Ungleichung: Unterschied zwischen den Versionen

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(→‎Graphisch am Zahlenstrahl)
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! $x<2$ !! $x\geq -2.5$ !! $-2.5\leq x <2$
 
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| Alle Zahlen, die kleiner als 2 sind eine Lösung für $x$. Die Zahl zwei gehört gerade nicht mehr zur Lösung. Aus diesem Grund zeichnen wir bei 2 einen offenen Kreis ein.  
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| Alle Zahlen kleiner als $2$ sind eine Lösung für $x$. Die Zahl zwei gehört gerade nicht mehr zur Lösung. Aus diesem Grund zeichnen wir bei $2$ einen offenen Kreis ein.  
 
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| Alle Zahlen, die größer gleich $-2.5$ sind gehören zur Lösung. Da $-2.5$ zur Lösung gehört, malen wir hier einen vollen (geschlossenen) Punkt.   
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| Alle Zahlen größer gleich $-2.5$ gehören zur Lösung. Da $-2.5$ zur Lösung gehört, malen wir hier einen vollen (geschlossenen) Punkt.   
 
[[Datei:x 25.png|thumb|300px|Graphische Lösungsmenge für $-2.5\leq x$]]
 
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| Die Lösungsmenge befindet sich zwischen $-2.5$ und $2$. Da $-2.5$ zur Lösung gehört, zeichnen wir hier einen geschlossenen Punkt. Dagegegen gehört $2$ wegen dem $<$ nicht mehr zur Lösung, weshalb wir hier einen offenen Punkt einzeichnen.
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| Die Lösungsmenge befindet sich zwischen $-2.5$ und $2$. Da $-2.5$ zur Lösung gehört, zeichnen wir hier einen geschlossenen Punkt. Dagegen gehört $2$ wegen dem $<$ nicht mehr zur Lösung, weshalb wir hier einen offenen Punkt einzeichnen.
 
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# Gehört ein Punkt gerade noch zur Lösungsmenge, so malen wir einen vollen (geschlossenen) Punkt aus.  
 
# Gehört ein Punkt gerade noch zur Lösungsmenge, so malen wir einen vollen (geschlossenen) Punkt aus.  
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# Gehört ein Punkt '''GERADE NICHT MEHR''' zur Lösungsmenge, so malen wir einen offenen Punkt.
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# Gehört ein Punkt „GERADE NICHT MEHR“ zur Lösungsmenge, so malen wir einen offenen Punkt.
 
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Version vom 6. Oktober 2018, 11:40 Uhr

intro-Bild.png


Definition
Grün rufezeichen.png
 Im Gegensatz zu einer Gleichung hat eine Ungleichung anstelle eines $=$ eines der folgenden $4$ Ungleichheitszeichen:

$<$... (eindeutig) kleiner
$\leq $... kleiner gleich
$>$... (eindeutig) größer
$\geq$... größer gleich


Beispiele:

  • $5<3$
  • $2x+3 \geq 11$

Angabe der Lösungsmenge

Die Lösungsmenge von Ungleichungen können wir auf drei verschiedene Arten angeben:


Graphisch am Zahlenstrahl

Geben wir die Lösungsmenge graphisch an, so markieren wir all jene Werte, die die Ungleichung erfüllen, auf dem Zahlenstrahl.

Bsp.png

Geben Sie die Lösungsmenge der folgenden Ungleichung graphisch an.
$\text{a)} \; x<2$
$\text{b)} \; x\geq -2.5$
$\qquad \qquad \; \; \text{c)} \; -2.5\leq x<2$

$x<2$ $x\geq -2.5$ $-2.5\leq x <2$
Alle Zahlen kleiner als $2$ sind eine Lösung für $x$. Die Zahl zwei gehört gerade nicht mehr zur Lösung. Aus diesem Grund zeichnen wir bei $2$ einen offenen Kreis ein.
Graphische Lösungsmenge für $x<2$
 Alle Zahlen größer gleich $-2.5$ gehören zur Lösung. Da $-2.5$ zur Lösung gehört, malen wir hier einen vollen (geschlossenen) Punkt.
Graphische Lösungsmenge für $-2.5\leq x$
 Die Lösungsmenge befindet sich zwischen $-2.5$ und $2$. Da $-2.5$ zur Lösung gehört, zeichnen wir hier einen geschlossenen Punkt. Dagegen gehört $2$ wegen dem $<$ nicht mehr zur Lösung, weshalb wir hier einen offenen Punkt einzeichnen.
Graphische Lösungsmenge für $-2.5\leq x<2$





Merke
Rotes rufezeichen.png
 $\\ $
  1. Gehört ein Punkt gerade noch zur Lösungsmenge, so malen wir einen vollen (geschlossenen) Punkt aus.
  2. Gehört ein Punkt „GERADE NICHT MEHR“ zur Lösungsmenge, so malen wir einen offenen Punkt.
Zahlenstrahl.png


Intervallschreibweise

Merke
Rotes rufezeichen.png
 Wir unterscheiden zwischen 3 Arten von Intervallen:
  • Das geschlossene Intervall $[a,b]$ beinhaltet alle Zahlen zwischen den Grenzen a und b, wobei a und b im Intervall liegen.
  • Das offene Intervall $(a,b)$ bzw. $]a,b[$ beinhaltet alle Zahlen zwischen den Grenzen a und b, wobei a und b NICHT im Intervall liegen.
  • Das halboffene Intervall $[a,b)$ bzw. $[a,b[$ oder $(a,b]$ bzw. $]a,b]$ beinhaltet alle Zahlen zwischen den Grenzen a und b, jeweils nur eine der beiden Grenzen im Intervall liegt.


