Kosten- und Preistheorie: Unterschied zwischen den Versionen
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== Preisfunktion der Nachfrage == | == Preisfunktion der Nachfrage == | ||
{{Vorlage:Definition|1= Die Preisfunktion der Nachfrage, auch "Nachfragefunktion" oder "Preis-Absatz-Funktion" genannt, gibt den Preis p in Anhängigkeit der produzierten Menge x an.}} | {{Vorlage:Definition|1= Die Preisfunktion der Nachfrage, auch "Nachfragefunktion" oder "Preis-Absatz-Funktion" genannt, gibt den Preis p in Anhängigkeit der produzierten Menge x an.}} | ||
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| − | = | + | {{Vorlage:Beispiel|1=Eine Firma kann von ihrem Produkt 5 Mengeneinheiten verkaufen, wenn sie den Preis auf € 3,75 pro Stück festlegt. Senkt sie den Preis auf € 2,50 pro Stück, so kann sie 10 Mengeneinheiten des Produktes verkaufen. |
| + | * Modellieren sie die [[Lineare Funktionen| lineare]] Preisfunktion. | ||
| + | * Ermitteln Sie daraus den Höchstpreis und die Sättigungsmenge. | ||
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| − | $$ | + | * Zuerst stellen wir die lineare Preisfunktion der Form $p(x)=k\cdot x+d$ auf, wobei $x$ die Mengeneinheiten und $p(x)$ den Preis pro Stück angibt. |
| − | $x... | + | 1. Variante: Wir setzen die Punkte $(5\vert 3.75)$ und $(10\vert 2.50)$ die Funktionsgleichung ein und berechnen k und d, indem wir das [[Gleichungssysteme (2.7.)|Gleichungssystem]] (hierbei eignet sich z.B. das [[Gleichungssysteme (2.7.)#Additionsverfahren (Eliminationsverfahren)|Additionsverfahren]]) lösen: |
| + | $$p(x)=k\cdot x+d$$ | ||
| + | : 1. Punkt: $I:\ \ 3.75= k\cdot 5+d$ | ||
| + | : 2. Punkt: $\underline{II:2.50=k\cdot 10+d\ \ "-"}$ | ||
| + | $$1.25=-5\dot k\ \ \ \rightarrow k=-0.25 \rightarrow d=5$$ | ||
| + | Somit erhalten wir die Preisfunktion p mit | ||
| + | $$p(x)=-0.25x+5$$ | ||
| + | Graphik mit den Punkten (weiter oben einfügen | ||
| + | 2. Variante: Da es sich um eine lineare Funktion handelt, kann k auch mithilfe dem [[Steigung und Steigungswinkel|Steigungsdreieck]] der Punkte $(5\vert 3.75)$ und $(10\vert 2.50)$ ermittelt werden: | ||
| + | $$k=\frac{\Delta y}{Delta x}=\frac{Höhenunterschied}{Längenunterschied}=\frac{2.50-3.75}{10-5}=-0.25$$ | ||
| + | Somit ist $k=-0.25$. Um das d nun noch zu berechnen, setzt man einen der beiden Punkte und k in die Funktionsgleichung ein: Punkt $(5\vert 3.75)$ und $k=-0.25$ in $p(x)=k\cdot x+d$ eingesetzt ergeben: | ||
| + | $$3.75=-0.25\cdot 5+d\rightarrow 3.75+1.25=d \rightarrow d=5$$ | ||
| + | Somit erhalten wir: | ||
| + | $$p(x)=-0.25\cdot x+5$$ | ||
| + | Graphik mit den Steigungsdreiecken | ||
| − | $p( | + | * Nun bestimmen wir mit der Preisfunktion den Höchstpreis und die Sättigungsmenge: |
| − | + | : Höchstpreis: $p(0)=d=5$. Der Höchstpreis beträgt 5 Euro pro Mengeneinheit. | |
| − | $ | + | : Sättigungsmenge: $p(x)=0$ |
| + | $$0=-0.25x+5$$ | ||
| + | $$-5=-0.25x$$ | ||
| + | $$x=20$$ | ||
| + | : Die Sättigungsmenge beträgt somit 20 Mengeneinheiten. | ||
| + | Graphik der Preisfunktion einfügen | ||
}} | }} | ||
| − | == | + | == Erlösfunktion == |
