Ableitung bestimmen: Unterschied zwischen den Versionen

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(→‎Graphisches Bestimmen der 1. Ableitung)
(→‎Rechnerishes Bestimmen von $f'(x)$ - Ableitungsregeln)
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== Rechnerishes Bestimmen von $f'(x)$ - Ableitungsregeln==
 
== Rechnerishes Bestimmen von $f'(x)$ - Ableitungsregeln==
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=== Grundlegende Regeln ===
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!Regel !! $f(x)$ !! $f'(x)$
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|Potenzregel || $x^n$ || $n\cdot x^{n-1}$
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| Konstantenregel
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$c\in \mathbb{R}$
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|| c || 0
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|Multiplikativer Faktor || $a\cdot f(x)$|| $a\cdot f'(x)$
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|Summenregel || $f(x)+g(x)$ || $f'(x)+g'(x)$
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| $e$-Funktion|| $e^x$ || $e^x$
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| Logarithmus || $ln|x|$ || $\frac{1}{x}$
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| Trigonometrische Funktionen || $sin(x)\\ cos(x)$ || $cos(x)\\  -sin(x)$
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=== Produktregel ===
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=== Quotientenregel ===
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=== Kettenregel ===

Version vom 5. September 2014, 18:54 Uhr

In diesem Artikel geht es darum, die erste Ableitung f'(x) einer Funktion f(x) zu bestimmen.

Hinweis: Im Folgenden sei f(x) auf ihrem Definitionsbereich immer differenzierbar (d.h. f'(x) existiert). Dies muss streng mathematisch vorausgesestzt werden)

Was ist $f'(x)$

füge noch besseres Bild ein!
Der Differentialquotient berechnet die Steigung der Tangente t.


Definition
Grün rufezeichen.png
 Die Ableitungsfunktion $f'(x)$ ist der sogenannte Differentialquotient von $f(x)$.

$$ f'(x)={k}=\lim_{\Delta x\rightarrow 0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{(x+\Delta x)- x} $$

und gibt die momentane Steigung der Funktion $f$ an der Stelle x an.


$f'(x)$ wird auch als 1. Ableitung von f(x) bezeichnet.




Graphisches Bestimmen der 1. Ableitung

Merke
Rotes rufezeichen.png
 $f'(x)$ gibt die Steigung von $f(x)$ an. Somit muss gelten:


$f(x)$ $f'(x)$
1. $f(x)$ hat bei $a$ eine Extremstelle $\rightarrow$ Hier ist die Steigung $f'(x)=0$
2. $f(x)$ hat bei $b$ einen Wendepunkt $\rightarrow$ Hier ist der Graph lokal am steilsten oder am flachsten $\rightarrow$ die Steigung $f'$ hat hier einen Hoch- oder Tiefpunkt.
3. $f(x)$ ist monoton wachsend $\rightarrow$ $f'(x)$ ist positiv, d.h. oberhalb der x-Achse.
4. $f(x)$ ist monoton fallend $\rightarrow$ $f'(x)$ ist negativ, d.h. unterhalb der x-Achse.


Bsp.png

Skizzieren Sie zum gegebenen Graphen von $f(x)$ den Graphen von $f'(x)$!

Graph von f(x)

1. Schritt: Zeichne die Nullstellen von $f'(x)$ (=Extremwerte von $f(x)$ ein)
2. Schritt: Zeichne die Extremwerte von $f'(x)$ (=Wendepunkte von $f(x)$ ein. Die Höhen entprechen den Steigungen von $f(x)$ bei den Wendepunkten.
3. und 4. Schritt: Aufgrund des Monotonierverhaltens von $f(x)$ wissen wir, wann $f'(x)$ positiv oder negativ ist.
$f'(x)$ schön eingezeichnet


$Aha!$ Ein GeoGebra-Applet, in dem du das graphische differenzieren weiter üben kannst.



siehe noch:

Rechnerishes Bestimmen von $f'(x)$ - Ableitungsregeln

Grundlegende Regeln

Regel $f(x)$ $f'(x)$
Potenzregel $x^n$ $n\cdot x^{n-1}$
Konstantenregel

$c\in \mathbb{R}$

c 0
Multiplikativer Faktor $a\cdot f(x)$ $a\cdot f'(x)$
Summenregel $f(x)+g(x)$ $f'(x)+g'(x)$
$e$-Funktion $e^x$ $e^x$
Logarithmus $ln|x|$ $\frac{1}{x}$
Trigonometrische Funktionen $sin(x)\\ cos(x)$ $cos(x)\\ -sin(x)$

Produktregel

Quotientenregel

Kettenregel

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