Hinweis: $(a,b)$ und $]a,b[$ sind zwei Schreibweisen für dasselbe offene Intervall.


Bsp.png

Geben Sie die Lösungsmenge der folgenden Ungleichung als Intervall an.


a) $x<2$
b) $x\geq -2.5$
c) $-2.5\leq x<2$

a) $x<2\rightarrow$ Intervall: $(-\infty;2)$

in Worten: alle Zahlen zwischen $-\infty$ und 2, wobei 2 nicht mehr zur Lösung gehört.

b) $x\geq -2.5\rightarrow$ Intervall: $ [-2.5;\infty)$

c) $-2.5\leq x<2 \rightarrow$ Intervall: $ [-2.5;2)$
in Worten: alle Zahlen zwischen $-2.5$ und $2$, wobei die Grenze $2$ nicht zur Lösung gehört.


Mengenschreibweise

Die Mengenschreibweise ist die einfachste Darstellung der Lösungsmenge, da sie nur die Grundmenge und die (vereinfachte) Ungleichung angibt, wie an folgenden Musterbeispielen leicht zu erkennen ist:


Bsp.png

Geben Sie die Lösungsmenge der folgenden Ungleichung in der Mengenschreibweise an.


a) $x<2$
b) $x\geq -2.5$
c) $-2.5\leq x<2$

a) $x<2\rightarrow$ Lösungsmenge: $\mathbb{L}=\{x\in \mathbb{R}\vert x<2\}$

in Worten: "die Lösungsmenge beinhaltet alle reellen Zahlen x, die kleiner als 2 sind."

b) $x\geq -2.5\rightarrow$ Lösungsmenge: $ \mathbb{L}=\{x\in \mathbb{R}\vert x\geq -2.5\} $

c) $-2.5\leq x<2 \rightarrow$ Lösungsmenge: $\mathbb{L}=\{x\in \mathbb{R}\vert -2.5\leq x<2\}$
in Worten: "die Lösungsmenge beinhaltet alle reellen Zahlen x, die größer gleich $-2.5$ und kleiner als 2 sind."


Lösung von Ungleichungen mit einer Variable

Eine lineare Ungleichung löst man ähnlich wie eine Gleichung mithilfe von Umformungen:

Bsp.png

Löse die Ungleichung $3x+1<7$ über der Grundmenge der reellen Zahlen $\mathbb{R}$.

$$3x+1<7 \ \ \vert -1$$ $$3x<6 \ \ \vert :3$$ $$x<2$$


Lösungsmenge:

graphisch Intervall Mengenschreibweise
graphische Darstellung der Lösungsmenge für $x<2$
 $$\ ( -\infty ;2)\ $$

oder $$]-\infty ;2[$$

$\mathbb{L}=\{x\in \mathbb{R}\vert x<2\}$





Merke
Rotes rufezeichen.png
 Der wichtigste Unterschied beim Umformen zwischen Gleichung und Ungleichung:

Wird eine Ungleichung mit einer negativen Zahl multipliziert oder dividiert, so ändert sich die Richtung des Ungleichungszeichens!

Hinweis!

Beweisidee:

Nehmen wir die Ungleichung $$3<5$$ und multiplizieren wir links und rechts mit $(-1)$: $$3<5 \ \ \vert \cdot (-1)$$ $$-3\ \color{red}{?} -5\ \ \ $$ Damit die Ungleichung immer noch stimmt, muss man nun das Ungleichungszeichen ändern, weil -3 größer ist als -5 (schau dir das am Zahlenstrahl an!) $$-3>-5$$ Somit hat sich das Ungleichungszeichen umgedreht!



Bsp.png

Bestimme die Lösungsmenge der Ungleichung $$\frac{15-3x}{-2}\geq 2x-7$$ über der Grundmenge der reellen Zahlen $\mathbb{R}$.

$$\frac{15-3x}{-2}\geq 2x-7$$ Zuerst lösen wir den Bruch auf, indem wir mit (-2) multiplizieren: $$\frac{15-3x}{-2}\geq 2x-7\ \ \ \vert \cdot (-2)$$ $$15-3x\leq -4x+14\ \ \ \ \ \ \ $$ Beachte, dass sich das Ungleichungszeichen gedreht hat!!

Nun bringen wir alle x auf eine Seite: $$15-3x\leq -4x+14 \ \ \ \vert +4x\ und \ -15$$ $$x\leq -1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $$

Lösungsmenge:

graphisch Intervall Mengenschreibweise
graphische Darstellung der Lösung für $x\leq -1$
 $$\ (-\infty ;-1]\ $$ oder $$]-\infty;1]$$ $\mathbb{L}=\{x\in \mathbb{R}\vert x\leq -1\}$


Fallunterscheidung bei Multiplikation mit x

kommt bald

Ungleichungssysteme mit einer Variablen

Theorie kommt bald

Aufgaben


Interkativer Test
Quelle: Michael Ruhrländer
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