| + | === Allgemein === | ||
| + | {{Vorlage:Definition|Der Gesamterlös E (auch Umsatz genannt) ergibt sich aus dem Produkt der verkauften Menge und dem dezugehörigen Preis: | ||
| + | $$E(x)=x\cdot p(x)$$ | ||
| − | + | {{Vorlage:Beispiel|1= Gegeben ist die Preisfunktion p mit $p(x)=-0.25x+5$ | |
| + | * Stellen Sie die dazugehörige Erlösfunktion auf. | ||
| + | * Bestimmen Sie die sogenannten Erlösgrenzen, dies sind die [[Nullstelle|Nullstellen]] der Erlösfunktion. | ||
| + | * Berechnen Sie den maximalen Erlös. | ||
| + | |2= | ||
| + | * Die Erlösfunktion erhalten wir mit: | ||
| + | $$E(x)=x\cdot p(x)$$ | ||
| + | $$E(x)=x\cdot (-0.25x+5$$ | ||
| + | $$E(x)=-0.25x^2+5x$$ | ||
| + | Bild der Erlösfunktion. | ||
| + | * Die Nullstellen ermitteln wir, indem wir die Erlösfunktion nullsetzen: | ||
| + | $$0=E(x)$$ | ||
| + | $$0=-0.25x^2+5x$$ | ||
| + | Durch herausheben von x, [[Quadkom]] oder den [[Löse-Befehl]] erhalten wir $x_1=0$ und $x_2=20$$. | ||
| + | * Nun bestimmen wir den maximalen Erlös: | ||
| + | 1. Variante: Mithilfe der Eigenschaften einer quadratischen Funktion | ||
| + | Die Erlösfunktion E mit $E(x)=-0.25x^2+5x$ ist eine [[Quadratische Funktionen|quadratische Funktion]] mit 2 Nullstellen. Wie jede quadratische Funktion hat sie aufgrund ihrer [[Symmetrie]] ihren Scheitelpunkt (Extremstelle) genau zwischen den beiden Nullstellen. | ||
| + | $$x_{max}=\frac{0+20}{2}=10$$ | ||
| + | Das Erlösmaximum befindet sich somit bei x=10 Mengeneinheiten. Der Erlös beträgt $E(10)=25$ Geldeinheiten. | ||
| − | + | 2. Variante: Mithilfe des Maximum-Befehls (siehe [[Ti-Befehle#Maximum|Ti-Taschenrechner]] bzw. [[GeoGebra]]. Das Ergebnis siehst du in der rechten Abbildung | |
| − | + | Bild | |
| − | + | 3. Variante: Mithilfe der Differentialrechnung. Für ein Maximum muss gelten, dass $f‘(x)=0$ und $f‘‘(x)<0$ ist: | |
| − | + | $$E‘(x)=-0.5x+5$$ | |
| − | + | $$0=-0.5x+5\ \ \ \rightarrow x=10$$ | |
| − | + | Und nun zur 2. Ableitung: | |
| − | + | $$E‘‘(x)=-0.5$$ | |
| − | + | $$ E‘‘(10)=-0.5<0 \ \ \ \rightarrow HP$$ | |
| − | == | + | Somit befindet sich bei $x=10$ ein Hochpunkt und der Erlös an dieser Stelle beträgt $E(10)=25$ |
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| − | == | + | |
| − | == | + | === Grenzerlös === |
| + | Der Grenzerlös ist definiert als $E‘(x)$ und gibt die (ungefähre) Steigung des Erlöses an, wenn eine weitere Mengeneinheit produziert wird. | ||
Version vom 5. Januar 2015, 17:44 Uhr
Preisfunktion der Nachfrage
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Die Preisfunktion der Nachfrage, auch "Nachfragefunktion" oder "Preis-Absatz-Funktion" genannt, gibt den Preis p in Anhängigkeit der produzierten Menge x an. |
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$ $
$$p_h=p(0)$$
$$p(x_S)=0$$
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Bild
Eine Firma kann von ihrem Produkt 5 Mengeneinheiten verkaufen, wenn sie den Preis auf € 3,75 pro Stück festlegt. Senkt sie den Preis auf € 2,50 pro Stück, so kann sie 10 Mengeneinheiten des Produktes verkaufen.
- Modellieren sie die lineare Preisfunktion.
