand auf der x-Achse der beiden Punkte A und B immer näher gegen 0 gehen soll. An der unteren Abbildung erkennst du, dass sich dadurch die Sekante (blau) immer mehr der Tangente (rot) nähert.

• $Aha!$ $\ \ $ Klicke hier um zu einem interaktiven Applet zum Differenzenquotienten zu gelangen
• Anstelle von $k$ wird auch $f'(x)$ geschrieben und damit gilt:

$$ {f'(x)}=\lim_{\Delta x\rightarrow 0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{(x+\Delta x)- x} $$