- Ermitteln Sie daraus den Höchstpreis und die Sättigungsmenge.
1. Variante: Wir setzen die Punkte $(5\vert 3.75)$ und $(10\vert 2.50)$ die Funktionsgleichung ein und berechnen k und d, indem wir das Gleichungssystem (hierbei eignet sich z.B. das Additionsverfahren) lösen: $$p(x)=k\cdot x+d$$
- 1. Punkt: $I:\ \ 3.75= k\cdot 5+d$
- 2. Punkt: $\underline{II:2.50=k\cdot 10+d\ \ "-"}$
$$1.25=-5\dot k\ \ \ \rightarrow k=-0.25 \rightarrow d=5$$ Somit erhalten wir die Preisfunktion p mit $$p(x)=-0.25x+5$$
Graphik mit den Punkten (weiter oben einfügen
2. Variante: Da es sich um eine lineare Funktion handelt, kann k auch mithilfe dem Steigungsdreieck der Punkte $(5\vert 3.75)$ und $(10\vert 2.50)$ ermittelt werden: $$k=\frac{\Delta y}{Delta x}=\frac{Höhenunterschied}{Längenunterschied}=\frac{2.50-3.75}{10-5}=-0.25$$ Somit ist $k=-0.25$. Um das d nun noch zu berechnen, setzt man einen der beiden Punkte und k in die Funktionsgleichung ein: Punkt $(5\vert 3.75)$ und $k=-0.25$ in $p(x)=k\cdot x+d$ eingesetzt ergeben: $$3.75=-0.25\cdot 5+d\rightarrow 3.75+1.25=d \rightarrow d=5$$ Somit erhalten wir: $$p(x)=-0.25\cdot x+5$$
Graphik mit den Steigungsdreiecken
- Nun bestimmen wir mit der Preisfunktion den Höchstpreis und die Sättigungsmenge:
- Höchstpreis: $p(0)=d=5$. Der Höchstpreis beträgt 5 Euro pro Mengeneinheit.
- Sättigungsmenge: $p(x)=0$
$$0=-0.25x+5$$ $$-5=-0.25x$$ $$x=20$$
- Die Sättigungsmenge beträgt somit 20 Mengeneinheiten.
Graphik der Preisfunktion einfügen
Erlösfunktion
Allgemein
{{Vorlage:Definition|Der Gesamterlös E (auch Umsatz genannt) ergibt sich aus dem Produkt der verkauften Menge und dem dezugehörigen Preis: $$E(x)=x\cdot p(x)$$
{{Vorlage:Beispiel|1= Gegeben ist die Preisfunktion p mit $p(x)=-0.25x+5$
- Stellen Sie die dazugehörige Erlösfunktion auf.
- Bestimmen Sie die sogenannten Erlösgrenzen, dies sind die Nullstellen der Erlösfunktion.
- Berechnen Sie den maximalen Erlös.
|2=
- Die Erlösfunktion erhalten wir mit:
$$E(x)=x\cdot p(x)$$ $$E(x)=x\cdot (-0.25x+5$$ $$E(x)=-0.25x^2+5x$$
Bild der Erlösfunktion.
- Die Nullstellen ermitteln wir, indem wir die Erlösfunktion nullsetzen:
$$0=E(x)$$ $$0=-0.25x^2+5x$$ Durch herausheben von x, Quadkom oder den Löse-Befehl erhalten wir $x_1=0$ und $x_2=20UNIQ142e5e89a59fad3e-MathJax-18-QINUx_{max}=\frac{0+20}{2}=10UNIQ142e5e89a59fad3e-MathJax-19-QINUE‘(x)=-0.5x+5UNIQ142e5e89a59fad3e-MathJax-20-QINU0=-0.5x+5\ \ \ \rightarrow x=10UNIQ142e5e89a59fad3e-MathJax-21-QINUE‘‘(x)=-0.5UNIQ142e5e89a59fad3e-MathJax-22-QINU E‘‘(10)=-0.5<0 \ \ \ \rightarrow HP$$ Somit befindet sich bei $x=10$ ein Hochpunkt und der Erlös an dieser Stelle beträgt $E(10)=25$ === Grenzerlös === Der Grenzerlös ist definiert als $E‘(x)$ und gibt die (ungefähre) Steigung des Erlöses an, wenn eine weitere Mengeneinheit produziert wird.
